Sommersemester2007 BernhardBeckert GrundlagenderTheoretischenInformatik/EinführungindieTheoretischeInformatikI Vorlesung

(1)

Bernhard Beckert

Institut für Informatik

Sommersemester 2007

(2)

Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen von

Katrin Erk (gehalten an der Universität Koblenz-Landau) Jürgen Dix (gehalten an der TU Clausthal)

Ihnen beiden gilt mein herzlicher Dank.

– Bernhard Beckert, April 2007

(3)

Lemma 5.15 (PDA → cf-Grammatik)

Zu jedem Push-Down-Automaten M gibt es eine kontextfreie Grammatik G mit L ( G ) = L ( M )

Beweis

Sei M ein PDA, der eine Sprache L über leeren Keller akzeptiert.

Wir konstruieren aus dem Regelsatz von M eine kontextfreie Grammatik,

die L erzeugt.

(4)

Lemma 5.15 (PDA → cf-Grammatik)

Zu jedem Push-Down-Automaten M gibt es eine kontextfreie Grammatik G mit L ( G ) = L ( M )

Beweis

Sei M ein PDA, der eine Sprache L über leeren Keller akzeptiert.

Wir konstruieren aus dem Regelsatz von M eine kontextfreie Grammatik,

die L erzeugt.

(5)

Beweis (Forts.) Idee:

Die Variablen der Grammatik sind 3-Tupel der Form [ q , A , p ]

Bedeutung:

Grammatik kann Wort x aus Variablen [ q , A , p ] ableiten gdw

M kann vom Zustand q in den Zustand p übergehen,

dabei A vom Keller entfernen (sonst den Keller unveränder lassen) und das Wort x lesen:

[ q , A , p ] = ⇒ ^∗ x

gdw ( q , x , A γ) ` ^∗ ( p ,ε,γ)

(6)

Beweis (Forts.) Idee:

Die Variablen der Grammatik sind 3-Tupel der Form [ q , A , p ]

Bedeutung:

Grammatik kann Wort x aus Variablen [ q , A , p ] ableiten gdw

M kann vom Zustand q in den Zustand p übergehen,

dabei A vom Keller entfernen (sonst den Keller unveränder lassen) und das Wort x lesen:

[ q , A , p ] = ⇒ ^∗ x

gdw ( q , x , A γ) ` ^∗ ( p ,ε,γ)

(7)

Beweis (Forts.) Idee:

Die Variablen der Grammatik sind 3-Tupel der Form [ q , A , p ]

Bedeutung:

Grammatik kann Wort x aus Variablen [ q , A , p ] ableiten gdw

M kann vom Zustand q in den Zustand p übergehen,

dabei A vom Keller entfernen (sonst den Keller unveränder lassen) und das Wort x lesen:

[ q , A , p ] = ⇒ ^∗ x

gdw ( q , x , A γ) ` ^∗ ( p ,ε,γ)

(8)

Beweis (Forts.) Formale Konstruktion:

Sei

M = ( K ,Σ,Γ, ∆, s ₀ , Z ₀ , F ) ein PDA.

Daraus konstruiert man die Grammatik

G = ( V , T , R , S ) mit

V := {[ q , A , p ] | q , p ∈ K , A ∈ Γ} ∪ { S } T := Σ

und . . .

(9)

. . . folgenden Regeln in R:

S → [ s

₀

, Z

₀

, q ] für alle q ∈ K ,

[ q , A , q

m

+ 1 ] → a [ q 1 , B 1 , q 2 ][ q 2 , B 2 , q 3 ] . . . [ q

m

, B

m

, q

m

+ 1 ] für jeden ∆ -Übergang ( q , a , A ) ∆ ( q 1 , B 1 . . . B

m

) und für jede beliebige Kombination q 2 , . . . , q

m

+ 1 ∈ K , [ q , A , q 1 ] → a

für jeden ∆ -Übergang ( q , a , A ) ∆ ( q 1 ,ε) Dabei ist a ∈ Σ ∪ {ε} .

Siehe Buch für Beweis, dass die Konstruktion das gewünschte Ergebnis liefert:

[ q , A , p ] = ⇒ ^∗ x

gdw ( q , x , A ) ` ^∗ ( p ,ε,ε)

(10)

Beweis (Forts.)

