Technische Universit¨at Berlin Fakult¨at II – Institut f¨ur Mathematik

Technische Universit¨ at Berlin

Fakult¨ at II – Institut f¨ ur Mathematik SS 2003

B¨ arwolff, F¨ orster, Scherfner, Tr¨ oltzsch 13. Oktober 2003

Oktober – Klausur (Rechenteil) Analysis II f¨ ur Ingenieure

Name: . . . . Vorname: . . . . Matr.–Nr.: . . . . Studiengang: . . . . Ich habe erfolgreich Hausaufgabenpunkte gesammelt im SS / WS . . . . bei TutorIn . . . .

Neben einem handbeschriebenen A4 Blatt mit Notizen sind keine Hilfsmittel zugelassen.

Die L¨ osungen sind in Reinschrift auf A4 Bl¨ attern abzugeben. Mit Bleistift geschriebene Klausuren k¨ onnen nicht gewertet werden.

Dieser Teil der Klausur umfasst die Rechenaufgaben. Geben Sie immer den vollst¨ andigen Rechenweg an.

Die Bearbeitungszeit betr¨ agt eine Stunde.

Die Gesamtklausur ist mit 32 von 80 Punkten bestanden, wenn in jedem der beiden Teile der Klausur mindestens 10 von 40 Punkten erreicht werden.

Korrektur

1 2 3 4 Σ

1. Aufgabe 10 Punkte Die Funktion f : IR

→ IR mit

f (x, y) =



 

 

xy

f¨ ur (x, y) 6= (0, 0) 0 f¨ ur (x, y) = (0, 0) ist auf ganz IR

stetig.

a) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen f

(x, y) und f

(x, y) an allen Punkten aus IR

(bei (0, 0) nach der Definition, sonst mittels Ableitungsregeln).

b) Berechnen Sie die gemischten zweiten partiellen Ableitungen (f

)

(0, 0) und (f

)

(0, 0) (nach der Definition).

2. Aufgabe 10 Punkte

Bestimmen Sie von der Funktion f(x, y) = x

+ 8y

− 6xy + 1 alle lokalen Extremstellen und Sattelpunkte und charakterisieren Sie die Extremwerte.

3. Aufgabe 7 Punkte

Gegeben sei die Fl¨ ache F = n

(x, y, z) ∈ IR

x

+ y

= 2z, z ≤ 2 o

. Bestimmen Sie das Volu- men V des innerhalb von F eingeschlossenen K¨ orpers. Fertigen Sie eine Skizze von F an.

4. Aufgabe 13 Punkte

Die Funktion z = 1 − y

, y ∈ [0, 1] rotiere um die z-Achse. Gegeben sei ferner das Vektorfeld

~ v : IR

→ IR

mit

~ v(x, y, z) =



 y

−x x + y + z



 .

a) Berechnen Sie den Fluss von rot ~ v durch die Mantelfl¨ ache des entstandenen Rotati- onsk¨ orpers auf direktem Weg.

b) Berechnen Sie den Fluss von rot ~ v durch die Mantelfl¨ ache wie bei a) noch einmal, indem Sie einen geeigneten Integralsatz anwenden. Geben Sie den Satz dazu an.

Beachten Sie alle Voraussetzungen des Satzes.