Geometrie und Gravitation

(1)

Geometrie und Gravitation

15.12.2019

Felder auf Mannigfaltigkeiten Tangential-

raum

 𝜕_𝑖 zeigt dasselbe Trafo-Verh. wie Basisvektoren 𝐸_𝑖^𝑎⟹ Diff.operatoren 𝜕_𝑖^𝑎 bilden Vektorraum in p (Tangentialraum 𝑇_𝑝𝑀)!

 Transformation von Tangentialvektoren 𝑣^𝑘 (Vektoren in 𝑇𝑝𝑀) in 𝜕𝑖-Schreibweise: 𝑣̃^𝑖= 𝑣^𝑘𝜕𝑘|_𝑥₀𝑚𝑥̃^𝑖 𝑇_𝑝𝑀 = {𝑣^𝑎= 𝑣^𝑖 𝜕⏟_𝑖^𝑎

𝐵𝑎𝑠𝑖𝑠

} mit 𝜕_𝑖^𝑎≝ ^𝜕

𝜕𝑥^𝑖|

𝑝 („Raum aller Richtungsableitungen im Punkt p“) Vektorfeld 𝑣^𝑎: 𝑀 → 𝑇_𝑝𝑀; 𝑝 ↦ 𝑣^𝑎(𝑝) in einer Karte: 𝑣^𝑎(𝑝) = 𝑣⏟ ^𝑖(𝑥^𝑚)

𝐾𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛

𝜕𝑖𝑎

Trafo Komponenten: 𝑣̃^𝑖(𝑥̃^𝑚) =^𝜕𝑥̃^𝑗

𝜕𝑥^𝑖𝑣^𝑖(𝑥^𝑚) Trafo Basis-

vektoren 𝜕̃_𝑖^𝑎=^𝜕𝑥^𝑘

𝜕𝑥̃^𝑖𝜕_𝑘^𝑎= 𝜕̃_𝑖𝑥^𝑘𝜕_𝑘^𝑎 (per Definition an der Stelle 𝑥̃₀^𝑚 bzw. 𝑥₀^𝑚; siehe vorige Seite) Kotangential-

raum 𝑇_𝑝𝑀^~ bzw. 𝑇_𝑝^∗𝑀 = {𝑤_𝑎= 𝑤_𝑖 𝑑𝑥⏟_𝑎^𝑖

𝐾𝑜𝑏𝑎𝑠𝑖𝑠

}mit 𝜕_𝑖^𝑎𝑑𝑥_𝑎^𝑗≝ 𝛿_𝑖^𝑗 („Raum der linearen Funktionale, die jedem 𝜕_𝑖^𝑎 eine Zahl zuordnen“) Kovektorfeld 𝑤_𝑎: 𝑀 → 𝑇_𝑝𝑀^~; 𝑝 ↦ 𝑤_𝑎(𝑝) in einer Karte: 𝑤𝑎(𝑝) = 𝑤𝑖(𝑥^𝑚) 𝑑𝑥𝑎𝑖 Trafo duale Komponenten: 𝑤̃𝑖(𝑥̃^𝑚) =^𝜕𝑥^𝑗

𝜕𝑥̃^𝑖𝑤𝑖(𝑥^𝑚) Trafo Ko-Basis-

Vektoren „totales Differential“ 𝑑𝑥̃𝑎𝑖

=^𝜕𝑥̃^𝑖

𝜕𝑥^𝑘𝑑𝑥𝑎𝑘

= 𝜕𝑘𝑥̃^𝑖𝑑𝑥𝑎𝑘

(per Definition an der Stelle 𝑥̃0𝑚 bzw. 𝑥0𝑚) Tensorfeld 𝑡_𝑏^𝑎₁¹_…𝑏^…𝑎_𝑠^𝑟: 𝑀 → ⨂_𝑠^𝑟𝑇_𝑝𝑀; 𝑝 ↦ 𝑡_𝑏^𝑎₁¹_…𝑏^…𝑎_𝑠^𝑟(𝑝) in einer Karte: 𝑡_𝑏^𝑎₁¹_…𝑏^…𝑎_𝑠^𝑟(𝑝) = 𝑡⏟ _𝑗^𝑖₁¹_…𝑗^…𝑖_𝑠^𝑟(𝑥^𝑚)