. . . folgenden Regeln in R:

S → [ s ₀ , Z ₀ , q ] für alle q ∈ K ,

[ q , A , q

m

+

1

] → a [ q

1

, B

1

, q

2

][ q

2

, B

2

, q

3

] . . . [ q

m

, B

m

, q

m

+

1

] für jeden ∆ -Übergang ( q , a , A ) ∆ ( q

1

, B

1

. . . B

m

) und für jede beliebige Kombination q

2

, . . . , q

m

+

1

∈ K , [ q , A , q 1 ] → a

für jeden ∆ -Übergang ( q , a , A ) ∆ ( q 1 ,ε) Dabei ist a ∈ Σ ∪ {ε} .

Siehe Buch für Beweis, dass die Konstruktion das gewünschte Ergebnis liefert:

[ q , A , p ] = ⇒ ^∗ x

gdw ( q , x , A ) ` ^∗ ( p ,ε,ε)

woraus sofort L _` (M) = ^L ( G ) folgt.

(11)

. . . folgenden Regeln in R:

S → [ s ₀ , Z ₀ , q ] für alle q ∈ K ,

[ q , A , q

m

+ 1 ] → a [ q 1 , B 1 , q 2 ][ q 2 , B 2 , q 3 ] . . . [ q

m

, B

m

, q

m

+ 1 ] für jeden ∆ -Übergang ( q , a , A ) ∆ ( q 1 , B 1 . . . B

m

) und für jede beliebige Kombination q 2 , . . . , q

m

+ 1 ∈ K , [ q , A , q

1

] → a

für jeden ∆ -Übergang ( q , a , A ) ∆ ( q

1

,ε) Dabei ist a ∈ Σ ∪ {ε} .

Siehe Buch für Beweis, dass die Konstruktion das gewünschte Ergebnis liefert:

[ q , A , p ] = ⇒ ^∗ x

gdw ( q , x , A ) ` ^∗ ( p ,ε,ε)

(12)

Beweis (Forts.)

. . . folgenden Regeln in R:

S → [ s ₀ , Z ₀ , q ] für alle q ∈ K ,

[ q , A , q

m

+ 1 ] → a [ q 1 , B 1 , q 2 ][ q 2 , B 2 , q 3 ] . . . [ q

m

, B

m

, q

m

+ 1 ] für jeden ∆ -Übergang ( q , a , A ) ∆ ( q 1 , B 1 . . . B

m

) und für jede beliebige Kombination q 2 , . . . , q

m

+ 1 ∈ K , [ q , A , q 1 ] → a

für jeden ∆ -Übergang ( q , a , A ) ∆ ( q 1 ,ε) Dabei ist a ∈ Σ ∪ {ε} .

Siehe Buch für Beweis, dass die Konstruktion das gewünschte Ergebnis liefert:

[ q , A , p ] = ⇒ ^∗ x

gdw ( q , x , A ) ` ^∗ ( p ,ε,ε)

woraus sofort L _` (M) = ^L ( G ) folgt.

(13)

. . . folgenden Regeln in R:

S → [ s ₀ , Z ₀ , q ] für alle q ∈ K ,

[ q , A , q

m

+ 1 ] → a [ q 1 , B 1 , q 2 ][ q 2 , B 2 , q 3 ] . . . [ q

m

, B

m

, q

m

+ 1 ] für jeden ∆ -Übergang ( q , a , A ) ∆ ( q 1 , B 1 . . . B

m

) und für jede beliebige Kombination q 2 , . . . , q

m

+ 1 ∈ K , [ q , A , q 1 ] → a

für jeden ∆ -Übergang ( q , a , A ) ∆ ( q 1 ,ε) Dabei ist a ∈ Σ ∪ {ε} .

Siehe Buch für Beweis, dass die Konstruktion das gewünschte Ergebnis liefert:

[ q , A , p ] = ⇒ ^∗ x

gdw ( q , x , A ) ` ^∗ ( p ,ε,ε)

(14)

Beweis (Forts.)

