8. Übungsblatt zur Vorlesung WS 2016/2017 Einführung in die Elementarteilchentheorie Prof. G. Hiller Abgabe: bis Montag, den 12. Dezember 2016 12:00 Uhr
Aufgabe 1: Der Radius des Protons (4 Punkte)
Der FormfaktorF(~q)ist als Fourier-Transformierte der Ladungsverteilungρ(~x)gegeben:
F(~q)=
Z d3xρ(~x) exp¡
−i~q·~x¢
. (1)
Prinzipiell können daher durch die experimentelle Bestimmung vonF(~q)in Streuexpe- rimenten Rückschlüsse auf die Form der Ladungsverteilungρ(~x)gezogen werden.
• Überzeugen Sie sich davon, dass eine rotationssymmetrische Ladungsverteilung, d.h.ρ(~x)=ρ(r)mitr = |~x|, der Formρ(r)=Ne−ar mita>0, auf einen dipolartigen Formfaktor führt. Dabei istN ein Normierungsfaktor, der durch die Bedingung
Z d3xρ(r)=Q (2)
bestimmt ist. Hierbei ist dannQ die Gesamtladung, bzw. das nullte Moment der Ladungsverteilung.
• Berechnen Sie außerdem den mittleren Radius, der als das zweite Moment der Ladungsverteilung
〈r2〉 =
Z d3xr2ρ(r) (3)
definiert ist. Welche Ladungsverteilung ergibtF(~q)=1?
Aufgabe 2: Der ZerfallB¯s→µ+µ−, Teil 2 (10 Punkte) Dieb→sµ+µ−Übergänge können bei niedrigen Energien durch die Wechselwirkungs- lagrangedichte
LWWsb =GFCA£
ψ¯sγµ(1−γ5)ψb
¤×£
ψ¯µγµγ5ψµ¤
+h.c. (4)
beschrieben werden. Das Ergebnis für die KopplungskonstanteCA folgt aus Schleifen- rechnungen. Im Standardmodell der Teilchenphysik istCSMA gegeben durch:
CSMA = |Vt s∗Vt b| αem(mW) p8πsin2θW
YSM Ãm2t
mW2
!
(5) mitYSM(m2t/mW2 )=1.044undαem(mW)≈1/128.
(a) Berechnen Sie dieB¯s→µ+µ−Zerfallsamplitude
A( ¯Bs→µ+µ−)=iGFCA〈µ+µ−|ψ¯µγµγ5ψµ|0〉〈0|ψ¯sγµ(1−γ5)ψb|B¯s〉 (6) Benutzen Sie hierzu die Definition der Zerfallskonstanten fBs
〈0|ψ¯sγµγ5ψb
¯
¯B¯s(p)®
= −i fBspµ (7)
(siehe auch Blatt 7).
Begründen Sie die Faktorisierung der beiden Ströme in Gl.(6).
1
(b) Zeigen Sie, dass dann dieB¯s→µ+µ−-Zerfallsrate nach Summierung der Myonen- spins gegeben ist durch
Γ¡B¯s→µ+µ−¢
=G2FfB2
smBsmµ2 2π
v u u
t1−4m2µ mB2
s
|CA|2. (8) (c) Zeichnen Sie die partielle Breite in Abhängigkeit der Massemµ∈[0, 3]GeV, die Sie als variabel annehmen. Diskutieren Sie die Kurve, berechnen Sie die Werte fürme
undmτ, und zeichnen Sie diese qualitativ ein.
(d) SogenannteNeue Physikkann zuB¯s→µ+µ−über weitere Feynmandiagramme bei- tragen, und somit die KopplungskonstanteCA =CSMA +CNeue Physik
A modifizieren.
Berechnen Sie mit Hilfe der Daten von LHCb (vgl. evtl Zettel 7) eine Schranke für diese zusätzlichen Beiträge, d.h. berechnen Sie:
|CNeue Physik
A |
|CSMA | <? (9)
Hinweise:
Für die Zerfallsbreite gilt (siehe z.B. im PDG1in Sektion 40.4 “Particle Decays”):
Γ( ¯Bs→µ+µ−)= |k1| 8πMB2
s
X
Spin|A|2 (10)
Eingabewerte zum Lösen dieses Zettels sind:
Konstante Wert Bedeutung
GF 1.166364×10−5GeV−2 Fermi Konstante ħ 6.58211899×10−22MeV s reduzierte Planck Konstante
me 0.511 MeV Elektronenmasse
mµ 105.658 MeV Myonmasse
mτ 1777 MeV Tauonenmasse
fB¯s 231 MeV B¯s Zerfallskonstante
mB¯s 5.366 GeV B¯s Masse
sin2θW 0.23116 Weinberg-Winkel
|Vt s∗Vt b| 0.0403 CKM-Matrix-Elemente
τB¯s 142.5·10−14s LebensdauerB¯s
Aufgabe 3: Was ich schon immer über die U(n) wissen wollte... (6 Punkte) In dieser Aufgabe soll die unitäre Gruppe etwas näher untersucht werden. Wir betrach- ten die Menge der unitären MatrizenU(n) :={U∈GL(n,C)|UU†=In}. Die spezielle uni- täre Gruppe ist die echte Untergruppe derjenigen Elemente U aus U(n), für die gilt:
det(U)=1.
(a) Zeigen Sie zuerst, dass U(n) eine Gruppe ist. Dass GL(n,C), die Automorphismen- menge aufC(d.h. die Menge der invertierbaren komplexenn×n-Matrizen), eine Gruppe ist, kann dabei als bekannt angenommen werden.
1Das PDG ist eines der wichtigsten Nachschlagewerke für Phänomenologen und enthält unter Anderem alle aktuellen Teilchencharakteristika. Online unter:
http://pdg.lbl.gov/2016/download/rpp-2016-booklet.pdf
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(b) Wie viele unabhängige (reelle) Parameter haben die Elemente von U(n)? Wie viele haben Elemente aus SU(n)? Begründen Sie Ihr Ergebnis.
(c) Zeigen Sie, dass sich die U(n) in die spezielle orthogonale GruppeSO(2n) :={A∈ GL(2n,R)|A AT =I2n}einbetten lässt.
Hinweis: Finden Sie in Teil (c) eine injektive lineare Abbildung, die komplexe n×n- Matrizen als reelle2n×2nMatrizen geeigneter Form schreibt. Zeigen Sie, dass das Bild von U(n) unter dieser Abbildung in SO(2n) liegt.
Möglicherweise hilfreich ist der folgende Zusammenhang für Determinanten von Block- matrizen:
det
µ A B
−B A
¶
=det(A+i B) det(A−i B). (11)
Vorlesungsseite im Internet:
http://people.het.physik.tu-dortmund.de/∼ghiller/WS1617ETT.html
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