𝐾𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛

𝑐

Trafo Tensor- feld

𝑡̃_𝑗

1…𝑗_𝑠 𝑖₁…𝑖_𝑟

(𝑥̃^𝑚) = ^𝜕𝑥̃^𝑖1

𝜕𝑥^𝑘1(𝑥^𝑚) …^𝜕𝑥̃^𝑖𝑟

𝜕𝑥^𝑘𝑟(𝑥^𝑚)

⏟

𝑇𝑟𝑎𝑓𝑜: 𝑟 𝑚𝑎𝑙 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑡

∙^𝜕𝑥^𝑙1

𝜕𝑥̃^𝑗1(𝑥^𝑚) …^𝜕𝑥^𝑙𝑠

𝜕𝑥̃^𝑗𝑠(𝑥^𝑚)

⏟

𝑇𝑟𝑎𝑓𝑜: 𝑠 𝑚𝑎𝑙 𝑘𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡

𝑡_𝑙

1…𝑙_𝑠 𝑘₁…𝑘_𝑟

(𝑥^𝑚)

Koordinaten-kovariante Ableitungen 𝝏_𝒂

Gradient eines Skalarfeldes 𝒯00→ 𝒯10

Sei 𝐹: 𝑀 → ℝ; 𝑝 ↦ 𝐹(𝑝) eine skalare Funktion auf der Mannigfaltigkeit 𝑀.

Sei 𝑓 die äquivalente Kartenfunktion f(𝑥^𝑘), die den Kartenkoordinaten 𝑥^𝑘(𝑝) denselben skalaren Wert zuordnet wie F(𝑝) Die Ableitung 𝜕𝑎≝ 𝑑𝑥𝑎𝑖

𝜕𝑖: C^∞→ 𝒯10(also 𝒯00→ 𝒯10), angewandt auf 𝐹 ist der Gradient des Skalarfeldes 𝐹.

(1) 𝜕_𝑎 wird konkret in den Koordinaten einer bestimmten Kobasis berechnet: 𝜕_𝑎𝐹 = 𝑑𝑥⏞_𝑎^𝑖

𝐾𝑜𝑏𝑎𝑠𝑖𝑠

𝜕_𝑖𝑓 ⟹

𝜕𝑖 leitet die skalare Funktion f(𝑥^𝑘) nach 𝑥^𝑖 ab, und ordnet das Ergebnis dem jeweiligen i-ten Kobasisvektor 𝑑𝑥𝑎𝑖

zu.

(2) Es ist egal, in welcher Karte (in welchen Koordinaten) der Gradient der skalaren Funktion gebildet wird; das Ergebnis (rücktransformiert auf die Mannigfaltigkeit) ist immer gleich (gilt nur für skalare Funktionen). 𝜕𝑎𝐹 = 𝜕̃𝑎𝐹. Beweis: 𝑑𝑥𝑎𝑖

