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Technische Universit¨at Berlin Fakult¨at II – Institut f¨ur Mathematik

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Academic year: 2021

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Technische Universit¨ at Berlin

Fakult¨ at II – Institut f¨ ur Mathematik WS 2013/2014 Dozentin: Dr. G. Penn-Karras

Assistentin: Dr. C. Papenfuss 11. April 2014

April – Klausur Integraltransformationen und partielle Differentialgleichungen f¨ ur Ingenieure

Name: . . . . Vorname: . . . . Matr.–Nr.: . . . . Studiengang: . . . .

Es ist ein handbeschriebenes A4 Blatt mit Notizen, sowie die Laplace-Tabelle zugelassen. Taschenrechner und Formelsammlungen sind nicht zugelassen.

Die L¨ osungen sind in Reinschrift auf A4 Bl¨ attern abzugeben. Mit Bleistift geschriebene Klausuren k¨ onnen nicht gewertet werden.

Geben Sie im Rechenteil immer den vollst¨ andigen Rechenweg und im Verst¨ andnisteil, wenn nichts anderes gesagt ist, immer eine kurze Begr¨ undung an.

Die Bearbeitungszeit betr¨ agt 90 Minuten.

Die Gesamtklausur ist mit 30 von 60 Punkten bestanden, wenn in jedem der beiden Teile der Klausur mindestens 10 von 30 Punkten erreicht werden.

Korrektur

1 2 3 Σ

4 5 6 7 Σ

1

(2)

Rechenteil

1. Aufgabe 10 Punkte

Bestimmen Sie die L¨ osung des Anfangswertproblems mit der Methode der Laplace- Transformation:

y 00 + 4y 0 + 3y = δ 3 (t) , y(0) = 1 , y 0 (0) = −1 .

Dabei bezeichnet δ 3 (t) = δ(t − 3) die in t = 3 zentrierte Diracfunktion.

2. Aufgabe 12 Punkte

a) Bestimmen Sie alle reellen L¨ osungen der Gestalt u(x, y) = X(x)Y (y) der partiellen Differentialgleichung

u xx + u yy = −u , die periodisch und nicht-konstant in x sind.

b) Welche der L¨ osungen aus a) sind außerdem periodisch und nicht-konstant in y?

c) Welche der L¨ osungen aus b) l¨ osen das Randwertproblem u xx + u yy = −u , u(0, y) = 0 , u(2π, y) = 0 , u(x, 0) = 0 ?

3. Aufgabe 8 Punkte

Bestimmen Sie aus den gegebenen vektorwertigen Funktionen

~ x 1 (t) =

2 t

t

!

, ~ x 2 (t) = t 2 t 4

!

, ~ x 3 (t) =

4 t

2t

!

, ~ x 4 (t) = 1 t 2

!

ein Fundamentalsystem (eine L¨ osungsbasis) zu dem Differentialgleichungssy- stem

~ x ˙ = − 2 t t 2

3

−t 3 t

!

~ x .

Begr¨ unden Sie Ihre Wahl.

2

(3)

Verst¨ andnisteil

4. Aufgabe 8 Punkte

Bestimmen Sie die allgemeine L¨ osung des Differentialgleichungssystems

~ x ˙ =

1 0 0 0 3 1 0 0 3

~ x .

5. Aufgabe 9 Punkte

Geben Sie jeweils eine m¨ oglichst einfache Ansatzfunktion zur Bestimmung einer partikul¨ aren L¨ osung der folgenden Differentialgleichungen an. Begr¨ unden Sie Ihren Ansatz. Die Differentialgleichungen sollen nicht gel¨ ost werden.

a) y 00 + y 0 − 2y = e t + t 2 , b) y 00 + 2y 0 = t cos t , c) y 000 + y 00 = t 2 .

6. Aufgabe 7 Punkte

Bestimmen Sie eine L¨ osung y(t) der folgenden Integralgleichung Z t

0

τ y(τ ) cos(t − τ )dτ = t − sin t .

Hinweis: Wenden Sie die Laplace-Transformation an.

7. Aufgabe 6 Punkte

Berechnen Sie die Fourier-Transformierte F

2 9t 2 + 12t + 5

(ω) .

Hierzu k¨ onnen Sie benutzen

F 1

1 + t 2

(ω) = πe −|ω|

F [f ( t

a )](ω) = |a|F [f (t)](aω) F[f (t − t 0 )](ω) = e −iωt

0

F [f(t)](ω)

3

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