. . . folgenden Regeln in R:

S → [ s ₀ , Z ₀ , q ] für alle q ∈ K ,

[ q , A , q

m

+ 1 ] → a [ q 1 , B 1 , q 2 ][ q 2 , B 2 , q 3 ] . . . [ q

m

, B

m

, q

m

+ 1 ] für jeden ∆ -Übergang ( q , a , A ) ∆ ( q 1 , B 1 . . . B

m

) und für jede beliebige Kombination q 2 , . . . , q

m

+ 1 ∈ K , [ q , A , q 1 ] → a

für jeden ∆ -Übergang ( q , a , A ) ∆ ( q 1 ,ε) Dabei ist a ∈ Σ ∪ {ε} .

Siehe Buch für Beweis, dass die Konstruktion das gewünschte Ergebnis liefert:

[ q , A , p ] = ⇒ ^∗ x

gdw ( q , x , A ) ` ^∗ ( p ,ε,ε)

woraus sofort L _` (M) = ^L ( G ) folgt.

(15)

Beispiel 5.16 Sprache:

L

ab

= { a

ⁿ

b

ⁿ

| n ∈ N 0 } L

ab

wird über leeren Keller akzeptiert von dem PDA

M = ({ s 0 , s 1 },{ a , b },{ Z 0 , A }, s 0 , Z 0 , 0) / mit den Regeln

1 . ( s ₀ , ε, Z ₀ ) ∆ ( s ₀ ,ε)

2 . ( s 0 , a , Z 0 ) ∆ ( s 0 , A )

3 . ( s 0 , a , A ) ∆ ( s 0 , AA )

4 . ( s ₀ , b , A ) ∆ ( s ₁ ,ε)

5 . ( s 1 , b , A ) ∆ ( s 1 ,ε)

(16)

Beispiel 5.16 Sprache:

L

ab

= { a

ⁿ

b

ⁿ

| n ∈ N 0 } L

ab

wird über leeren Keller akzeptiert von dem PDA

M = ({ s 0 , s 1 },{ a , b },{ Z 0 , A }, s 0 , Z 0 , 0) / mit den Regeln

1 . ( s ₀ , ε, Z ₀ ) ∆ ( s ₀ ,ε)

2 . ( s 0 , a , Z 0 ) ∆ ( s 0 , A )

3 . ( s 0 , a , A ) ∆ ( s 0 , AA )

4 . ( s ₀ , b , A ) ∆ ( s ₁ ,ε)

5 . ( s 1 , b , A ) ∆ ( s 1 ,ε)

(17)

Beispiel 5.16 Sprache:

L

ab

= { a

ⁿ

b

ⁿ

| n ∈ N 0 } L

ab

wird über leeren Keller akzeptiert von dem PDA

M = ({ s 0 , s 1 },{ a , b },{ Z 0 , A }, s 0 , Z 0 , 0) / mit den Regeln

1 . ( s ₀ , ε, Z ₀ ) ∆ ( s ₀ ,ε)

2 . ( s 0 , a , Z 0 ) ∆ ( s 0 , A )

3 . ( s 0 , a , A ) ∆ ( s 0 , AA )

4 . ( s ₀ , b , A ) ∆ ( s ₁ ,ε)

5 . ( s 1 , b , A ) ∆ ( s 1 ,ε)

(18)

Beispiel (Forts.)

Die Transformation ergibt folgende Grammatik-Regeln:

S → [ s 0 , Z 0 , s 0 ] | [ s 0 , Z 0 , s 1 ] 1. [ s ₀ , Z ₀ , s ₀ ] → ε

2. [ s 0 , Z 0 , s 0 ] → a [ s 0 , A , s 0 ] [ s 0 , Z 0 , s 1 ] → a [ s 0 , A , s 1 ]

3. [ s ₀ , A , s ₀ ] → a [ s ₀ , A , s ₀ ][ s ₀ , A , s ₀ ] [ s 0 , A , s 0 ] → a [ s 0 , A , s 1 ][ s 1 , A , s 0 ] [ s 0 , A , s 1 ] → a [ s 0 , A , s 0 ][ s 0 , A , s 1 ] [ s ₀ , A , s ₁ ] → a [ s ₀ , A , s ₁ ][ s ₁ , A , s ₁ ] 4. [ s 0 , A , s 1 ] → b

5. [ s 1 , A , s 1 ] → b

(19)

Beispiel (Forts.)