𝜕𝑖𝑓|𝜕𝑖= 𝜕𝑖𝑥̃^𝑘𝜕̃𝑘⟹ 𝜕𝑎𝐹 = 𝑑𝑥𝑎𝑖

𝜕𝑖𝑥̃^𝑘𝜕̃𝑘𝑓̃^𝑘↔𝑖= (𝜕𝑘𝑥̃^𝑖𝑑𝑥𝑎𝑘

)𝜕̃𝑘𝑓̃| 𝜕𝑘𝑥̃^𝑖𝑑𝑥𝑎𝑘

= 𝑑𝑥̃𝑎𝑖

⟹𝑑𝑥𝑎𝑖

𝜕𝑖𝑓 = 𝑑𝑥̃𝑎𝑖

𝜕̃𝑖𝑓̃

Gradient eines Vektorfeldes 𝒯01→ 𝒯11

𝜕_𝑎𝑣^𝑏= 𝜕_𝑎(𝑣^𝑖𝜕_𝑖^𝑏)^{𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛𝑖𝑧}= (𝜕𝑎𝑣^𝑖)𝜕𝑖𝑏+ 𝑣^𝑖(𝜕_𝑎𝜕_𝑖^𝑏)| 𝜕_𝑎𝜕_𝑖^𝑏= 0, weil 𝜕_𝑖^𝑏 Basisvektor ⟹ 𝜕_𝑎𝑣^𝑏= (𝜕_𝑎𝑣^𝑖)𝜕𝑖𝑏

Differenzen-

„tensor“

(Christoffel- Symbol)

Es ist nicht egal, in welcher Karte (in welchen Koordinaten) die koordinaten-kovariante Ableitung eines Vektorfeldes gebildet wird; die Ergebnisse (rücktransformiert auf die Mannigfaltigkeit) sind unterschiedlich.

𝜕𝑎𝑣^𝑏= 𝜕𝑎(𝑣̃^𝑗𝜕̃_𝑗^𝑏)^{𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛𝑖𝑧}= (𝜕𝑎𝑣̃^𝑗) 𝜕̃_𝑗^𝑏+ 𝑣̃^𝑗(𝜕𝑎𝜕̃_𝑗^𝑏)| 𝜕𝑎𝑣̃^𝑗= 𝜕̃𝑎𝑣̃^𝑗, weil 𝑣̃^𝑗 Skalar

𝜕_𝑎𝑣^𝑏= 𝜕̃_𝑎𝑣̃^𝑗𝜕̃_𝑗^𝑏+ 𝑣̃^𝑗(𝜕_𝑎𝜕̃_𝑗^𝑏)| 𝑣̃^𝑗𝜕̃_𝑗^𝑏= 𝑣^𝑏⟹𝜕_𝑎𝑣^𝑏= 𝜕̃_𝑎𝑣^𝑏+ 𝑣̃^𝑗(𝜕_𝑎𝜕̃_𝑗^𝑏)| 𝜕̃_𝑗^𝑏= 𝜕̃_𝑗𝑥^𝑘𝜕_𝑘^𝑏

𝜕𝑎𝑣^𝑏= 𝜕̃𝑎𝑣^𝑏+ 𝑣̃^𝑗(𝜕𝑎(𝜕̃𝑗𝑥^𝑘𝜕𝑘𝑏))^{𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛𝑖𝑧}= 𝜕̃𝑎𝑣^𝑏+ 𝑣̃^𝑗(𝜕𝑎(𝜕̃𝑗𝑥^𝑘)𝜕𝑘𝑏+ 𝜕̃𝑗𝑥^𝑘 𝜕𝑎𝜕𝑘𝑏)| 𝜕𝑎𝜕𝑘𝑏= 0, weil 𝜕𝑘𝑏 Basisvektor

𝜕_𝑎𝑣^𝑏= 𝜕̃_𝑎𝑣^𝑏+ 𝑣̃^𝑗𝜕_𝑎(𝜕̃𝑗𝑥^𝑘)𝜕𝑘𝑏| 𝜕_𝑎(𝜕̃𝑗𝑥^𝑘) = 𝜕̃𝑎(𝜕̃𝑗𝑥^𝑘), weil (𝜕̃_𝑗𝑥^𝑘) skalar

𝜕_𝑎𝑣^𝑏= 𝜕̃_𝑎𝑣^𝑏+ 𝑣̃^𝑗𝜕̃_𝑎(𝜕̃_𝑗𝑥^𝑘)𝜕_𝑘^𝑏| 𝜕_𝑘^𝑏= 𝜕_𝑘𝑥̃^𝑚𝜕̃_𝑚^𝑏⟹𝜕_𝑎𝑣^𝑏= 𝜕̃_𝑎𝑣^𝑏+ 𝑣̃^𝑗𝜕̃_𝑎(𝜕̃_𝑗𝑥^𝑘)𝜕_𝑘𝑥̃^𝑚𝜕̃_𝑚^𝑏| 𝜕̃_𝑎≝ 𝑑𝑥̃_𝑎^𝑙𝜕̃_𝑙

