Martin Meyer. Signalverarbeitung

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Martin Meyer

Signalverarbeitung

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Aus dem Programm Informations- und

Kommunikationstechnik

www.viewegteubner.de Digitale Signalverarbeitung von K. D. Kammeyer und K. Kroschel Kommunikationstechnik

von M. Meyer

Grundlagen der Informationstechnik von M. Meyer

Signale und Systeme

von R. Scheithauer und J. Meins Digitale Sprachsignalverarbeitung von P. Vary, U. Heute und W. Hess

Digitale Signalverarbeitung mit MATLAB

^®

von M. Werner

Digitale Signalverarbeitung mit MATLAB

^®

-Praktikum von M. Werner

Nachrichtentechnik von M. Werner

Signale und Systeme von M. Werner

Digitale Audiosignalverarbeitung

von U. Zölzer, M. Bossert und N. Fliege

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Martin Meyer

Signalverarbeitung

Analoge und digitale Signale, Systeme und Filter 5. Auflage

STUDIUM

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Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der

Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über

<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.

1. Auflage 1998

2., durchgesehene Auflage 2000 3., korrigierte Auflage 2003

4., überarbeitete und aktualisierte Auflage 2006 5. Auflage 2009

Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.

www.viewegteubner.de

Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.

Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: Krips b.v., Meppel Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.

Printed in the Netherlands ISBN 978-3-8348-0494-5

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Vorwort

Dieses Buch behandelt auf Hochschulniveau die Grundlagen der analogen und digitalen Signalverarbeitung, wie sie für Anwendungen in der Nachrichten-, Regelungs- und Mess- technik benötigt werden. Das Buch entstand aus meiner Tätigkeit als Dozent an der Fachhoch- schule Nordwestschweiz (FHNW).

Die Signalverarbeitung befasst sich mit der mathematischen Darstellung von Signalen sowie von Algorithmen (z.B. Filterung), die von Systemen ausgeführt werden. In diesem einführen- den Buch wird die klassische Theorie der Signalverarbeitung behandelt. Aus mehreren Grün- den wird eine abstrakte, „theorielastige“ Darstellung benutzt:

• Abstrakte Betrachtungen sind universeller, also breiter anwendbar.

• Die Theorie lässt sich dadurch mit Analogien aufgrund vorhergehender Kapitel auf- bauen, sie wird somit kompakter.

• Die Theorie veraltet viel weniger schnell als die Praxis. Unter „Praxis“ verstehe ich hier die Implementierung eines Systems, z.B. mit einem digitalen Signalprozessor.

Diese Implementierung und die dazu benutzten Hilfsmittel werden darum nur knapp besprochen.

Heute stehen natürlich die digitalen Konzepte im Vordergrund, sie werden im Folgenden auch speziell betont. Trotzdem finden sich noch Kapitel über analoge Signale und Systeme. Aus deren theoretischem Fundament wächst nämlich die Theorie der digitalen Signale und Systeme heraus. Der Aufwand verdoppelt sich also keineswegs durch die Behandlung beider Welten.

Zudem werden immer noch beide Theorien benötigt: digitale Rekursivfilter beispielsweise werden häufig aufgrund ihrer analogen Vorbilder dimensioniert, und sehr oft verarbeitet man ursprünglich analoge Signale mit digitalen Systemen.

Das Buch umfasst einen „analogen Teil“ (Kapitel 2, 3 und 4) und einen „digitalen Teil“ (Kapi- tel 5, 6 und 7), welche in sich gleich aufgebaut sind: Signale - Systeme - Filter. Man kann das Buch auf zwei Arten durcharbeiteten: entweder entsprechend der Nummerierung der Kapitel oder aber analoge und digitale Teile quasi parallel, d.h. Kapitel 2, 5, 3, 6, 4, 7.

Aus Platzgründen mussten viele interessante Gebiete weggelassen werden, z.B. die Theorie und Anwendung der Zufallssignale. Ferner fehlt die Systemdarstellung im Zustandsraum. Ich erachte es jedoch als vorteilhafter, sich zuerst eine solide Basis und ein tiefes Verständnis der Grundlagen zu erarbeiten, bevor man sich mit Spezialgebieten befasst. Zudem möchte ich nicht

„der Vollständigkeit halber“ z.B. Korrelationsfunktionen einführen, diese aber dann „aus Platz- gründen“ oder „weil der Rahmen gesprengt würde“ doch nicht anwenden.

Als Voraussetzung zum Verständnis dieses Buches braucht der Leser Kenntnisse der Mathe- matik, wie sie in jedem technischen oder naturwissenschaftlichen Grundstudium angeboten werden. Konkret bedeutet dies den Umgang mit komplexen Zahlen, Funktionen, Reihen (insbesondere Fourier-Reihen) sowie der Differential- und Integralrechnung. Kenntnisse der Elektrotechnik, Elektronik und Digitaltechnik sind nützlich, aber nicht unbedingt erforderlich.