Die Transformation ergibt folgende Grammatik-Regeln:

S → [ s 0 , Z 0 , s 0 ] | [ s 0 , Z 0 , s 1 ] 1. [ s ₀ , Z ₀ , s ₀ ] → ε

2. [ s 0 , Z 0 , s 0 ] → a [ s 0 , A , s 0 ] [ s 0 , Z 0 , s 1 ] → a [ s 0 , A , s 1 ]

3. [ s ₀ , A , s ₀ ] → a [ s ₀ , A , s ₀ ][ s ₀ , A , s ₀ ] [ s 0 , A , s 0 ] → a [ s 0 , A , s 1 ][ s 1 , A , s 0 ] [ s 0 , A , s 1 ] → a [ s 0 , A , s 0 ][ s 0 , A , s 1 ] [ s ₀ , A , s ₁ ] → a [ s ₀ , A , s ₁ ][ s ₁ , A , s ₁ ] 4. [ s 0 , A , s 1 ] → b

5. [ s 1 , A , s 1 ] → b

(20)

Beispiel (Forts.)

Die Transformation ergibt folgende Grammatik-Regeln:

S → [ s 0 , Z 0 , s 0 ] | [ s 0 , Z 0 , s 1 ] 1. [ s ₀ , Z ₀ , s ₀ ] → ε

2. [ s 0 , Z 0 , s 0 ] → a [ s 0 , A , s 0 ] [ s 0 , Z 0 , s 1 ] → a [ s 0 , A , s 1 ]

3. [ s ₀ , A , s ₀ ] → a [ s ₀ , A , s ₀ ][ s ₀ , A , s ₀ ] [ s 0 , A , s 0 ] → a [ s 0 , A , s 1 ][ s 1 , A , s 0 ] [ s 0 , A , s 1 ] → a [ s 0 , A , s 0 ][ s 0 , A , s 1 ] [ s ₀ , A , s ₁ ] → a [ s ₀ , A , s ₁ ][ s ₁ , A , s ₁ ] 4. [ s 0 , A , s 1 ] → b

5. [ s 1 , A , s 1 ] → b

(21)

Beispiel (Forts.)

Die Transformation ergibt folgende Grammatik-Regeln:

S → [ s 0 , Z 0 , s 0 ] | [ s 0 , Z 0 , s 1 ] 1. [ s ₀ , Z ₀ , s ₀ ] → ε

2. [ s 0 , Z 0 , s 0 ] → a [ s 0 , A , s 0 ] [ s 0 , Z 0 , s 1 ] → a [ s 0 , A , s 1 ]

3. [ s ₀ , A , s ₀ ] → a [ s ₀ , A , s ₀ ][ s ₀ , A , s ₀ ] [ s 0 , A , s 0 ] → a [ s 0 , A , s 1 ][ s 1 , A , s 0 ] [ s 0 , A , s 1 ] → a [ s 0 , A , s 0 ][ s 0 , A , s 1 ] [ s ₀ , A , s ₁ ] → a [ s ₀ , A , s ₁ ][ s ₁ , A , s ₁ ] 4. [ s 0 , A , s 1 ] → b

5. [ s 1 , A , s 1 ] → b

(22)

Beispiel (Forts.)

Die Transformation ergibt folgende Grammatik-Regeln:

S → [ s 0 , Z 0 , s 0 ] | [ s 0 , Z 0 , s 1 ] 1. [ s ₀ , Z ₀ , s ₀ ] → ε

2. [ s 0 , Z 0 , s 0 ] → a [ s 0 , A , s 0 ] [ s 0 , Z 0 , s 1 ] → a [ s 0 , A , s 1 ]

3. [ s ₀ , A , s ₀ ] → a [ s ₀ , A , s ₀ ][ s ₀ , A , s ₀ ] [ s 0 , A , s 0 ] → a [ s 0 , A , s 1 ][ s 1 , A , s 0 ] [ s 0 , A , s 1 ] → a [ s 0 , A , s 0 ][ s 0 , A , s 1 ] [ s ₀ , A , s ₁ ] → a [ s ₀ , A , s ₁ ][ s ₁ , A , s ₁ ] 4. [ s 0 , A , s 1 ] → b

5. [ s 1 , A , s 1 ] → b

(23)

Beispiel (Forts.)

