Institut f¨ur Biologische Physik Prof. Dr. Joachim Krug
der Universit¨at zu K¨oln — WS 2019/2020 Alexander Klug
Mathematische Methoden f¨ur das Lehramt
12. ¨ Ubung
Abgabe: Dienstag, 21. Januar 2020 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik
38. Verkehrte Welt
11 PunkteErstellen Sie eine Aufgabe mit L¨osung zu einem der bisherigen Themen mit angemessener Schwierigkeitsstufe. Alle geeigneten Aufgaben werden als Bonus¨ubung ver¨offentlicht.
39. Taylorreihe
18+6=24Punktea) Entwickeln Sie die folgenden Funktionenf(x) jeweils um den gegebenen Punkt in eine Tay- lorreihe:
(i) x3+ 6x2−x+ 1 um x0 = 2, (ii) ln(1 +x) umx0 = 0,
(iii) 1−x1 umx0 = 0,
(iv) exp(−x2) umx0 = 0, (v) ax um x0 = 0 mita >0, (vi) sinh(x) umx0= 0.
Hinweis: Bei manchen Funktionen bietet es sich an, die aus der Vorlesung bereits bekannte Potenzreihe der Exponentialfunktion, zu nutzen.
b) Berechnen Sie die Taylorentwicklung zweiter Ordnung f¨ur die Funktion f(x, y) = (y−cos(y)) sin(x)
um den Punkt (x0, y0) = (π2,0).
40. Lennard-Jones-Potential
6+9=15 Punkte Das Lennard-Jones-Potential ist ein einfaches mathematisches Model, welches die Wechselwir- kung zwischen zwei Atomen oder Molek¨ulen im Abstandr approximiert. Es ist gegeben durchV(r) = 4ε
σ
r 12
−σ r
6
mitr >0, ε >0 undσ >0.
a) Diskutieren Sie das Lennard-Jones-Potential anhand einer Skizze. Geben Sie an, ab wel- chem Abstand das Potential abstoßend/anziehend ist und ab welcher Energie die Bahn gebunden/ungebunden ist. Zeichnen Sie zudem eine gebundene und ungebundene Bahn in das Potential.
b) In der N¨ahe des Minimums, wird das Potential sehr gut durch eine Parabel beschrieben, was eine harmonische Schwingung zur Folge hat. Berechnen Sie die effektive Federkonstante f¨ur Schwingungen um das Minimum f¨urσ= 0.3nm undε= 10−21J. F¨uhren Sie hierzu eine Taylorentwicklung des Potentials durch.
