Algorithmen und Komplexität Assistentgespräch 4

ETH Zürich

Institut für Theoretische Informatik

Prof. Dr. Angelika Steger, Dr. Johannes Lengler Übungsleitung: Florian Meier

HS 2019

Algorithmen und Komplexität Assistentgespräch 4

Melde dich für einen 15 minütigen Timeslot auf www.pele.ethz.ch während des Zeitfensters vom 2.12.2019 bis 22.12.2019 an. Teilaufgabe c) ist schwierig, kommen Sie auch zum Gespräch, wenn Sie c) nicht lösen konnten.

? ? ?

Aufgabe 1

EineClique in einem ungerichteten GraphenG = (V,E)ist ein vollständiger Teilgraph vonG, d.h. eine TeilmengeV⁰ ⊆Vmit der Eigenschaft, dass{v,w} ∈E ∀v,w∈V⁰. Einek-Cliquevon Gist eine Clique, die auskKnoten besteht. EineIndependent Setin einem ungerichteten Graphen G= (V,E)ist ein kantenloser Teilgraph vonG, d.h. eine TeilmengeV⁰ ⊆Vmit der Eigenschaft, dass {v,w} ∈/ E ∀v,w ∈ V⁰. Einek-Independent Setvon Gist ein Independent Set, das aus k Knoten besteht. Wir betrachten die folgenden Entscheidungsprobleme:

k-CLIQUE(k≥2 fest) Eingabe: G= (V,E)

Frage: BesitztGeinek-Clique?

CLIQUE

Eingabe: G= (V,E),k≥2 Frage: BesitztGeinek-Clique?

INDEPENDENTSET

Eingabe: G= (V,E)_,k≥2

Frage: BesitztGeink-Independent Set?

Man beachte, dass bei CLIQUEund INDEPENDENTSETdie ZahlkBestandteil der Eingabe ist.

a) Zeigen Sie, dassk-CLIQUE(für festesk) inPliegt! Betrachten Sie dazu den naiven Algorith- mus, der das Problem durch vollständige Enumeration löst (d.h. allek-Teilmengen vonV untersucht). Wieso ist dies kein polynomieller Algorithmus für das Problem CLIQUE? b) Zeigen Sie, dass CLIQUE≤_PINDEPENDENTSETN P. Zeigen Sie, dass INDEPENDENTSET

N P-vollständig ist, indem Sie annehmen, dass CLIQUEN P-vollständig ist.

c) Zeigen Sie, dass die Sprache CLIQUEN P-vollständig ist, indem Sie zeigen, dass CLIQUEin N Pliegt und dass 3-SAT≤_P CLIQUEgilt.

P

A

Z

2.12.19

22.12.19.

1