Die Transformation ergibt folgende Grammatik-Regeln:

S → [ s 0 , Z 0 , s 0 ] | [ s 0 , Z 0 , s 1 ] 1. [ s ₀ , Z ₀ , s ₀ ] → ε

2. [ s 0 , Z 0 , s 0 ] → a [ s 0 , A , s 0 ] [ s 0 , Z 0 , s 1 ] → a [ s 0 , A , s 1 ]

3. [ s ₀ , A , s ₀ ] → a [ s ₀ , A , s ₀ ][ s ₀ , A , s ₀ ] [ s 0 , A , s 0 ] → a [ s 0 , A , s 1 ][ s 1 , A , s 0 ] [ s 0 , A , s 1 ] → a [ s 0 , A , s 0 ][ s 0 , A , s 1 ] [ s ₀ , A , s ₁ ] → a [ s ₀ , A , s ₁ ][ s ₁ , A , s ₁ ] 4. [ s 0 , A , s 1 ] → b

5. [ s 1 , A , s 1 ] → b

(24)

Beispiel (Forts.)

Die Transformation ergibt folgende Grammatik-Regeln:

S → [ s 0 , Z 0 , s 0 ] | [ s 0 , Z 0 , s 1 ] 1. [ s ₀ , Z ₀ , s ₀ ] → ε

2. [ s 0 , Z 0 , s 0 ] → a [ s 0 , A , s 0 ] [ s 0 , Z 0 , s 1 ] → a [ s 0 , A , s 1 ]

3. [ s ₀ , A , s ₀ ] → a [ s ₀ , A , s ₀ ][ s ₀ , A , s ₀ ] [ s 0 , A , s 0 ] → a [ s 0 , A , s 1 ][ s 1 , A , s 0 ] [ s 0 , A , s 1 ] → a [ s 0 , A , s 0 ][ s 0 , A , s 1 ] [ s ₀ , A , s ₁ ] → a [ s ₀ , A , s ₁ ][ s ₁ , A , s ₁ ] 4. [ s 0 , A , s 1 ] → b

5. [ s 1 , A , s 1 ] → b

(25)

Beispiel (Forts.)

Lesbarer haben wir damit folgende Grammatik:

S → A | B A → aC | ε B → aD

C → aCC | aDE D → aCD | aDF | b F → b

Man sieht jetzt:

Variable E ist nutzlos, und damit auch die Variable C.

Die Grammatik enthält Kettenproduktionen und nullbare Variablen.

(26)

Beispiel (Forts.)

Lesbarer haben wir damit folgende Grammatik:

S → A | B A → aC | ε B → aD

C → aCC | aDE D → aCD | aDF | b F → b

Man sieht jetzt:

Variable E ist nutzlos, und damit auch die Variable C.

Die Grammatik enthält Kettenproduktionen und nullbare Variablen.

(27)

Beispiel (Forts.)

Lesbarer haben wir damit folgende Grammatik:

S → A | B A → aC | ε B → aD

C → aCC | aDE D → aCD | aDF | b F → b

Man sieht jetzt:

Variable E ist nutzlos, und damit auch die Variable C.

Die Grammatik enthält Kettenproduktionen und nullbare Variablen.

(28)

Beispiel (Forts.)

Nach Entfernung der überflüssigen Elemente:

S → ε | aD D → aDF | b F → b

Mit dieser Grammatik kann man z.B. folgende Ableitung ausführen:

S = ⇒ aD = ⇒ aaDF = ⇒ aaaDFF = ⇒ aaabFF

= ⇒ aaabbF = ⇒ aaabbb

(29)

Beispiel (Forts.)

Nach Entfernung der überflüssigen Elemente:

S → ε | aD D → aDF | b F → b

Mit dieser Grammatik kann man z.B. folgende Ableitung ausführen:

S = ⇒ aD = ⇒ aaDF = ⇒ aaaDFF = ⇒ aaabFF

= ⇒ aaabbF = ⇒ aaabbb

(30)

Beispiel (Forts.)