𝜕𝑎𝑣^𝑏= 𝜕̃𝑎𝑣^𝑏+ 𝑣̃^𝑗𝑑𝑥̃𝑎𝑙

𝜕̃𝑙(𝜕̃𝑗𝑥^𝑘)𝜕𝑘𝑥̃^𝑚𝜕̃𝑚𝑏| 𝑣̃^𝑗= 𝑣^𝑐𝑑𝑥̃_𝑐^𝑗 (Dualbasis „erzeugt“ Koord.)

𝜕_𝑎𝑣^𝑏= 𝜕̃_𝑎𝑣^𝑏+ 𝑣^𝑐∙ [𝑑𝑥̃_𝑐^𝑗𝑑𝑥̃_𝑎^𝑙𝜕̃_𝑚^𝑏∙ 𝜕̃_𝑙(𝜕̃𝑗𝑥^𝑘) ∙ 𝜕𝑘𝑥̃^𝑚]

𝜕_𝑎𝑣^𝑏= 𝜕̃_𝑎𝑣^𝑏+ Γ^𝑏_𝑐𝑎𝑣^𝑐 ⟹(𝜕_𝑎− 𝜕̃_𝑎)𝑣^𝑏= Γ^𝑏_𝑐𝑎𝑣^𝑐⟹ 𝜕_𝑎− 𝜕̃_𝑎= Γ^𝑏_𝑐𝑎

Γ^𝑏𝑐𝑎=(𝜕²𝑥^𝑘

𝜕𝑥̃^𝑙𝜕𝑥̃^𝑗

𝜕𝑥̃^𝑚

𝜕𝑥^𝑘)

⏟

2 𝑘𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒, 1 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑣𝑎𝑟.

𝑊𝑒𝑐ℎ𝑠𝑒𝑙

𝜕̃𝑚𝑏𝑑𝑥̃𝑐 𝑗𝑑𝑥̃𝑎𝑙

⏟

1𝑥 𝐵𝑎𝑠𝑖𝑠 2𝑥 𝐾𝑜𝑏𝑎𝑠𝑖𝑠

Das Kristoffelsymbol Γ^𝑏_𝑐𝑎 ist kein Tensor, da es nicht wie ein Tensor transformiert.

(2)

Allgemeine kovariante Ableitungen 𝛁𝒂

Allgemeine kovariante Ableitungen

∇_𝑎: 𝒯_𝑞^𝑝→ 𝒯_𝑞+1^𝑝 . Jede kovariante Ableitung, die folgende Eigenschaften erfüllt (es gibt viele):

Linearität: (i)a) ∇𝑎(𝑡_𝑏

1…𝑏_𝑞 𝑎₁…𝑎_𝑝

+ 𝑠_𝑏

) = ∇𝑎𝑡_𝑏

+ ∇𝑎𝑠_𝑏

(i)b) ∇𝑎(𝜆𝑡_𝑏

) = 𝜆∇𝑎𝑡_𝑏

Leibniz: (ii) ∇_𝑎(𝑡_𝑏

𝑠_𝑏

) = (∇_𝑎𝑡_𝑏

) 𝑠_𝑏

+ 𝑡_𝑏

(∇_𝑎𝑠_𝑏

)

Kompatibilität mit 𝜕𝑎 bei skalaren Funktionen: (iii) ∇𝑎𝑓 = 𝜕𝑎𝑓 = 𝜕̃𝑎𝑓; 𝑓 ∈ C^∞(𝑀) Satz von Schwarz: (iv) ∇𝑎∇𝑏𝑓 = ∇𝑏∇𝑎𝑓

∇𝑎 ist vollständig bestimmt durch sein Wirkung auf Funktionen (koordinatenunabhängig) und Vektoren (koordinatenabhängig) (Die allgemeine kovariante Ableitung beantwortet die Frage „wie ändert sich der Vektor in beliebiger Richtung in Bezug auf die gekrümmte Mannigfaltigkeit?“. Sie liefert also eine Aussage über die Krümmung.)

