SS 2004
Prof.Dr. G. Nebe Andreas Martin
1. Probeklausur zur Linearen Algebra
1. Es sei A:=
2 1 2 2 1 1 1 2 2
∈K3×3.
(i) Es seiK :=F5. Bestimmen Sie Basen von Bild(Lin(A)) und Kern(Lin(A)).
Berechnen Sie (im Falle der Existenz) A−1. (ii) Wiederholen Sie Teil (i) im Falle K :=F3. 2. Bestimmen Sie alle Rechtsinversen von A:=
1 4 1 1 2 3 2 1
∈R2×4. 3. Es seiV einK-Vektorraum, und es seienW1 ≤V undW2 ≤V. Zeigen Sie,
daß W1∪W2 ≤V genau dann, wenn W1 ⊆W2 oderW2 ⊆W1. 4. Bestimmen Sie jeweils den Rang der Matrix.
(i) A:=
1 3 5 2
2 4 1 1
1 1 −4 −1
2 3 1 0
∈R4×4.
(ii) A:=
1 ω ω2 1 ω2 ω ω ω ω
∈F43×3, wobeiω2+ω+ 1 = 0.
5. Es sei ϕ : V → W eine lineare Abbildung mit dimV = 5. Beweisen oder wiederlegen Sie.
(i) Ist dimW ≤4, so ist Kern(ϕ)6={0}.
(ii) Ist dimW ≥5, so ist Kern(ϕ) = {0}.
(iii) Ist dimW = 5, so ist ϕ surjektiv.
(iv) Ist dim Kern(ϕ) = 1 und dimW = 4, so ist ϕ surjektiv.
6. Es sei U :=hx+ 1, x2−4, x2+ 4xi ≤R[x]. Ferner sei ϕ:U →R[x], p7→p′.
Bestimmen Sie eine BasisB vonU, eine BasisCvon Bild(ϕ) und die Matrix
CϕB. Istϕ injektiv?
7. Es seien
U :=h
2 1 0
,
1 1 2
i, V :=h
3 1 2
,
1 1 4
i
Unterr¨aume desR3. Bestimmen Sie Basen von U ∩V und U+V.
Hinweise zur Klausur:
• Die Klausur findet am Samstag, 5. Juni 2004 um 9 Uhr statt.
• Sie dauert 90 Minuten.
• Keine Hilfsmittel sind erlaubt (außer Schreibutensilien).
• Bitte keine Ordner oder leere Bl¨atter mitbringen.
• Bitte nicht mit Bleistift schreiben.
• Bitte Studentenausweis mitbringen.
• Die Verteilung auf die beiden R¨aume ergibt sich aus dem Anfangsbuchsta- ben des Nachnamens.
A - J : H 3 K - Z : H 22