Nach Entfernung der überflüssigen Elemente:

S → ε | aD D → aDF | b F → b

Mit dieser Grammatik kann man z.B. folgende Ableitung ausführen:

S = ⇒ aD = ⇒ aaDF = ⇒ aaaDFF = ⇒ aaabFF

= ⇒ aaabbF = ⇒ aaabbb

(31)

1

Ableitungsbäume

2

Umformung von Grammatiken

3

Normalformen

4

Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen

5

Pushdown-Automaten (PDAs)

6

Abschlusseigenschaften

7

Wortprobleme

8

Der CYK-Algorithmus

(32)

1

Ableitungsbäume

2

Umformung von Grammatiken

3

Normalformen

4

Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen

5

Pushdown-Automaten (PDAs)

6

Abschlusseigenschaften

7

Wortprobleme

8

Der CYK-Algorithmus

(33)

Theorem 6.1 (Abschlusseigenschaften von L

2

) L ₂ ist abgeschlossen gegen:

Vereinigung ∪ Konkatenation ◦ Kleene-Stern ^∗

Beweis Seien

G

i

= ( V

i

, T

i

, R

i

, S

i

) ( i ∈ { 1 , 2 })

zwei cf-Grammatiken mit V

1

∩ V

2

= 0 / . Sei

L

i

= L ( G

i

)

(34)

Theorem 6.1 (Abschlusseigenschaften von L

2

) L ₂ ist abgeschlossen gegen:

Vereinigung ∪ Konkatenation ◦ Kleene-Stern ^∗

Beweis Seien

G

i

= ( V

i

, T

i

, R

i

, S

i

) ( i ∈ { 1 , 2 }) zwei cf-Grammatiken mit V 1 ∩ V 2 = 0 / .

Sei

L

i

= L ( G

i

)

(35)

Theorem 6.1 (Abschlusseigenschaften von L

2

) L ₂ ist abgeschlossen gegen:

Vereinigung ∪ Konkatenation ◦ Kleene-Stern ^∗

Beweis Seien

G

i

= ( V

i

, T

i

, R

i

, S

i

) ( i ∈ { 1 , 2 }) zwei cf-Grammatiken mit V 1 ∩ V 2 = 0 / .

Sei

L

i

= L ( G

i

)

(36)

Beweis (Forts.) zu ∪ :

( V

1

∪ V

2

∪ { S

neu

}, T

1

∪ T

2

, R

1

∪ R

2

∪ { S

neu

→ S

1

| S

2

}, S

neu

)

erzeugt gerade L

₁

∪ L

₂

zu ◦ :

( V 1 ∪ V 2 ∪ { S

neu

}, T 1 ∪ T 2 , R 1 ∪ R 2 ∪ { S

neu

→ S 1 S 2 }, S

neu

)

erzeugt gerade L 1 ◦ L 2

zu ^∗ :

( V 1 ∪ { S

neu

}, T 1 , R 1 ∪ { S

neu

→ S 1 S

neu

| ε}, S

neu

)

erzeugt gerade L ^∗ ₁ .

(37)

Beweis (Forts.) zu ∪ :

( V 1 ∪ V 2 ∪ { S

neu

}, T 1 ∪ T 2 , R 1 ∪ R 2 ∪ { S

neu

→ S 1 | S 2 }, S

neu

) erzeugt gerade L ₁ ∪ L ₂

zu ◦ :

( V

1

∪ V

2

∪ { S

neu

}, T

1

∪ T

2

, R

1

∪ R

2

∪ { S

neu

→ S

1

S

2

}, S

neu

)

erzeugt gerade L

1

◦ L

2

zu ^∗ :

( V 1 ∪ { S

neu

}, T 1 , R 1 ∪ { S

neu

→ S 1 S

neu

| ε}, S

neu

)

erzeugt gerade L ^∗ ₁ .

(38)

Beweis (Forts.) zu ∪ :

( V 1 ∪ V 2 ∪ { S

neu

}, T 1 ∪ T 2 , R 1 ∪ R 2 ∪ { S

neu

→ S 1 | S 2 }, S

neu

) erzeugt gerade L ₁ ∪ L ₂

zu ◦ :

( V 1 ∪ V 2 ∪ { S

neu

}, T 1 ∪ T 2 , R 1 ∪ R 2 ∪ { S

neu

→ S 1 S 2 }, S

neu

) erzeugt gerade L 1 ◦ L 2

zu ^∗ :

( V

1

∪ { S

neu

}, T

1

, R

1

∪ { S

neu

→ S

1

S

neu

| ε}, S

neu

)

erzeugt gerade L ^∗

₁

.