Die Entwicklung eines Systems für die Signalverarbeitung erfolgt heute mit Hilfe des Compu- ters. Dies bedeutet aber nicht, dass fundierte Kenntnisse der Theorie durch Mausklicks ersetzt werden können. Oft lässt sich nämlich eine Aufgabe nur näherungsweise lösen. Der Ingenieur muss deshalb die Vor- und Nachteile der verschiedenen Verfahren sowie die theoretischen Grenzen kennen, um den für seine Anwendung günstigsten Kompromiss zu finden und seine

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Systeme zu optimieren. Die eigentliche Rechenarbeit überlässt man natürlich dem Computer.

Dazu sind leistungsstarke Softwarepakete erhältlich, die es auch gestatten, die Theorie zu visu- alisieren und zu überprüfen. Im vorliegenden Buch arbeite ich mit MATLAB. Ich empfehle dringendst, dieses Buch zusammen mit einem Softwaretool durchzuarbeiten, sei es MATLAB oder irgend eines der Konkurrenzprodukte. Der Gewinn liegt erstens im tieferen und anschau- licheren Verständnis der Theorie und zweitens verfügt der Leser danach über ein wirklich starkes Werkzeug zur Behandlung neuer Aufgabenstellungen.

Im Hinblick auf einen für Studierende erträglichen Verkaufspreis achtete ich auf einen be- grenzten Umfang. Es war darum nicht möglich, alle wünschbaren Rechenbeispiele in den Text einzufügen. Zusätzliche Beispiele und einige Abschnitte der Theorie sind deshalb in einen Anhang ausgelagert, der auf der Verlags-Webplattform ONLINEPLUS unter www.viewegteubner.de erhältlich ist. Ebenfalls dort finden sich Hinweise zum Einsatz von MATLAB in der Signalverarbeitung sowie einige nützliche MATLAB-Routinen.

Bei den Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des Vieweg+Teubner Verlages bedanke ich mich für die stets angenehme Zusammenarbeit.

