Nach Beendigung der Klausur sind alle beschriebenen Blätter abzugeben! (2)Aufgabe 1

(1)

Humboldt-Universität zu Berlin Mathematik für Naturwissenschaftler I

Institut für Mathematik Wintersemester 2018/2019

Dr. Jens A. Griepentrog Bernhard Stankewitz

Klausur

4. März 2019 (90 Minuten)

Name: Vorname:

Studiengang: Matrikelnummer:

Ergebnis

Aufgabe 1 2 3 4 5 P

Mögliche Punktzahl 8 8 8 8 8 40

Erreichte Punktzahl Korrektor

Hinweise:

1. Bitte füllen Sie das Deckblatt vollständig und gut lesbar aus!

2. Sie können in der Klausur als Hilfsmittel ein beidseitig von Hand beschriebenes A4-Blatt benutzen.

3. Bitte fangen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt an!

4. Numerieren Sie die Lösungsblätter durch und versehen Sie alleBlätter zusätzlich zu Ihrer Matrikelnummer auch mit Ihrem Namen!

5. Die Lösungen zu den Aufgaben sollen möglichst gut begründet werden!

6. Nach Beendigung der Klausur sind alle beschriebenen Blätter abzugeben!

(2)

Aufgabe 1. Man berechne für jedesn2N [ f0gdie Teilsumme snDPn

kD0

1

.1Cki/.1C.kC1/i/ 2C

sowie den Grenzwert der Folge.sn/inC! ³

Lösung. 1. Im Teilbruchansatz

1

.1Cki/.1C.kC1/i/ D _1C^a_ki C _1C_.k^b_C_1/i fürk 2N [ f0g sollen die unbekannten Koeffizientena,b 2Cbestimmt werden: Es gilt

1Da.1C.kC1/i/Cb.1Cki/Dk.aCb/iCa.1Ci/Cb

für allek 2 N [ f0g, woraus sich durch Koeffizientenvergleich vor den Termen gleicher Ordnung inkdas System linearer Gleichungen.aCb/i D0unda.1Ci/Cb D1ergibt.

AusaCb D0und der zweiten Gleichung folgtai D 1und somita D i sowieb Di.

Man erhält die Teilbruchzerlegung

1

.1Cki/.1C.kC1/i/ D ₁_C_.kⁱ_C_1/i ₁_Cⁱ_ki fürk2 N[ f0g: 2. Mit Hilfe einer Indexverschiebung ergibt sich

snDPn

kD0 1

.1Cki/.1C.kC1/i/ DPn

kD0 i 1C.kC1/i

Pn kD0 i

1Cki

DPnC1 kD1

i 1Cki

Pn kD0

i

1Cki D ₁_C_.nⁱ_C_1/i i für allen2N [ f0g. Wegen limn!1 i

1C.nC1/i D0konvergiert die Zahlenfolge.sn/gegen den Grenzwert limn!1snD i 2C.

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Aufgabe 2. Man bestimme die Koeffizienten .ak/ derjenigen Potenzreihe .sn/ um den Mittelpunktx0 D0, die aufRgegen die durchs.x/D .sinhx x/² fürx 2 Rdefinierte Grenzfunktions WR! Rkonvergiert! Welchesk 2 N ist die größte natürliche Zahl, für die der Grenzwert limx!0s.x/

x^k 2Rexistiert? ³

Lösung. 1. Mit Hilfe des Additionstheorems

cosh2xD.coshx/²C.sinhx/² D1C2 .sinhx/² fürx 2R werden Umformungen unternommen, die eine Verwendung der Potenzreihen

coshxDP1 kD0

1

.2k/Šx^2k und sinhx DP1 kD0

1

.2kC1/Šx^2k^C¹ fürx 2R für die hyperbolischen Funktionen um den Mittelpunktx0 D0gestatten: Wegen

s.x/D.sinhx x/²D.sinhx/² 2xsinhxCx² D ¹₂cosh2x ¹₂ 2xsinhxCx² folgt daraus für allex 2Rdie Entwicklung

s.x/D ¹₂P₁

kD0 1

.2k/Š.2x/^2k ¹₂ 2xP₁

kD0 1

.2kC1/Šx^2k^C¹Cx² DP1

kD0 1

.2k/Š2^{2k 1}x^2k ¹₂ P1 kD1

1

.2k 1/Š2x^2kCx² DP1

kD3 1

.2k/Š.2^{2k 1} 4k/ x^2k C ¹₂ ¹₂ Cx²C ¹₃x⁴

C x² 2x² ¹₃x⁴ DP₁

kD3 1

.2k/Š.2^{2k 1} 4k/ x^2k

der Funktions WR!Rin eine Potenzreihe.sn/umx0D0.

2. Aufgrund der Gestalt der Potenzreihe.sn/erhält man die Existenz des Grenzwerts limx!0s.x/

x⁶ Da6 D ₇₂₀²⁰ D ₃₆¹ . Wegen der Beziehung ^s.x/_xk D ^s.x/_x6 _xk¹6 ist somitk D6die größte natürliche Zahl, für die der Grenzwert limx!0 s.x/

x^k 2Rexistiert.

