Mathematik 1 für Bauwesen Übungsblatt 7

Mathematik 1 für Bauwesen Übungsblatt 7

Fachbereich Mathematik Wintersemester 2011/2012

Dr. Ivan Izmestiev 2. Dezember 2011

Dr. Vince Bárány M.Sc. Julia Plehnert

Gruppenübungen

Aufgabe 7.1

Berechnen Sie die n-te Partialsumme der Reihe X∞ k=1

ln

1+1 k

und zeigen Sie, dass die Reihe divergiert.

Aufgabe 7.2

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz. Geben Sie bei den konvergenten Reihen an, ob diese auch absolut konvergieren.

a) P_∞

k=1

sin(k²)·lnk

k⁴ b) P_∞

k=1(−1)^k_(k+1)(k+^k ₂₎ c) 1− 1

2²+ 1 3³ − 1

4² +. . .+ 1

(2k−1)³ − 1

(2k)² +. . .

Aufgabe 7.3

Beweisen Sie die folgende Abschätzung einer Partialsumme der harmonischen Reihe.

1+1 2+1

3+. . .1

n ≥ 1+log₂n 2

(Hinweis:Betrachten Sie die Zahl m∈N, für welche gilt2^m ≤n<2^m+1 und benutzten Sie eine Abschätzung aus der Vorlesung.)

Zusatzaufgaben

Aufgabe 7.4

a) Zeigen Sie, dass die Reihe1+2q+3q²+4q³+. . .= X∞ k=0

(k+1)q^k für|q|<1konvergiert.

1

b) Zeigen Sie die Gleichung

n

X

k=0

(k+1)q^k = 1−qⁿ⁺¹

(1−q)² −(n+1)qⁿ⁺¹ 1−q . H inweis: 1 + 2q + 3q² + . . . + (n+1)qⁿ

= 1 + q + q² + . . . + qⁿ +

+ q + q² + . . . + qⁿ +

+ q² + . . . + qⁿ +

+ · · ·

c) Zeigen Sie, dass X∞ k=0

(k+1)q^k = 1 (1−q)² .

Aufgabe 7.5

Zeigen Sie, dass für jedes α∈R, α6=2mπgilt:

1+cosα+cos 2α+. . .+cosnα = 1

2+ sin€

n+¹₂Š α 2 sin^α₂ Folgern Sie daraus, dass die Partialsummen der Reihe P_∞

k=0coskα (bei α 6= 2mπ) beschränkt sind. (Hinweis: die Gleichung kann mit Induktion bewiesen werden; um sie herzuleiten, kann man den Realteil der SummePn

k=0e^ikα berechnen.) Hausaufgaben

Aufgabe 7.6 6 Punkte

Berechnen Sie die Summen folgender Reihen.

a) X∞ k=0

2^k+2+3^k+1

5^k b)

X∞ k=1

14 10^k

Aufgabe 7.7 9 Punkte

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz. Geben Sie bei den konvergenten Reihen an, ob diese auch absolut konvergieren.

a) X∞ k=1

p3

k (k+1)p

k b)

X∞ k=1

2^k

k^k c)

X∞ k=1

(−1)^k k²

Aufgabe 7.8 5 Punkte

Wie in der Vorlesung bewiesen, ist e⁻¹=1− 1 1! + 1

2!− 1

3!+. . ..

Welche Partialsumme dieser Reihe muss man nehmen, um die Zahl e⁻¹ mit einem Fehler <

0, 0002 abzuschätzen? Mit Hilfe des Taschenrechners, berechnen Sie diese Partialsumme und die Zahle⁻¹.

Abgabetermin der Hausübungen:14. bzw. 15. Dezember 2011 zu Beginn der Übung.

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