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7. Übung „Theoriefragen zur Prozessoptimierung“

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Academic year: 2021

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Übung Prozessoptimierung Lehrstuhl für Systemverfahrenstechnik WS 2014/2015

Holger Eisenschmidt, eisenschmidt

@mpi-magdeburg.mpg.de

S. 1/2

7. Übung

„Theoriefragen zur Prozessoptimierung“

Aufgabe 1: Sukzessive Variation der Variablen

In der folgenden Abbildung ist der Verlauf des Verfahrens der sukzessiven Variation der Variablen am Beispiel der Himmelblau-Funktion zu sehen. Als unterlagerte Liniensuche wurde hier das Newton-Raphson Verfahren verwendet. Die Abbruchkriterien waren hierbei: ||F

x

|| < ε.

Gegen welchen Punkt (weiß) ist das Verfahren (ausgehend vom gelben Startpunkt) konvergiert, und wie ist dieses Verhalten zu erklären? Nennen Sie einen weiteren Algorithmus zur Liniensuche, bei dem dieses Verhalten nicht aufgetreten wäre, und begründen Sie ihre Antwort!

Bild 1: Suchverlauf der sukzessiven Variation der Variablen am Beispiel der Himmelblau Funktion

Aufgabe 2: Steilster Abstieg

Gegeben sei eine quadratische Zielfunktion (F(x) = (x

1

– x

2

)

2

+ 0.1 (x

1

+ x

2

- 10)

2

), wie sie in der unteren Abbildung zu sehen ist.

Welche Bedingung muss ein Startpunkt erfüllen, damit die Methode des steilsten

Abstiegs mit einer idealen Liniensuche nach genau einer Iteration zum exakten

Optimum gelangt? Existiert ein Startpunkt, von dem aus dieser Algorithmus nach

genau zwei Iterationen zum exakten Optimum konvergiert? Wie viele Iterationen

werden im allgemeinen Fall benötigt? Bergründen Sie Ihre Antworten kurz!

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Übung Prozessoptimierung Lehrstuhl für Systemverfahrenstechnik WS 2014/2015

Holger Eisenschmidt, eisenschmidt

@mpi-magdeburg.mpg.de

S. 2/2

Bild 2: Schematischer Verlauf einer quadratischen Zielfunktion

Aufgabe 3: Optimalitätsbedingungen

Gegeben sei die quaderförmige Verpackung der fünften Übung. Die Verpackung sollte so gestaltet werden, dass die Oberfläche A der Verpackung, bei einem konstanten Volumen V=10.000 cm³ minimal wird. Ferner soll auf einer der Flächen der Verpackung ein Etikett mit den Maßen 30 cm x 20 cm angebracht werden.

Bild 3: Skizze der zu optimierenden Verpackung

a) Formulieren Sie die notwendigen Optimalitätsbedingungen für diese Klasse von Optimierungsproblemen.

b) Überführen Sie das Optimierungsproblem durch Substitution der Gleichungs-

nebenbedingung in ein Problem mit ausschließlich Ungleichungsneben-

bedingungen! Zeigen Sie, dass der Punkt alle notwen-

digen Optimalitätsbedingungen erfüllt!

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