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Aufgabe 3. Seien die Funktion f W R ! Rdurch f .x/ D coshx fürx 2 Rdefiniert, ferner ein beliebiger Punktx0 2Rsowie die durch

g.x/Df .x0/CDf .x0/.x x0/ fürx 2R

definierte Linearisierung g W R ! Rvon f inx0 gegeben. Man zeige, daß die Gerade f.x; y/ 2 R² j g.x/ D yg und die Kreislinief.x; y/ 2 R² j .x x0/²Cy² D 1g genau einenPunkt.x; y/2R²gemeinsam haben und bestimme dessen Koordinaten! ³ Lösung. Da die Funktionf WR!Rinx0 2 Rdie AbleitungDf .x0/Dsinhx0besitzt, hat die LinearisierunggWR!Rvonf inx0die Gestalt

g.x/Df .x0/CDf .x0/.x x0/Dcoshx0C.x x0/sinhx0 fürx2 R:

Somit muß jeder Punkt.x; y/2R², welcher sowohl auf der gegebenen Gerade als auch auf der angegebenen Kreislinie liegt, den beiden Gleichungen

coshx0C.x x0/sinhx0 Dy; (1)

.x x0/²Cy² D1; (2)

genügen. Setzt man die Gleichung (1) in die Gleichung (2) ein, dann ergibt sich aufgrund des Additionstheorems.coshx0/² .sinhx0/²D1die quadratische Gleichung

0D.x x0/²C.coshx0C.x x0/sinhx0/² 1

D.x x0/².1C.sinhx0/²/C2.x x0/coshx0sinhx0C.coshx0/² 1 D.x x0/².coshx0/²C2.x x0/coshx0sinhx0C.sinhx0/²

D..x x0/coshx0Csinhx0/²

in x, welche genau eine Lösung, nämlich x D x0 tanhx0 2 R hat. Setzt man diese Lösung in Gleichung (1) ein, so erhält man wegen.coshx0/² .sinhx0/²D1schließlich

y Dcoshx0 tanhx0sinhx0 D ^.cosh^x⁰_cosh^/² _x^.sinh₀ ^x⁰^/² D _cosh¹_x₀: Damit ist.x; y/ D x0 tanhx0;_cosh¹_x

0

2 R²dereinzigePunkt, welcher sowohl auf der gegebenen Gerade als auch auf der angegebenen Kreislinie liegt.

(5)

Aufgabe 4. Man berechne das Integral Rb

a cosxcos2xcos3x dx

für beliebig vorgegebene Grenzena,b 2R! ³

Lösung. 1. Die beiden Additionstheoreme cos.˛˙ˇ/ Dcos˛cosˇsin˛sinˇliefern 2cos˛cosˇDcos.˛Cˇ/Ccos.˛ ˇ/ für alle˛,ˇ2 R:

Daraus folgt für jedesx 2Rim ersten Schritt zunächst cosxcos2x D ¹₂.cos3xCcosx/

und somit im zweiten Schritt

cosxcos2xcos3xD ¹₂cos3xcos3xC¹₂cosxcos3x D ¹₄.cos6xC1/C¹₄.cos4xCcos2x/

D ¹₄.1Ccos2xCcos4xCcos6x/:

2. Damit kann das gesuchte Integral auf Grundintegrale zurückgeführt werden: Es gilt Rb

a cosxcos2xcos3x dx D ¹₄Rb

a.1Ccos2xCcos4xCcos6x/ dx D ¹₄.b a/C¹₈.sin2b sin2a/

C ₁₆¹.sin4b sin4a/C ₂₄¹.sin6b sin6a/

für allea,b 2R.

(6)

Aufgabe 5. Zum Nachweis der Existenz und der Berechung des Werts des uneigentlichen IntegralsPk D R1

0. lnt /^kdt fürk 2 N [ f0g gehe man wie folgt vor: Man weise durch vollständige Induktion nach, daß die Beziehungen

P0D1; PkC1 D.kC1/Pk und damit Pk DkŠ

für allek2 N[ f0ggelten! ³

Lösung. Der Nachweis wird durch vollständige Induktion überk 2N [ f0ggeführt:

Induktionsanfang:Im Fallek D0ergibt sich die Existenz des Grenzwerts P0 Dlim

a#0

R1

a. lnt /⁰dt Dlim

a#0

R1

a 1 dt Dlim

a#0.1 a/D1:

Induktionsschritt:Unter der Annahme, daß die Induktionsvoraussetzung für einen In- dexk 2N[ f0gerfüllt ist, alsoPk DkŠgilt, soll durch den Nachweis der Rekursionsfor- melPkC1 D.kC1/Pk gezeigt werden, daßPkC1 D.kC1/Šgilt:

Für allea20; 1Œerhält man durch teilweise Integration zunächst R1

a 1. lnt /^k^C¹dt DR1

a t .kC1/. lnt /^{k 1}_t dt . lna/^k^C¹a D.k C1/R1

a. lnt /^kdt . lna/^k^C¹a:

Wendet man die Regel von Bernoulli-de l’Hospital.kC1/-mal an, so erhält man lima#0. lna/^k^C¹aD lim

b!1. ln e ^b/^k^C¹e ^b D lim

b!1 b^k^C¹

e^b D lim

b!1 .kC1/Š

e^b D0

und damit nach Induktionsvoraussetzung die Existenz des Grenzwerts lima#0

R1

a. lnt /^k^C¹dt D.k C1/lim

a#0

R1

a. lnt /^kdt D.kC1/Pk D.kC1/kŠD.kC1/Š Damit ist die InduktionsbehauptungPkC1 D.kC1/Šbewiesen.