Diff.tensor 𝐶^𝑏𝑐𝑎 Differenzentensor 𝐶^𝑏𝑐𝑎: (∇̃_𝑎− ∇𝑎)𝑣^𝑏= 𝐶^𝑏𝑐𝑎𝑣^𝑐⟺∇̃_𝑎𝑣^𝑏= ∇𝑎𝑣^𝑏+ 𝐶^𝑏𝑐𝑎𝑣^𝑐 Koordinatendarst.: 𝐶^𝑏𝑐𝑎= 𝑑𝑥𝑐𝑖(∇̃_𝑎− ∇𝑎)𝜕_𝑖^𝑏 𝐶^𝑏_𝑐𝑎 ist algebr.

Derivation! (i)b): (∇̃_𝑎− ∇_𝑎)(𝑓𝑣^𝑏) =^(𝑖𝑖)(∇̃_𝑎− ∇_𝑎)𝑓 ∙ 𝑣^𝑏+ 𝑓 ∙ (∇̃_𝑎− ∇_𝑎)𝑣^𝑏| (∇̃_𝑎− ∇_𝑎)𝑓 =^{(𝑖𝑖𝑖)}0 ⟹ (∇̃_𝑎− ∇_𝑎)(𝑓𝑣^𝑏) = 𝑓(∇̃_𝑎− ∇_𝑎)𝑣^𝑏

Basisunab- hängigkeit von 𝐶^𝑏𝑐𝑎

𝐶^𝑏_𝑐𝑎= 𝐶̃^𝑏_𝑐𝑎 Bew.: 𝐶^𝑏_𝑐𝑎= 𝑑𝑥_𝑐^𝑖(∇̃_𝑎− ∇_𝑎)𝜕𝑖𝑏… (1); 𝐶̃^𝑏_𝑐𝑎= 𝑑𝑥̃_𝑐^𝑖(∇̃_𝑎− ∇_𝑎)𝜕̃𝑖𝑏= 𝑑𝑥̃_𝑐^𝑖(∇̃_𝑎− ∇_𝑎)(𝜕̃𝑖𝑥^𝑗𝜕_𝑗^𝑏)| 𝜕̃_𝑖𝑥^𝑗 ist skalare Fkt.

𝐶̃^𝑏_𝑐𝑎= 𝑑𝑥̃_𝑐^𝑖𝜕̃_𝑖𝑥^𝑗(∇̃_𝑎− ∇_𝑎)𝜕_𝑗^𝑏= 𝑑𝑥_𝑐^𝑗(∇̃_𝑎− ∇_𝑎)𝜕_𝑗^𝑏⁽¹⁾=𝐶^𝑏_𝑐𝑎 ∎ Wirkung auf

Kovektor

Sei 𝑤𝑚: 𝑀 → 𝑇𝑝𝑀^~ ein Kovektor. Dann gilt: (∇̃_𝑎− ∇𝑎)𝑤𝑚= −𝐶^𝑐𝑚𝑎𝑤𝑐⟺∇̃_𝑎𝑤𝑚= ∇𝑎𝑤𝑚− 𝐶^𝑐𝑚𝑎𝑤𝑐

𝑤_𝑐𝑣^𝑐∈ 𝐶^∞⟹(∇̃_𝑎− ∇_𝑎)(𝑤_𝑐𝑣^𝑐) = 0^{𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛𝑖𝑧}⇒ (∇̃_𝑎− ∇_𝑎)𝑤_𝑐𝑣^𝑐+ 𝑤_𝑐(∇̃_𝑎− ∇_𝑎)𝑣^𝑐= 0⟹(∇̃_𝑎− ∇_𝑎)𝑤_𝑚𝑣^𝑚+ 𝑤_𝑐𝐶^𝑐_𝑚𝑎𝑣^𝑚= 0

