October 11, 2013 1
EINF ¨UHRUNG IN DAS MATHEMATISCHE ARBEITEN
zu 4.2.1 Die [!] ¨ Aquivalenzrelation auf ∅
oder
Warum die Wahrheitswertetabelle der Implikation wirklich so aussehen muss, wie wir sie definiert haben.
Michael Grosser
Wenn eine Relation R auf einer Menge X gegeben ist (das heißt also im wesentlichen R ⊆ X×X) sowie eine Teilmenge Y von X, dann kann man daraus leicht eine Relation RY auf Y bilden, die man dann
”Einschr¨ankung von R auf Y“ nennt:
RY :=R∩(Y ×Y).
Eine einfache Skizze (Y ×Y als Quadrat innerhalb des QuadratsX×X und ein Kn¨odel f¨urR, der Y ×Y schneidet, innerhalb von X×X) macht sofort klar, wie man sich das vorzustellen hat. — Ganz leicht ist nun zu beweisen:
Proposition. Wenn R eine ¨Aquivalenzrelation auf X ist und Y eine Teil- menge von X, dann ist RY eine ¨Aquivalenzrelation auf Y.
Beweis: (R) Sei y∈Y, dann folgt y∈X, somit ist (y, y)∈R auf Grund der Reflexivit¨at von R und damit (y, y)∈ (Y ×Y)∩R =RY. Die Beweise von (S) und (T) sind genauso einfach.
Wir sollten nun jedoch beachten, dass auch die leere Menge als Teilmenge von X gilt und daher in der Proposition eine legitime Kandidatin f¨ur Y darstellt. Irgendwie ist nicht ganz klar, ob wir die Aussage
”Die leere Menge (als Teilmenge von ∅ × ∅) ist eine ¨Aquivalenzrelation auf ∅“ als sinnvoll ansehen sollen.
Uberlegen wir uns die jeweiligen Konsequenzen f¨¨ ur die beiden m¨oglichen Antworten JA und NEIN:
adNEIN: Hier m¨ussen wir unsere sch¨one einfache Proposition dadurch ver- komplizieren, dass wir ihr hinten die Ausnahmeklausel
”. . . , außer Y ist die leere Menge“ anh¨angen.
ad JA: In diesem Fall k¨onnen wir die Proposition lassen wie sie ist, wir m¨ussen allerdings pr¨ufen, ob unser bisheriger Beweis der Proposition auch f¨ur Y = ∅ gilt. Diese Pr¨ufung geht aber gar nicht gut aus: Wir hatten, in logischen Symbolen geschrieben,
y∈ ∅ ⇒ y∈X ⇒ (y, y)∈R ⇒ (y, y)∈(∅ × ∅)∩R=∅.
EmA: Implikation 11. Oktober 2013 2
Die Wahrheitswerte der Aussagen in dieser Kette sind (wenn wir uns — was harmlos ist — auf y ∈X beschr¨anken)
0 ⇒ 1 ⇒ 1 ⇒ 0.
Entsetzen macht sich breit: Der letzte Implikationschritt ist definitiv falsch!
Das heißt nat¨urlich noch nicht, dass die Proposition f¨ur Y = ∅ falsch ist; es heißt nur, dass wir den obigen Beweis im FallY =∅nicht verwenden k¨onnen
— vielleicht l¨asst sich ein besserer finden. Zu zeigen w¨are f¨ur die Reflexivit¨at jedenfalls nur: y∈ ∅ ⇒ (y, y)∈(∅ × ∅)∩R =∅, entsprechend 0⇒0.
Nun hat sich in der Mathematik eine allgemeine Aversion gegen Ausnahme- klauseln der Art entwickelt, wie sie bei OptionNEIN f¨ur unsere Proposition notwendig w¨aren. Man will in erster Linie die S¨atze glatt und ein- fach haben und diverse Problemchen lieber von vornherein durch passende Eingriffe in den Grundlagen (wie etwa der Logik) loswer- den, auch wenn dadurch beispielsweise komische Wahrheitswerte f¨ur die Implikationstabelle erforderlich werden. Auf dieser Grundlage besteht die Ideall¨osung darin, durch Ziehen der Option JA (das heißt: der leeren Menge den Ehrentitel einer ¨Aquivalenzrelation auf ∅ zu verleihen) die Proposition einfach zu halten und daf¨ur (z¨ahneknirschend?) mit der Fest- legung (0⇒0) = 1 den obigen direkten Kurzbeweis f¨ur die Reflexivit¨at zu legitimieren.
Ebenso erleichternde Konsequenzen hat diese Konvention ¨ubrigens auch f¨ur die Symmetrie und die Transitivit¨at, da auch hier die Voraussetzungen (x, y)∈ RY =∅ und (y, z) ∈ RY = ∅ ebenso falsch sind wie die erw¨unschten Folge- rungen (y, x)∈RY =∅ beziehungsweise (x, z)∈RY =∅.
Jetzt steht nat¨urlich noch die Frage nach dem zweiten Fall im Raum, in dem die Alltagssprache eine Implikation mit
”nicht anwendbar“ bewertet.
Hier f¨uhre ich aber ein schlagenden Beispiel an, das gleich beide Gleichungen (0⇒0) = 1 als auch (0⇒1) = 1 erzwingt, wenn man einen einfachen Satz erhalten will: Besteht man auf ∅ ⊆ M f¨ur jede Menge M (und wir tun das definitiv!), dann muss nach Definition der Teilmengenbeziehung f¨ur alle x (die es auf
”der Welt“ gibt!) die Implikation x ∈ ∅ ⇒ x∈ M wahr sein. Da es in der Regel Elemente sowohl innerhalb als auch ausserhalb von M gibt, geht das nur, wenn sowohl 0 ⇒0 als auch 0 ⇒1 als wahr bewertet werden!
Schlußwort: Und warum die Aquivalenzrelation auf¨ ∅ in der ¨Uberschrift?
Weil es außer ∅ gar keine anderen Teilmengen von ∅ × ∅ gibt, die als Kandi- datInnen f¨urirgendwelche weitere Relationen auf ∅ herhalten k¨onnten. Also gibt es erst recht keine weiteren ¨Aquivalenrelationen auf ∅, somit hat sich ∅ unangefochten den Titel der Aquivalenzrelation auf¨ ∅ verdient.
