Klausur „Lineare Algebra 1“
Fachbereich Mathematik SS 2012
M. Schneider
Tragen Sie in die nachstehenden Zeilen Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Versehen Sie alle Blätter mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer und nummerieren Sie die Blätter.
Name: . . . . Vorname: . . . .
Matr. Nr.: . . . . Studiengang: . . . .
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 P
Note
Punktzahl 2 2 3 4 5 3 3 22
erreichte Punktzahl Hinweise:
a) Die Bearbeitungsdauer der Klausur beträgt 90 Minuten.
b) Als Hilfsmittel zur Klausur sind zugelassen: keine.
c) Mobiltelefone sind auszuschalten und in der Tasche zu verstauen.
d) Bitte legen Sie Ihren Studierendenausweis zusammen mir einem Lichtbildausweis zur Kontrolle bereit.
e) Viel Erfolg!
1. Aufgabe (2 Punkte)
Es seienX undY Vektorräume überK.
(a) Geben Sie eine mathematische Definition derDimension vonX.
(b) Wie lautet die Dimensionsformel für einen Vektorraumhomomorphismusφ∈H om(X,Y).
Lösung:
(a) IstX endlich erzeugt, dann istd imKX die Anzahl Elemente einer Basis vonX. IstX nicht endlich erzeugt, dann istd imKX=∞
(b) dimX=dimBildφ+dimKernφ=rang(φ)+d(φ)
2. Aufgabe (2 Punkte)
(a) Bestimmen Sie eine Inverse der reellen Matrix
1 0 0 0 2 0 0 0 3
.
(b) Bestimmen Sie die Signatur der Permutationσ∈S3definiert durch σ:=
1 2 3 3 1 2
.
Lösung:
(a)
1 0 0 0 2 0 0 0 3
−1
=
1 0 0 0 12 0 0 0 1
3
(b) Inversionen vonσ:(1,2), (1,3)⇒sgn(σ)=1
3. Aufgabe (3 Punkte)
Man betrachte das lineare Gleichungssystem(L)Ax=bmit
A:=
1 2 3 0 1 2 1 3 5
undb:=
3 1 4
.
Man bestimme durch eine Rechnung die Lösungsmenge von(L).
Lösungsmenge={
1 0
+x3
−2 1
|x3∈R}
4. Aufgabe (4 Punkte)
Betrachteφ∈H om(R3,R)definiert durch
φ
x1 x2 x3
:=x1+2x2+3x3.
(a) (1P) Bestimmen Sie die Dimension von Kernφ.
(b) (2P) Bestimmen Sie die Dimension von Kernφ∩U, wobei
U:=span
1 0 1
,
0 1
−1
.
(c) (1P) Bestimmen Sie einen UntervektorraumW vonR3mitR3=U⊕W.
Alle Antworten sind zu begründen, etwa durch eine Rechnung.
Lösung:
(a) Dimensionsformel: 3=Rangφ+dimKernφ φ6=0⇒Rangφ=1⇒dimKernφ=2
(b) φ(
1 0 1
) =1+3=46=0⇒U*Kernφ
Dimensionsformel: dim(U∩Kernφ)=dimU+dimKernφ-dim(U+Kernφ) U*Kernφ⇒U+Kernφ=R3⇒dim(U∩Kernφ)=2+2-3=1.
dimU=2, denn
1 0 1
,
0 1
−1
sind linear unabh.
(c) W:=span{
0 0 1
}
det
0 1 0 0 0 1 1 1 −1
=1
⇒
0 0 1
,
1 0 1
,
0 1
−1
Basis vonR3
⇒U+W=R3undU∩W=0
5. Aufgabe (5 Punkte)
Betrachteφ∈H om(R4,R4)definiert durch
φ
x1 x2 x3 x4
:=
x1+12x2+x3 2x3−x1 4x1+3x2+x3
1
2x1−x2+x3
(a) (1P) Bestimmen Sie die Spur vonφ.
(b) (2P) Bestimmen Sie eine Basis von Kernφ.
(c) (2P) Bestimmen Sie eine Basis von Bildφ.
Alle Antworten sind zu begründen, etwa durch eine Rechnung.
Lösung:
(a) φ(x) =
1 12 1 0
−1 0 2 0
4 3 1 0
1
2 −1 1 0
x1 x2 x3 x4
⇒tr(φ)=2
(b)
1 1
2 1 0
−1 0 2 0
4 3 1 0
1
2 −1 1 0
0 0 0 0
→
1 12 1 0 0 12 3 0
0 1 −3 0
0 −54 −12 0
0 0 0 0
→
1 1
2 1 0
0 12 3 0 0 0 −9 0
0 0 8 0
0 0 0 0
→
1 1
2 1 0
0 12 3 0 0 0 −9 0
0 0 0 0
0 0 0 0
→
Rangφ=3⇒dimKernφ=1,
0 0 0 1
∈Kernφ⇒Kernφ=span
0 0 0 1
(c) Rangφ=3
Bildφ=span(φ(e1),φ(e2), . . . ,φ(e4),)=span{
1
−1 4
1 2
,
1
02
3
−1
,
1 2 1 1
} Wegen Rangφ=3 ist dies auch eine Basis!
6. Aufgabe (3 Punkte)
Es seiV einK-Vektorraum undU,W seien Untervektoräume vonV mitW⊆U. Man zeige:
(a) (1P)U/W:={u+W:u∈U}ist ein Untervektorraum vonV/W. (b) (2P)(V/W)(U/W)ist isomorph zuV/U.
Zeigeϕist wohldefiniert:
Seiv1+W=v2+W⇔v1−v2∈W⊆U
⇒v1+U=v2+U,dennv1−v2∈U
Kernϕ:ϕ(v+W) =0⇔v+U=0+U⇔v∈U,d.h. Kernϕ=U/W Homomorphisatz⇒(V/W)
(U/W)ist isomorph zuV/U ϕist offenbar surjektiv.
7. Aufgabe (3 Punkte)
Man betrachte inR3
B:=
1 0 0
,
0 1 0
,
0 0 1
undC:=
1 1 1
,
0 1
−1
,
1 0 1
(a) (1P) Man zeige, dassCeine Basis vonR3ist.
(b) (2P) Man bestimme durch eine Rechnung die Übergangsmatrizen[id]BCund[id]CB. Lösung:
(a) det
1 0 1
1 1 0
1 −1 1
=−16=0⇒Basis.
(b) [id]CB=
1 0 1
1 1 0
1 −1 1
[id]BC= [[id]CB]−1
1 0 1
1 1 0
1 −1 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
→
1 0 1
0 1 −1
0 −1 0
1 0 0
−1 1 0
−1 0 1
→
1 0 1 0 1 −1 0 0 −1
1 0 0
−1 1 0
−2 1 1
→
1 0 1 0 1 −1 0 0 1
1 0 0
−1 1 0 2 −1 −1
→
1 0 0 0 1 0 0 0 1
−1 1 1 1 0 −1 2 −1 −1
→
⇒[id]BC=
−1 1 1 1 0 −1 2 −1 −1
.