⟹[(∇̃_𝑎− ∇𝑎)𝑤𝑚+ 𝑤𝑐𝐶^𝑐𝑚𝑎]𝑣^𝑚= 0⟹(∇̃_𝑎− ∇𝑎)𝑤𝑚+ 𝑤𝑐𝐶^𝑐𝑚𝑎= 0⟹(∇̃_𝑎− ∇𝑎)𝑤𝑚= −𝑤𝑐𝐶^𝑐𝑚𝑎∎ Symmetrie

von 𝐶^𝑏_𝑐𝑎

𝐶^𝑏𝑐𝑎= 𝐶^𝑏𝑎𝑐 Bew.: ∇̃_𝑎∇̃_𝑏𝑓 =^{(𝑖𝑖𝑖)}∇̃_𝑎(∇𝑏𝑓) =^𝑠.𝑜.∇𝑎∇𝑏𝑓 − 𝐶^𝑚𝑏𝑎∇𝑚𝑓… (1)

∇̃_𝑏∇̃_𝑎𝑓^{𝑎𝑛𝑎𝑙𝑜𝑔}= ∇_𝑏∇_𝑎𝑓 − 𝐶^𝑚_𝑎𝑏∇_𝑚𝑓 =^(𝑖𝑣)∇_𝑎∇_𝑏𝑓 − 𝐶^𝑚_𝑎𝑏∇_𝑚𝑓… (2)

∇̃_𝑎∇̃_𝑏𝑓 − ∇̃_𝑏∇̃_𝑎𝑓 = 0 =^(1,2)− 𝐶^𝑚_𝑏𝑎∇_𝑚𝑓 + 𝐶^𝑚_𝑎𝑏∇_𝑚𝑓⟹−𝐶^𝑚_𝑏𝑎+ 𝐶^𝑚_𝑎𝑏= 0⟹𝐶^𝑚_𝑎𝑏= 𝐶^𝑚_𝑏𝑎 ∎ Krümmungs-

tensor a.k.a Riemanntensor (Wirkung von [∇𝑎, ∇𝑏] auf Vektor 𝑣^𝑐)

[∇𝑎, ∇_𝑏]𝑣^𝑐= 𝑅^𝑐_𝑑𝑎𝑏𝑣^𝑑 mit [∇𝑎, ∇_𝑏] ≝ ∇𝑎∇_𝑏− ∇_𝑏∇_𝑎 Koordinatendarstellung: 𝑅^𝑐_𝑑𝑎𝑏≝ 𝑑𝑥_𝑑^𝑗[∇𝑎, ∇_𝑏]𝜕𝑗𝑐 Bew.: [∇𝑎, ∇𝑏]𝑣^𝑐= [∇𝑎, ∇𝑏](𝑣^𝑗𝜕𝑗𝑐)^{𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛𝑖𝑧}= ([∇𝑎, ∇𝑏]𝑣^𝑗)𝜕𝑗𝑐+ 𝑣^𝑗[∇𝑎, ∇𝑏]𝜕𝑗𝑐

[∇𝑎, ∇_𝑏]𝑣^𝑐= ((∇_𝑎∇_𝑏− ∇_𝑏∇_𝑎)𝑣^𝑗) 𝜕_𝑗^𝑐+ 𝑣^𝑗[∇𝑎, ∇_𝑏]𝜕𝑗𝑐= (∇_𝑎∇_𝑏𝑣^𝑗− ∇_𝑏∇_𝑎𝑣^𝑗)𝜕𝑗𝑐+ 𝑣^𝑗[∇𝑎, ∇_𝑏]𝜕𝑗𝑐(𝑖𝑣)

⇒ [∇𝑎, ∇𝑏]𝑣^𝑐= (∇𝑎∇𝑏𝑣^𝑗− ∇𝑎∇𝑏𝑣^𝑗)𝜕_𝑗^𝑐+ 𝑣^𝑗[∇𝑎, ∇𝑏]𝜕_𝑗^𝑐= 𝑣^𝑗[∇𝑎, ∇𝑏]𝜕_𝑗^𝑐|𝑣^𝑗= 𝑣^𝑑𝑑𝑥_𝑑^𝑗⟹

