7→ ( ) : = : N → N GrundlagenderTheoretischenInformatik/EinführungindieTheoretischeInformatikI TeilV BeispieleinernichtberechenbarenFunktion:BusyBeaver Dank

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Vorlesung

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I

Bernhard Beckert

Institut für Informatik

Sommersemester 2007

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 1 / 261

Dank

Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen von

Katrin Erk (gehalten an der Universität Koblenz-Landau) Jürgen Dix (gehalten an der TU Clausthal)

Ihnen beiden gilt mein herzlicher Dank.

– Bernhard Beckert, April 2007

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 2 / 261

Teil V

1 Determinierte Turing-Maschinen (DTMs)

2 Varianten von Turing-Maschinen

3 Indeterminierte Turing-Maschinen (NTMs)

4 Universelle determinierte Turing-Maschinen

5 Entscheidbar/Aufzählbar

6 Determinierte Turing-Maschinen entsprechen Typ 0

7 Unentscheidbarkeit

Beispiel einer nicht berechenbaren Funktion:

Busy Beaver

Definition 15.1 (Busy Beaver)

Die FunktionBB:N→Nsei wie folgt definiert

n7→f(n):=die maximale Anzahl an Einsen, die einehal- tendeDTM mit maximal nZuständen auf ei- nem leeren Band erzeugen kann

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Beispiel einer nicht berechenbaren Funktion:

Busy Beaver

BB wächst extrem schnell

Exakte Werte vonBB(n)fürn≥4 nicht bekannt.

BB(4)≥4098 BB(5)≥1,29∗10⁸⁶⁵

Theorem 15.2 (BB ist nicht berechenbar) BB wächst zu stark um berechenbar zu sein:

Es gibt keine DTM, die BB berechnet.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Unentscheidbarkeit SS 2007 238 / 261

Beispiel einer nicht berechenbaren Funktion:

Busy Beaver

Beweis (erster Teil)

Man kann immer mindestens ein|mehr erzeugen, wenn man einen weiteren Zustand zur Verfügung hat:

man benennt den Haltezustand um inq_neuund geht in den richtigen Haltezustandhnur, wenn man inq_neuein Blank # gelesen hat. Zusätzlich ersetzt man das Blank durch|).

Wenn man ein|liest, geht man nach rechts und bleibt inq_neu. Damit haben wir bewiesen:

BBwächst streng monoton.

Beispiel einer nicht berechenbaren Funktion:

Busy Beaver

Beweis (zweiter Teil)

Angenommen, es gäbe eine DTMBB^{, die}^BB^berechnet.

Sie haben₀Zustände.

Wir betrachten folgende zusammengesetzten Maschine:

zuerst schreibt siemEinsen auf das leere Band dann führt sieBB^aus

Diese Maschine kommt mitn₀+b^m₂c+10 Zuständen aus Sei nunmso groß, dass

m>n₀+b^m 2c+10

Dann schreibt die neue MaschineBB(m)Einsen auf das Band und arbeitet

Beispiel einer nicht berechenbaren Funktion:

Busy Beaver

Intuitive Ursache des Widerspruchs BBselbst hat fixe Größe,

Sie muss mehr Einsen schreiben können als jede Maschine ihrer Größe.

Also muss sie insbesondere mehr Einsen schreiben als sie selbst Widerspruch

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Göderlisierung von DTMs

Definition 15.3 (Göderlnummern von DTMs) DTMn werden als Gödelzahlen kodiert:

DTMs können als Gödelwörter dargestellt werden.

Die Buchstaben der Gödelwörter können in Ziffern kodiert wrden, um Gödelnummern zu bekommen.

Notation:gˆ(M)für die Gödelnummer der DTMM^.

Göderlisierung von DTMs

Definition 15.4 (Jede Zahl ist Gödelnummer)

Jede natürliche Zahlnsoll Gödelnummer einer DTMMnsein.

Wir definieren Mn:=

M, fallsgˆ(M) =n Mhalt falls 6 ∃M gˆ(M) =n

Mhalt ist eine TM, die sofort anhält und weiter nichts tut.

Halteproblem

Definition 15.5 (Allgemeines Halteproblem)

Dasallgemeine Halteproblemist die Frage, ob die DTM mit Gödelnummern bei Eingabeihält.

Es entspricht der Sprache

H

allg:={hn,ii |Mnhält bei Eingabei}.

Halteproblem

Definition 15.6 (Spezielles Halteproblem)

Dasspezielle Halteproblemist die Frage, ob die DTM mit Gödelnummern bei Eingabenhält.

H

^:=^{ⁿ^|Mnhält bei Eingaben}.

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Halteproblem

Definition 15.7 (Null-Halteproblem)

DasNull-Halteproblemist die Frage, ob die DTM mit Gödelnummernbei leerer Eingabe hält.

H

0:={n|Mnhält bei leerer Eingabe}

Manchmal auch:

“bei Eingabe 0” anstatt “bei leerer Eingabe”.

Leerheitsproblem

Definition 15.8 (Leerheitsproblem)

DasLeerheitsproblemist die Frage, ob die DTM mit Gödelnummernbei keinerEingabe ausΣ^∗hält.

E

^:=^{ⁿ^|Mnhält bei keiner Eingabe ausΣ^∗}.