Hausen AG (Schweiz), im August 2008 Martin Meyer

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VII

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung ... 1

1.1 Das Konzept der Systemtheorie... 1

1.2 Übersicht über die Methoden der Signalverarbeitung... 4

2 Analoge Signale... 14

2.1 Klassierung der Signale ... 14

2.1.1 Unterscheidung kontinuierlich - diskret... 14

2.1.2 Unterscheidung deterministisch - stochastisch ... 16

2.1.3 Unterscheidung Energiesignale - Leistungssignale... 16

2.2 Die Fourier-Reihe ... 19

2.2.1 Einführung ... 19

2.2.2 Sinus- / Cosinus-Darstellung ... 20

2.2.3 Betrags- / Phasen-Darstellung... 21

2.2.4 Komplexe Darstellung ... 22

2.2.5 Das Theorem von Parseval für Leistungssignale ... 27

2.3 Die Fourier-Transformation (FT)... 28

2.3.1 Herleitung des Amplitudendichtespektrums ... 29

2.3.2 Die Faltung ... 34

2.3.3 Das Rechnen mit der Delta-Funktion... 37

2.3.4 Die Fourier-Transformation von periodischen Signalen... 41

2.3.5 Die Eigenschaften der Fourier-Transformation ... 47

2.3.6 Das Theorem von Parseval für Energiesignale ... 57

2.3.7 Tabelle einiger Fourier-Korrespondenzen ... 59

2.4 Die Laplace-Transformation (LT) ... 60

2.4.1 Wieso eine weitere Transformation? ... 60

2.4.2 Definition der Laplace-Transformation und Beziehung zur FT... 60

2.4.3 Die Eigenschaften der Laplace-Transformation ... 64

2.4.4 Die inverse Laplace-Transformation ... 69

2.4.5 Tabelle einiger Laplace-Korrespondenzen (einseitige Transformation) ... 70

3 Analoge Systeme ... 71

3.1 Klassierung der Systeme... 71

3.1.1 Linearität... 71

3.1.2 Zeitinvarianz ... 74

3.1.3 Kausale und deterministische Systeme ... 74

3.1.4 Dynamische Systeme ... 75

3.1.5 Stabilität ... 75

3.2 Die Impulsantwort oder Stossantwort... 76

3.3 Der Frequenzgang und die Übertragungsfunktion ... 77

3.4 Die Schrittantwort oder Sprungantwort ... 82

3.5 Kausale Systeme ... 87

3.6 Pole und Nullstellen... 89

3.6.2 Amplitudengang, Phasengang und Gruppenlaufzeit ... 91

3.6.3 PN-Schemata der Filterarten... 96

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VIII Inhaltsverzeichnis

3.6.4 Realisierungsmöglichkeiten ... 98

3.7 Bodediagramme ... 99

3.8 Systemverhalten im Zeitbereich... 102

3.9 Spezielle Systeme ... 106

3.9.1 Mindestphasensysteme... 106

3.9.2 Allpässe... 108

3.9.3 Zweipole ... 109

3.9.4 Polynomfilter ... 110

3.10 Normierung ... 110

3.11 Übersicht über die Systembeschreibungen ... 112

3.11.2 Stabile LTI-Systeme mit endlich vielen konzentrierten Elementen ... 114

3.11.3 Nichtlineare und/oder zeitvariante Systeme... 115

3.11.4 Bestimmen der Systemgleichung ... 116

3.11.5 Computergestützte Systemanalyse... 120

4 Analoge Filter... 123

4.1 Einführung ... 123

4.2 Approximation des idealen Tiefpasses... 130

4.2.2 Butterworth-Approximation... 131

4.2.3 Tschebyscheff-I-Approximation ... 134

4.2.4 Bessel-Approximation ... 136

4.2.5 Tschebyscheff-II- und Cauer-Approximation ... 137

4.2.6 Filter mit kritischer Dämpfung... 137

4.3 Frequenztransformation ... 138

4.3.1 Tiefpässe ... 138

4.3.2 Hochpässe ... 138

4.3.3 Bandpässe ... 140

4.3.4 Bandsperren ... 144

4.3.5 Allpässe... 145

4.4 Die praktische Realisierung von aktiven Analogfiltern ... 145

4.4.1 Darstellung in der Kaskadenstruktur und Skalierung... 145

4.4.2 Die Filter-Koeffizienten ... 148

5 Digitale Signale ... 150

5.2 Die Fourier-Transformation für Abtastsignale (FTA)... 152

5.2.2 Die ideale Abtastung von Signalen ... 153

5.2.3 Das Spektrum von abgetasteten Signalen ... 154

5.2.4 Das Abtasttheorem... 158

5.2.5 Die Rekonstruktion von abgetasteten Signalen (DA-Wandlung)... 161

5.3 Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) ... 164

5.3.1 Die Herleitung der DFT ... 164

5.3.2 Die Verwandtschaft mit den komplexen Fourier-Koeffizienten ... 166

5.3.3 Die Eigenschaften der DFT... 169

5.3.4 Die schnelle Fourier-Transformation (FFT) ... 174

5.3.5 Die Redundanz im Spektrum reeller Zeitfolgen... 180

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Inhaltsverzeichnis IX

5.4 Spektralanalyse mit der DFT/FFT ... 182

5.4.2 Periodische Signale... 184

5.4.3 Quasiperiodische Signale... 187

5.4.4 Nichtperiodische, stationäre Leistungssignale ... 199

5.4.5 Nichtstationäre Leistungssignale ... 199

5.4.6 Transiente Signale... 201

5.4.7 Messung von Frequenzgängen... 202

5.4.8 Zusammenfassung ... 203

5.5 Die diskrete Faltung... 204

5.6 Die z-Transformation (ZT) ... 206

5.6.1 Definition der z-Transformation ... 206

5.6.2 Zusammenhang der ZT mit der LT und der FTA ... 209

5.6.3 Eigenschaften der z-Transformation ... 211

5.6.4 Die inverse z-Transformation ... 215

5.6.5 Tabelle einiger z-Korrespondenzen ... 218

5.7 Übersicht über die Signaltransformationen... 219

5.7.1 Welche Transformation für welches Signal? ... 219

5.7.2 Zusammenhang der verschiedenen Transformationen... 220

6 Digitale Systeme... 225

6.2 Die Differenzengleichung... 231

6.3 Die Impulsantwort ... 233

6.4 Der Frequenzgang und die z-Übertragungsfunktion ... 236

6.5 Die Schrittantwort... 242

6.6 Pole und Nullstellen... 243

6.7 Strukturen und Blockschaltbilder ... 245

6.8 Digitale Simulation analoger Systeme ... 251

6.9 Übersicht über die Systeme ... 254

6.10 Der Einfluss der Amplitudenquantisierung... 256

6.11 Die Realisierung von digitalen Systemen ... 263

7 Digitale Filter ... 264

7.1 IIR-Filter (Rekursivfilter) ... 264

7.1.2 Filterentwurf mit der impulsinvarianten z-Transformation... 266

7.1.3 Filterentwurf mit der bilinearen z-Transformation... 274

7.1.4 Frequenztransformation im z-Bereich... 284

7.1.5 Direkter Entwurf im z-Bereich... 285

7.2 FIR-Filter (Transversalfilter) ... 287

7.2.2 Die 4 Typen linearphasiger FIR-Filter... 287

7.2.3 Filterentwurf mit der Fenstermethode... 293

7.2.4 Filterentwurf durch Frequenz-Abtastung... 301

7.2.5 Filterentwurf durch Synthese im z-Bereich... 302

7.2.6 Linearphasige Hochpässe, Bandpässe und Bandsperren... 303

7.3 Die Realisierung eines Digitalfilters ... 313

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X Inhaltsverzeichnis

Literaturverzeichnis ... 315

Verzeichnis der Formelzeichen ... 318

Verzeichnis der Abkürzungen ... 320

Sachwortverzeichnis... 321

Die Anhänge (Beispiele und Ergänzungen zur Theorie, Hinweise zum Einsatz von MATLAB) sind erhältlich im ONLINEPLUS unter www.viewegteubner.de .