[∇𝑎, ∇𝑏]𝑣^𝑐= 𝑣^𝑑𝑑𝑥_𝑑^𝑗[∇𝑎, ∇𝑏]𝜕_𝑗^𝑐= 𝑅^𝑐𝑑𝑎𝑏𝑣^𝑑 ∎

Antisymmetrie [∇𝑎, ∇_𝑏]𝑣^𝑐= 𝑅^𝑐_𝑑𝑎𝑏𝑣^𝑑=−[∇𝑏, ∇_𝑎]𝑣^𝑐= −𝑅^𝑐_𝑑𝑏𝑎⟹ 𝑅^𝑐_𝑑𝑎𝑏𝑣^𝑑=−𝑅^𝑐_𝑑𝑏𝑎𝑣^𝑑 Algebraische Derivationen

Algebra Eine Algebra (𝐴,∙) ist ein Vektorraum 𝐴 mit einer bilinearen Abbildung (Produkt) - hier symbolisiert durch den Punkt

∙ : 𝐴 × 𝐴 → 𝐴. Beispiel: ℝ³ als Vektorraum mit dem Kreuzprodukt ist eine Algebra.

Derivation Eine Derivation ist eine lineare Abbildung 𝐴 → 𝐴, die die Leibnitzregel befolgt: D(𝑎 ∙ 𝑏) = 𝐷𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ D𝑏 mit 𝑎, 𝑏 ∈ (𝐴,∙).

Der Raum der Derivationen ist ein Unterraum aller linearen Abbildungen: Der(𝐴, 𝐴) ⊆ L(𝐴, 𝐴).

Derivation ist ein Vektorraum

Beweise: Der(𝐴, 𝐴) ist ein Unterraum von L(𝐴, 𝐴), und daher ist auch Der(𝐴, 𝐴) ein (abgeschlossener) Vektorraum : ⟹ z.Z: wenn D₁, D₂∈ Der(𝐴, 𝐴), dann ist auch (D1+ D₂) ∈ Der(𝐴, 𝐴), d.h. dann ist auch (D1+ D₂) linear

 (𝐷1+ 𝐷2)(𝑎 ∙ 𝑏)^{𝐿𝑖𝑛.}= 𝐷1(𝑎 ∙ 𝑏) + 𝐷2(𝑎 ∙ 𝑏)^{𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛𝑖𝑡𝑧}= (𝐷1𝑎) ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝐷1𝑏 + (𝐷2𝑎) ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝐷2𝑏 =^{𝑏𝑖𝑙.}

 (𝐷1𝑎 + 𝐷₂𝑎) ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ (𝐷₁𝑏 + 𝐷₂𝑏) =𝑎 ∙ (𝐷₁+ 𝐷₂) 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ (𝐷1+ 𝐷₂)𝑏 ∎

⟹ Damit ist Der(𝐴, 𝐴) ein Unterraum von L(𝐴, 𝐴) und somit ein Vektorraum

Derivation ist eine Algebra mit dem Kommutator als Produkt

Mit dem Kommutator [𝐷1, 𝐷2] als Produkt ist Der(𝐴) eine Algebra: (Der(𝐴) , [∙,∙]) ist eine Algebra.

Bew.: Zu zeigen ist [. , . ]: Der(𝐴) × Der(𝐴) → Der(𝐴)⟺[𝐷1, 𝐷₂](𝑎 ∙ 𝑏) erfüllt die Leibnitz-Regel.