(39)

Theorem 6.2 (Abschlusseigenschaften von L

2

) L ₂ ist nicht abgeschlossen gegen:

Durchschnitt ∩

Komplement ¬

(40)

Beweis Zu „ ∩ “:

L 1 = { a

ⁿ

b

ⁿ

c

^m

| n , m ∈ N } L 2 = { a

^m

b

ⁿ

c

ⁿ

| n , m ∈ N }

wird erzeugt von G

i

= ({ S , S ⁰ , T },{ a , b , c }, R

i

, S ) mit

R 1 = { S → S ⁰ T S ⁰ → aS ⁰ b | ab

T → cT | c } R 2 = { S → TS ⁰

S ⁰ → bS ⁰ c | bc T → aT | a }

Sowohl L 1 als auch L 2 sind cf, nicht aber L 1 ∩ L 2 = { a

ⁿ

b

ⁿ

c

ⁿ

| n ∈ N } .

(41)

Zu „ ∩ “:

L 1 = { a

ⁿ

b

ⁿ

c

^m

| n , m ∈ N } L 2 = { a

^m

b

ⁿ

c

ⁿ

| n , m ∈ N }

wird erzeugt von G

i

= ({ S , S ⁰ , T },{ a , b , c }, R

i

, S ) mit R 1 = { S → S ⁰ T

S ⁰ → aS ⁰ b | ab T → cT | c } R 2 = { S → TS ⁰

S ⁰ → bS ⁰ c | bc T → aT | a }

∩ {

ⁿ ⁿ ⁿ

| ∈ }

(42)

Beweis Zu „ ∩ “:

L 1 = { a

ⁿ

b

ⁿ

c

^m

| n , m ∈ N } L 2 = { a

^m

b

ⁿ

c

ⁿ

| n , m ∈ N }

wird erzeugt von G

i

= ({ S , S ⁰ , T },{ a , b , c }, R

i

, S ) mit R 1 = { S → S ⁰ T

S ⁰ → aS ⁰ b | ab T → cT | c } R 2 = { S → TS ⁰

S ⁰ → bS ⁰ c | bc T → aT | a }

Sowohl L 1 als auch L 2 sind cf, nicht aber L 1 ∩ L 2 = { a

ⁿ

b

ⁿ

c

ⁿ

| n ∈ N } .

(43)

Beweis Zu „ ¬ “:

Angenommen, L 2 wäre abgeschlossen gegen ¬ . Wegen

L 1 ∩ L 2 = ¬(¬ L 1 ∪ ¬ L 2 )

wäre L 2 dann auch abgeschlossen gegen ∩ – Widerspruch

(44)

Beweis Zu „ ¬ “:

Angenommen, L 2 wäre abgeschlossen gegen ¬ . Wegen

L 1 ∩ L 2 = ¬(¬ L 1 ∪ ¬ L 2 )

wäre L 2 dann auch abgeschlossen gegen ∩ – Widerspruch

(45)

Beweis Zu „ ¬ “:

Angenommen, L 2 wäre abgeschlossen gegen ¬ . Wegen

L 1 ∩ L 2 = ¬(¬ L 1 ∪ ¬ L 2 )

wäre L 2 dann auch abgeschlossen gegen ∩ – Widerspruch

(46)

1

Ableitungsbäume

2

Umformung von Grammatiken

3

Normalformen

4

Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen

5

Pushdown-Automaten (PDAs)

6

Abschlusseigenschaften

7

Wortprobleme

8

Der CYK-Algorithmus

(47)

1

Ableitungsbäume

2

Umformung von Grammatiken

3

Normalformen

4

Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen

5

Pushdown-Automaten (PDAs)

6

Abschlusseigenschaften

7

Wortprobleme

8

Der CYK-Algorithmus

(48)

Problem

Gegeben: eine cf-Grammatik G, so daß L ( G ) eine Sprache ist über Σ , und ein Wort w ∈ Σ ^∗

Frage: Ist w ∈ L ( G ) ?

(49)

Problem

Gegeben: eine cf-Grammatik G, so daß L ( G ) eine Sprache ist über Σ , und ein Wort w ∈ Σ ^∗

Frage: Ist w ∈ L ( G ) ?

(50)

Lösung des Wortproblems für L

₃

Gegeben eine rechtslineare Grammatik G, so daß L ( G ) eine Sprache ist über Σ , und ein Wort w ∈ Σ ^∗ .

Konstruiere aus G einen ε -NDEA A

₁

. Konstruiere aus A 1 einen NDEA A 2 . Konstruiere aus A 2 einen DEA A 3 .

