Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theoretische Festk¨orperphysik Ubungen zur Modernen Theoretischen Physik I¨ SS 14
Prof. Dr. Gerd Sch¨on Blatt 10
Andreas Heimes, Dr. Andreas Poenicke Besprechung 09.07.2014
1. Spin im elektromagnetischen Feld (4 Punkte)
Wir betrachten einen Spin-12, mit einer Zeeman-Aufspaltung der Energie ~ω, der an eine elektromagnetische Mode mit Frequenzω koppelt,
Hˆ =−~ω
2 σˆz+~ω
ˆ a†ˆa+1
2
+g(ˆaˆσ−+ ˆa†σˆ+). (1)
Der erste Term beschreibt den Spin mit Grundzustand|↑i mit Grundzustandsenergie−~2ω und angeregtem Zustand |↓i mit Energie ~2ω. Der zweite Term beschreibt das monochro- matische elektromagnetische Feld mit den Aufsteigern und Absteigern ˆa† und ˆa und den Eigenzust¨anden |ni, wobei ˆa†ˆa|ni = n|ni. Der letzte Term in (1) beschreibt die Kopp- lung von Spin und elektromagnetischer Mode. Hierbei sind die Matrizen ˆσ± gegeben durch ˆ
σ±= 12(ˆσx±iˆσy) und haben die Eigenschaften
σ+|↓i=|↑i, σ−|↑i=|↓i, σ+|↑i= 0, σ−|↓i= 0. (2) Der Hilbertraum des Systems wird aufgespannt durch die Zust¨ande|↑i {|ni} und|↓i {|ni}
mit{|ni}={|0i,|1i, |2i, ...}.
(a) [2 Punkte] Schreiben Sie (1) in der Basis
{|↑i |0i,|↑i |1i,|↓i |0i,|↑i |2i,|↓i |1i, . . . ,|↑i |n+ 1i,|↓i |ni, . . .} und zeigen Sie, dass der Hamilton-Operator dargestellt werden kann durch
Hˆ=
0 0
0 Hˆ1 0ˆ ˆ0 Hˆ2 0ˆ
0ˆ . .. ˆ0 0ˆ Hˆn ˆ0
ˆ0 . ..
,
wobei ˆHn 2×2-Matrizen sind, ˆ0= 0 ˆ1und 1die 2×2 Einheitsmatrix ist. Zeigen Sie, dass
Hn+1=~ω(n+ 1)1+g√
n+ 1ˆσx. (3)
(b) [1 Punkt] Zeigen Sie weiter, dass die Anzahl der Anregungen im System ˆNe= ˆa†ˆa+|↓i h↓|
erhalten ist, d.h.i~d
NˆeH
dt =−[ ˆH,NˆeH] = 0. Interpretieren Sie damit das Resultat, welches Sie in Teilaufgabe (a) erhalten haben.
(c) [1 Punkt]
Bestimmen Sie die Eigenenergien und Eigenzust¨ande des Hamilton-Operators (3).
2. Wasserstoffatom im klassischen Strahlungsfeld (3 Punkte) Ein Wasserstoffatom befindet sich in einem zeitabh¨angigen elektrischen Feld. Die Wechsel- wirkung mit diesem elektrischen Feld in der sogenannten Dipoln¨aherung ist gegeben durch
H0(t) =eE·Rˆ cos(ωt)
Im Folgenden wollen wir uns ¨Uberg¨ange von dem Grundzustand des Wasserstoffatoms,
|nlmi = |100i in h¨oher angeregte Zust¨ande |2lmi betrachten. Um die ¨Ubergangsraten Γ|100i→|2lmi zu berechnen verwenden wir (ohne Herleitung) Fermi’s Goldene Regel,
Γ|100i→|2lmi= 2π
~
| h2lm|eE·R|100i |ˆ 2δ(E2lm−E100−~ω). (4) Hierbei sindEnlmdie Eigenenergien des Wasserstoffatoms und die Eigenfunktionen des Was- serstoffatoms sind gegeben durchhrθϕ|nlmi=Rnl(r)Ylm(θ, ϕ). Parametrisieren Sie zun¨achst den Wechselwirkungsterm
E·r=
Exrsin(θ) cos(ϕ) +Eyrsin(θ) sin(ϕ) +Ezrcos(θ)
(5) durch Kugelfl¨achenfunktionen, berechnen Sie dann alle nichtverschwindenden Matrixelemen- teh2lm|eE·R|100iˆ und damit Γ|100i→|2lmi.
[Hinweis: Benutzen Sie die Relation R∞
0 drr3R21(r)R10(r) = √a0
6 28
34 (a0 ist der Bohr’sche Radius).]
3. Stern-Gerlach-Experiment mit Pr¨azision (3 Punkte) Wir betrachten ein Stern-Gerlach-Experiment mit zwei hintereinander folgenden Stern- Gerlach-Apparaten, der erste mit einem Magnetfeld entlang der z-Richtung. Hier wird ent- weder der Zustand|↑i oder|↓i pr¨apariert. Der zweite Apparat hat ein Magnetfeld entlang der x-Richtung. Zwischen den Aperaten wird ein homogenes Magnetfeld in y-Richtung an- gelegt. Jenes f¨uhrt zu einer Pr¨azision des Spins w¨ahrend der FlugzeitT zwischen den beiden Stern-Gerlach-Apparaten. Berechnen Sie die Intensit¨at der beiden am Detektor-Schirm be- obachteten Punkte.