Totalitätsproblem

Definition 15.9 (Totalitätsproblem)

DasTotalitätsproblemist die Frage, ob die DTM mit Gödelnummernbei jederEingabe ausΣ^∗^hält.

T

^:=^{ⁿ^|Mnhält bei jeder Eingabe ausΣ^∗}.

Gleichheitsproblem

Definition 15.10 (Gleichheitsproblem)

DasGleichheitsproblemist die Frage, ob die DTM mit Gödelnummerndie gleiche Sprache überΣakzeptiert wie die DTM mit Gödelnummerm.

E

^q^:=^{hⁿ^,^m^{i |} Mnakzeptiert die gleiche Sprache überΣwieMm}.

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Entscheidbarkeitsproblem

Definition 15.11 (Entscheidbarkeitsproblem)

DasEntscheidbarkeitsproblemist die Frage, ob die DTM mit Gödelnummer neine entscheidbare Sprache überΣakzeptiert.

E

^nt^:=^{ⁿ^| Mnakzeptiert eine

entscheidbare Sprache überΣ}.

Unentscheidbarkeit des Halteproblems

Satz 15.12 (Halteproblem ist unentscheidbar) Das spezielle Halteproblem

H

ist unentscheidbar.

Unentscheidbarkeit des Halteproblems

Beweis (A. Turing)

Beweis durch Widerspruch mit einemDiagonalisierungsargument.

Angenommen, es gebe eine DTMH^, die das spezielle Halteproblem entscheidet.

Konstruiere eine neue Maschine ausH^: WennH„Y“ antwortet,

geht sie in eine Endlosschleife (termniniert nicht).

WennMn„N“ antwortet, terminiert sie.

Die neue Maschine habe Gödelnummern.

Unentscheidbarkeit des Halteproblems

Beweis (A. Turing), Forts.

Was machtMnbei Eingaben?

FallsMnbei Eingabenterminiert, dann antwortetHauf Eingabenmit „N“, dann terminiertMnauf Eingabe vonnnicht Widerspruch!

FallsMnbei Eingabennicht terminiert, dann antwortetHauf Eingabenmit „Y“, dann terminiertMnauf Eingabe vonn Widerspruch!

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Akzeptierbarkeit des Halteproblems

Satz 15.13 (Akzeptierbarkeit von

H

⁾

Das spezielle Halteproblem

H

ist aufzählbar. D. h. die Sprache

H

⁼^{ⁿ^| Mnhält bei Eingabe n} ist akzeptierbar.

Beweis

Akzeptieren durch Simulation vonMnmit Hilfe der universellen DTM.

Korollar

Das Komplement von

H

ist nicht aufzählbar.

Reduktion von Problemen

Wie zeigt man, daß ein Problem unentscheidbar ist?

Reduktion (informell)

Wir geben einetotale, berechenbare Funktionf angeben, die eine Instanzp₁vonP₁

in eine Instanzp₂vonP₂umwandelt,

und zwar so, daß die Antwort zup₁„ja“ ist gdw die Antwort zup₂„ja“ ist.

Reduktion von Problemen

Definition 15.14 (Reduktion) SeienL₁,L₂Sprachen überN^. L₁wird aufL₂reduziert,

L₁L₂

gdw

es gibt eine TM-berechenbare Funktionf :N→N, so daß gilt:

∀n∈N ⁿ∈L₁gdwf(n)∈L₂ .

Reduktion von Problemen

Lemma 15.15

Ist L₁L₂, und ist L₁unentscheidbar, so ist auch L2unentscheidbar.

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Reduktion von Problemen

Beweis.

Angenommen,L₂ist entscheidbar.

SeiM2eine Turing-Maschine, dieL₂entscheidet.

WegenL₁L₂gibt es eine Funktionf:N→N∈TM mit n∈L₁gdwf(n)∈L₂.

SeiMf eine DTM, dief berechnet.

Dann kann man daraus die MaschineM1:=MfM2konstruieren, für die gilt:

M1, gestartet mit Inputn, hält mith,#Y#, fallsf(n)∈L2, d.h. wennn∈L1

ist.

M1, gestartet mit Inputn, hält mith,#N#, fallsf(n)6∈L₂, d.h. wennn6∈L₁ ist.

Die MaschineM1entscheidet alsoL₁, ein Widerspruch.

Unentscheidbarkeit

Satz 15.16 (Unentscheidbarkeit von

H

0) Das Null-Halteproblem

H

0={n| Mnhält bei Eingabe0} ist unentscheidbar.

Unentscheidbarkeit

Beweis

Gegeben eine TMMn.

Kombiniere diese mit einer DTM, dienaufs Band schreibt.

f(n)sei definiert als die Gödelnummer dieser neuen Maschine.

Mf(n)terminiert auf Eingabe von 0 gdw

Mnterminiert auf Eingabe vonn Damit:

Reduktion des speziellen Halteproblems auf das Null-Halteproblem.

(f ist total und berechenbar!) Also:

Unentscheidbarkeit des Null-Halteproblems folgt aus Unentscheidbarkeit des speziellen Halteproblems

Unentscheidbarkeit

Weitere unentscheidbare Probleme

Ähnlich kann man per Reduktion die Unentscheidbarkeit der folgenden Probleme zeigen:

E

, das Leerheitsproblem.

T

, das Totalitätsproblem.

E

q, das Gleichheitsproblem.

E

^nt, das Entscheidbarkeitsproblem.