Mathematik III für Bauwesen 7. Übungsblatt

Mathematik III für Bauwesen 7. Übungsblatt

Fachbereich Mathematik Wintersemester 2010/2011

Prof. Dr. Roland Pulch 6. Dezember 2010

Andreas Gärtner Florian Seib

Gruppenübung

Aufgabe G19 (Klassifikation partieller Dgln.)

a) Klassifizieren Sie die folgenden partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung bezüglich der Art der auftretenden Linearität (linear, halblinear, quasilinear oder nichtlinear).

(i) sin(y)u_{x x}+u_{x y}−¹₂u_{y y}=2 cos(u_y) (ii) e^−xu_{y y}+x y·u_{x y}−u_y·u_{x x}=0 (iii) x·u_{x x}−u_y·u_{y y}+u_{x x}u_{x y}=0 (iv) u_{x y}−y²x⁵u_x= (x+3y)³+u_y−u

b) Bestimmen Sie den Typ der folgenden partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung (elliptisch, hyperbolisch oder parabolisch)

(i) ¹

4u_{x x}−⁹₂u_{x y}+⁸¹₄u_{y y}=y²−u_xu_y (ii) ¹₅u_{x x}+²₃u_{x y}+¹₂u_{y y}=x²u (iii) ¹

15u_{x x}+¹₄u_{x y}+¹₄u_{y y}=sin(u_y)·u

Aufgabe G20 (Produktansatz I)

Wir betrachten die partielle Differentialgleichung 2. Ordnung

u_{x t}=βu

mit einem reellen Parameterβ6=0.

a) Welche Form der Linearität liegt vor und welchen Typ hat diese Dgl.?

b) Bestimmen Sie die Lösungen der Dgl. mittels des Produktansatzesu(x,t) =^v(x)·w(t). Machen Sie für ihr erhalte- nes Ergebnis eine Probe.

c) Geben Sie die spezielle Lösung an, die die Anfangsbedingungu(x, 0) =2e^−x beit=0für allex∈Rerfüllt.

Aufgabe G21 (Additiver Ansatz)

Gegeben sei die inhomogene Wellengleichung

c²u_{x x}−u_{t t}=c·e^−2t

mit der Wellengeschwindigkeitc>0. Bestimmen Sie Lösungen dieser partiellen Differentialgleichung mittels des additi- ven Separationsansatzesu(x,t) =^v(x) +w(t).

Hinweis: Es ist eine Gleichung herzuleiten, in der auf der linken Seite nurxals unabhängige Variable und auf der rechten Seite nurtals unabhängige Variable auftritt.

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Hausübung

Aufgabe H19 (Klassifikation partieller Dgln.) (7 Punkte)

a) Klassifizieren Sie die folgenden partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung bezüglich der Art der auftretenden Linearität (linear, halblinear, quasilinear oder nichtlinear).

(i) 3u_{x x}+u_{x y}−¹₂u_{y y}=u³ (ii) u_{t t}−u²_x·u_{x x}=0

(iii) u³_{x x}+2u_{x y}+u·u_{y y}=x+y (iv) 2u_{t t}−¹₃u_{t x}−5u_{x x}=x²y+4u

b) Bestimmen Sie den Typ der folgenden partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung (elliptisch, hyperbolisch oder parabolisch)

(2+α)u_{x x}−2αu_{x y}+u_{y y}=f(x,y) in Abhängigkeit vom konstanten Parameterα∈R.

Aufgabe H20 (Produktansatz II) (9 Punkte)

Wir betrachten die elliptische Differentialgleichung

u_{x x}+u_{y y}=u−u_x.

Bestimmen Sie möglichst viele linear unabhängige reelle Lösungen dieser Dgl. mit dem Produktansatz u(x,y) = v(x)·w(y).

Hinweis: Bei der Lösung der entstehenden gewöhnlichen Dgln sind Fallunterscheidungen bzgl. der Wahl der Separationskon- stanten erforderlich.

Aufgabe H21 (Exponentialansatz) (4 Punkte)

Bestimmen Sie Lösungen der hyperbolischen Differentialgleichung u_{x x}−u_{y y}=−u−2u_x

über den Exponentialansatz

u(x,y) =e^αx+βy mit Konstantenα,β∈R.

Bemerkung: Der Exponentialansatz ist ein spezieller Produktansatz wegen e^αx+βy=e^αx·e^βy.

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