Technische Universit¨at Berlin Fakult¨at II – Institut f¨ur Mathematik

Technische Universit¨ at Berlin

Fakult¨ at II – Institut f¨ ur Mathematik SS 03

G. Frank 14.10.2003

Oktober – Klausur (Verst¨ andnisteil) Analysis III f¨ ur Ingenieure

Name: . . . . Vorname: . . . . Matr.–Nr.: . . . . Studiengang: . . . .

Die L¨ osungen sind in Reinschrift auf A4 Bl¨ attern abzugeben. Mit Bleistift ge- schriebene Klausuren k¨ onnen nicht gewertet werden.

Dieser Teil der Klausur umfasst die Verst¨ andnisaufgaben, sie sollten ohne großen Rechenaufwand mit den Kenntnissen aus der Vorlesung l¨ osbar sein. Geben Sie, wenn nichts anderes gesagt ist, immer eine kurze Begr¨ undung an.

Die Bearbeitungszeit betr¨ agt eine Stunde.

Die Gesamtklausur ist mit 32 von 80 Punkten bestanden, wenn in jedem der beiden Teile der Klausur mindestens 10 von 40 Punkten erreicht werden.

Korrektur

1 2 3 4 5 6 Σ

1. Aufgabe 7 Punkte Sei D =

λ ₁ 0 0 λ ₂

, λ ₁ , λ ₂ ∈ R . Bestimmen Sie e ^D !

2. Aufgabe 6 Punkte

Zeigen Sie: ~ y 1 (x) = 2

2x

und ~ y 2 (x) = x

2x ²

bilden ein Fundamentalsystem von

~ y ⁰ (x) =

− _x ¹ _x ¹

−2 _x ³

~ y(x).

3. Aufgabe 6 Punkte

Betrachtet wird das folgende Rand- Eigenwertproblem

(xy ⁰ ) ⁰ + (1 − λ(x ² + 1))y = 0, y(0) = y(1) = 0, λ ∈ R .

Zeigen Sie, dass es sich hierbei um ein Sturm- Liouville’sches Rand- Eigenwert- problem handelt.

Hinweis: Sie brauchen nicht die L¨ osung zu bestimmen.

4. Aufgabe 8 Punkte

Bestimmen Sie mit Hilfe der Cauchy’schen Integralformel das komplexe Wegin- tegral

Z

|w|=2

e ^w

w(w − 3) dw.

5. Aufgabe 7 Punkte

Berechnen Sie das Integral R

γ 1

z dz, wobei γ die Gerade von z ₀ = i nach z ₁ = ^{√ 1}

2 − ^{√ i}

2 sein soll. Vereinfachen Sie Ihr Ergebnis so weit wie m¨ oglich.

6. Aufgabe 6 Punkte

Konstruieren Sie eine Funktion f, die in C \ {2} regul¨ ar analytisch ist und in

z ₀ = 2 einen Pol 3. Ordnung besitzt.Bestimmen Sie das Residuum von f f¨ ur

z ₀ = 2 und f¨ ur z ₁ = 0.