𝐷₁𝐷₂(𝑎 ∙ 𝑏)^{𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛𝑖𝑡𝑧}= 𝐷₁(𝐷2𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝐷₂𝑏) =^{𝐿𝑖𝑛.}𝐷₁(𝐷2𝑎 ∙ 𝑏) + 𝐷₁(𝑎 ∙ 𝐷2𝑏)^{𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛𝑖𝑡𝑧}⇒ 𝐷₁𝐷₂(𝑎 ∙ 𝑏) = 𝐷1𝐷₂𝑎 ∙ 𝑏 + 𝐷₂𝑎 ∙ 𝐷₁𝑏 + 𝐷₁𝑎 ∙ 𝐷₂𝑏 + 𝑎 ∙ 𝐷₁𝐷₂𝑏… (1) ⟹ 𝐷₂𝐷₁(𝑎 ∙ 𝑏) = 𝐷2𝐷₁𝑎 ∙ 𝑏 + 𝐷₁𝑎 ∙ 𝐷₂𝑏 + 𝐷₂𝑎 ∙ 𝐷₁𝑏 + 𝑎 ∙ 𝐷₂𝐷₁𝑏… (2) [𝐷1, 𝐷₂](𝑎 ∙ 𝑏) = 𝐷1𝐷₂(𝑎 ∙ 𝑏) − 𝐷2𝐷₁(𝑎 ∙ 𝑏)^(1),(2)⇒

[𝐷1, 𝐷₂](𝑎 ∙ 𝑏) = (𝐷1𝐷₂𝑎 ∙ 𝑏 + 𝐷₂𝑎 ∙ 𝐷₁𝑏 + 𝐷₁𝑎 ∙ 𝐷₂𝑏 + 𝑎 ∙ 𝐷₁𝐷₂𝑏) − (𝐷₂𝐷₁𝑎 ∙ 𝑏 + 𝐷₁𝑎 ∙ 𝐷₂𝑏 + 𝐷₂𝑎 ∙ 𝐷₁𝑏 + 𝑎 ∙ 𝐷₂𝐷₁𝑏) [𝐷1, 𝐷2](𝑎 ∙ 𝑏) = (𝐷1𝐷2𝑎 ∙ 𝑏 − 𝐷2𝐷1𝑎 ∙ 𝑏) + (𝑎 ∙ 𝐷1𝐷2𝑏 − 𝑎 ∙ 𝐷2𝐷1𝑏) + (𝐷1𝑎 ∙ 𝐷2𝑏 − 𝐷1𝑎 ∙ 𝐷2𝑏) + (𝐷2𝑎 ∙ 𝐷1𝑏 − 𝐷2𝑎 ∙ 𝐷1𝑏) [𝐷1, 𝐷2](𝑎 ∙ 𝑏) = [𝐷1, 𝐷2]𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ [𝐷1, 𝐷2]𝑏 ∎

Innere Derivation

Eine Derivation 𝒟 ∈ Der(Der(𝐴)) („sozusagen eine Derivation zweiter Ebene“), die auf eine Derivation 𝐷 ∈ Der(𝐴) wirkt, so dass 𝒟: Der(𝐴) → Der(𝐴), heißt „innere Derivation“. Weil das Produkt der „normalen“ Derivationen 𝐷 ∈ Der(𝐴) der Kommu- tator ist (siehe oben), definieren wir 𝐷1∗ 𝐷2≝ [𝐷1, 𝐷2]. Es muss für eine innere Derivation 𝒟 genauso die Leibnitzregel gelten:

𝒟(𝐷₁∗ 𝐷₂) = 𝒟(𝐷1) ∗ 𝐷2+ 𝐷₁∗ 𝒟(𝐷₂). Dies ist erfüllt, wenn 𝒟(𝐷₁) ≝ [𝐷, 𝐷1].

Leibnitzregel = Jacobi-Identität

Die Leibnitzregel 𝒟(𝐷1∗ 𝐷2) = 𝒟(𝐷1) ∗ 𝐷2+ 𝐷1∗ 𝒟(𝐷2) kann daher wegen 𝐷₁∗ 𝐷2≝ [𝐷1, 𝐷2] geschrieben werden als [𝒟, [𝐷1, 𝐷₂]] = [𝒟, 𝐷2] + [𝐷1, [𝒟, 𝐷₂]], bzw. mit der Substitution 𝒟 → 𝐷1; 𝐷₁→ 𝐷₂; 𝐷₂→ 𝐷₃ als