Probiere aus, ob A 3 das Wort w akzeptiert.

Dazu braucht der Automat A 3 genau | w | Schritte.

(51)

Lösung des Wortproblems für L

₃

Gegeben eine rechtslineare Grammatik G, so daß L ( G ) eine Sprache ist über Σ , und ein Wort w ∈ Σ ^∗ .

Konstruiere aus G einen ε -NDEA A ₁ . Konstruiere aus A

1

einen NDEA A

2

. Konstruiere aus A 2 einen DEA A 3 .

Probiere aus, ob A 3 das Wort w akzeptiert.

Dazu braucht der Automat A 3 genau | w | Schritte.

(52)

Lösung des Wortproblems für L

₃

Gegeben eine rechtslineare Grammatik G, so daß L ( G ) eine Sprache ist über Σ , und ein Wort w ∈ Σ ^∗ .

Konstruiere aus G einen ε -NDEA A ₁ . Konstruiere aus A 1 einen NDEA A 2 . Konstruiere aus A

2

einen DEA A

3

.

Probiere aus, ob A 3 das Wort w akzeptiert.

Dazu braucht der Automat A 3 genau | w | Schritte.

(53)

Lösung des Wortproblems für L

₃

Gegeben eine rechtslineare Grammatik G, so daß L ( G ) eine Sprache ist über Σ , und ein Wort w ∈ Σ ^∗ .

Konstruiere aus G einen ε -NDEA A ₁ . Konstruiere aus A 1 einen NDEA A 2 . Konstruiere aus A 2 einen DEA A 3 .

Probiere aus, ob A

3

das Wort w akzeptiert.

Dazu braucht der Automat A

3

genau | w | Schritte.

(54)

Das Wortproblem für L

2

Zu jeder cf-Grammatik G kann man einen PDA konstruieren

Aber ein Pushdown-Automat kann ε -Übergänge machen, in denen er das Wort nicht weiter liest.

Wie kann man dann garantieren, daß der Automat in endlich vielen Schritten das Wort w zu Ende gelesen hat?

Deshalb: verwende anderes Verfahren:

Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus (CYK-Algorithmus)

Auch: Chart-Parsing

(55)

Das Wortproblem für L

2

Zu jeder cf-Grammatik G kann man einen PDA konstruieren

Aber ein Pushdown-Automat kann ε -Übergänge machen, in denen er das Wort nicht weiter liest.

Wie kann man dann garantieren, daß der Automat in endlich vielen Schritten das Wort w zu Ende gelesen hat?

Deshalb: verwende anderes Verfahren:

Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus (CYK-Algorithmus)

Auch: Chart-Parsing

(56)

Das Wortproblem für L

2

Zu jeder cf-Grammatik G kann man einen PDA konstruieren

Aber ein Pushdown-Automat kann ε -Übergänge machen, in denen er das Wort nicht weiter liest.

Wie kann man dann garantieren, daß der Automat in endlich vielen Schritten das Wort w zu Ende gelesen hat?

Deshalb: verwende anderes Verfahren:

Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus (CYK-Algorithmus)

Auch: Chart-Parsing

(57)

Das Wortproblem für L

2

Zu jeder cf-Grammatik G kann man einen PDA konstruieren

Aber ein Pushdown-Automat kann ε -Übergänge machen, in denen er das Wort nicht weiter liest.

Wie kann man dann garantieren, daß der Automat in endlich vielen Schritten das Wort w zu Ende gelesen hat?

Deshalb: verwende anderes Verfahren:

Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus (CYK-Algorithmus)

Auch: Chart-Parsing

(58)

Gegeben: Ein Wort w = a ₁ . . . a

_n

Idee

Prinzip der dynamischen Programmierung

1.: Ermittle woraus sich die einstelligen Teilworte ableiten lassen 2.: Ermittle woraus sich die zweistelligen Teilworte ableiten lassen . . .

n.: Ermittle woraus sich die n-stelligen Teilworte (w selbst) ableiten lassen

(59)

Gegeben: Ein Wort w = a ₁ . . . a

_n

Sommersemester2007 BernhardBeckert GrundlagenderTheoretischenInformatik/EinführungindieTheoretischeInformatikI Vorlesung

Bernhard Beckert