skalare Größe

1

12b Statische Flüssigkeiten

2

Zusammenfassung

Aggregatzustände der Materie:

- fest - flüssig - gasförmig

- Plasma

skalare Größe

Druck p

Einheit [N/m²]=[Pa]

A p = F

A F ⊥

Dichte

Einheit [kg/m³]

V

= m ρ

Spezifische Dichte

Dichte des Materials im Vergleich zur Dichte von Wasser bei 4° Celsius

O H Material SD

ρ

ρ = ρ

Hydrostatisches Paradoxon

Pascalsches Prinzip

Eine Änderung des Druckes in einem geschlossenen System wird gleichmäßig auf alle Teile der Flüssigkeit und die Wände eines Behälters verteilt

2 2 1

1

d F d

F W = =

Druck am Boden eines Gefäßes hängt nur von der Höhe der Wassersäule ab,

nicht von der Form des Behälters Ein Teil der Gewichtskraft wird von

Wand aufgenommen

Flüssigkeit

Gas Plasma

Festkörper

3

Hydraulisches System

Drehmoment verstärkt die Krafteintrag

N 500

N m 100 0.04

m 0.2

=

=

=

Pedal Pedal

Fuß Fuß

Pedal Pedal

F F

d F F d

( )

( ^{1.25 0.25 cm cm} )

^{500 N 1 . 25 10}

^N

2 2

2 2 1

1

⋅

=

=

= π

F π

A F A

F

Verstärkung des Krafteinwirkung um mehr als zwei Größenordnungen!

Ergebnis unabhängig von der Anzahl der Zylinder an den Bremsbacken!

1 Kraft durch den Fuß

N

= 100 F

2 Kraft durch das Pedal

3 Kraft auf die Bremsbacken

Hebelwirkung

Pascalsches Prinzip

4

Schweredruck

Druck von oben auf die Flüssigkeit

h p

hg p

A Ahg A

mg A

p F

Ah m

≈

⇓

=

=

=

= ⁼

ρ

ρ

ρ

Druck proportional zur Dichte und zur Tiefe

h Tiefe

h g

Der Druck in vergleichbaren Tiefen einer p

einheitlichen Flüssigkeit ist identisch

Δ

= Δ ρ

Flüssigkeiten sind inkompressibel, d.h. die Gleichung kann verwendet werden, um den Schweredruck in

Flüssigkeiten zu berechnen.

Allerdings nimmt auch die Dichte des Meerwassers bei großen Tiefen durch den enormen Schweredruck zu.

Dichteerhöhung!

Wenn die Dichte sich nur langsam mit der Tiefe h ändert kann man die Änderung des

Drucks mit h so schreiben

linear mit der Tiefe

Schweredruck

unabhängig von der Fläche des Tanks!

5

Talsperre

Assuan Staudamm oder Möhne-Talsperre

Welchem Wasserdruck muss der Damm einer Talsperre

widerstehen?

Abmessungen der Talsperre

Fläche 50 km², Breite 1 km, Tiefe 100m

N 10 4.91 F

m 1000 m

m² 100 10 N

91 . 4

m² 10 N 91 . 4

s² 81 m . 9 m m³ 50

10 kg 2

10 5

5 3

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

=

⋅

=

=

=

=

F

A p F p g h p

h h

ρ

Ergebnis hängt nicht von Fläche oder Volumen des Stausees ab, sondern nur von der Breite und Höhe des Damms

Da der Schweredruck linear mit der Tiefe anwächst, kann man mit einer mittleren Tiefe rechnen

N 10 245 ⋅

=

=

See

See See

F

g m F

Druck

Kraft

gering gegen die Gewichtskraft

mittlerer Druck auf die Staumauer

hier könnte der See auch zu Ende sein

kg 10 5 . 2

km m km² 10

50 m m³ 50

10 kg

Talsperre einer

Wassers des

Masse

12

3 2 3

2

⋅

=

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

=

=

See See

O H See

m m

V

m ρ

6

Druckmessung

statischer Druck

= 0 p

atm Säule

Hg

h g p

p

= ρ =

h 0.76 m

s² 9.81 m m³

13500 kg

m² 10 N 1.013

=

⋅

= ⋅

=

Hg Hg

Hg atm Hg

h h

g h p

ρ

Quecksilber (Hg)

m 0.3 1

s² 9.81 m m³

1000 kg

m² 10 N 1.013

2 2

2 2

5

=

⋅

= ⋅

=

O H

O H

O H

atm O

H

h h

g h p

ρ

Wasser

Wasserbarometer

Evangelista Torricelli 1608 – 1647)

1 atm = 760 mmHg =760 torr=10.2 Meter H₂O

Prinzip eines Barometers

Schweredruck der Hg-Säule entspricht dem Atmosphärendruc

k

horror vacui

Die Furcht vor der Leere

7

Gase sind kompressibel

Das führt zu Problemen beim Tauchen

In welcher Tiefe erreicht der Druck hervorgerufen durch die darüber liegende Wassersäule

einen Wert von 1 atm

10.3m s²

9.81 m m³ 10 kg

m² 10 N 1.01

3

5

⋅ =

=

= g

h p ρ

Durch die darüber liegende Atmosphäre erhöht sich der

Wert auf 2 atm.

Volumen eines Gases nimmt ab, wenn man das Gas komprimiert

Typisches Problem beim Tauchen: Druckausgleich

8

Luftsäule der Erde

nicht immer darf man mitteln!

mittlerer Luftdruck auf Meereshöhe

Wie hält eine Zelle überhaupt eine

solche

Druckbelastung aus?

interner Druck entspricht in etwa dem äußeren Druck

Bei Druckmanometern muss noch der Druck der Atmosphäre von 1 atm

addiert werden

At

M

p

p p = +

Dichte ändert sich nicht mit der Höhe

m³ 0 kg 1 58 . 8 s² 9.81 m m 10 1.2

m² 10 N 1.01

2 5

5

homo

⋅

=

⋅

= ⋅

= hg ρ p

Zum Vergleich: Die Dichte auf Meeresspiegelniveau beträgt

15

m³ 29 kg . 1

ρ ρ

ρ

==

=

Meer Meer

Atmosphäre reicht bis etwa 120 km

9

Barometrische Höhenformel

Dichte der Luft als Funktion der Höhe

Was macht die Sache schwieriger

Erhebliche Änderung in der Dichte der Atmosphäre als Funktion der Höhe.

Die Höhe der Atmosphäre ist nicht nach oben beschränkt.

dh g dp

gh p

ungen Höhenänder

kleiner g Betrachtun

ρ ρ

−

=

↓

=

Luft ist kompressibel

Annahme konstanter Dichte nicht haltbar Zusammenhang zwischen Druck und Volumen

Gesetz von Boyle-Mariotte

const p

p p

V M p

p M V p

p

=

⇒

=

↓

=

=

=

ρ ρ

ρ

ρ ρ

1 1 0

0

konstant ist Masse

2 1 1

1 0

0 0 0

Das Produkt aus Druck und Volumen eines Gases ergibt bei gleich bleibender Temperatur stets den gleichen Wert (mehr dazu in der Thermodynamik) Robert Boyle

(1627 - 1691)

Edme Mariotte (1620 - 1684)

p gh dp p

0

ρ

−

=

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

↓

−

=

−

= ∫

∫

Boden Boden Boden

Boden Boden Boden

h Boden p

p

p p gh

p

p gh p

p

dh p g

dp

Boden

ρ ρ ρ

exp ln

0

negativ,

da Druck mit der Höhe abnimmt

Barometrische Höhenformel

m 5532 2

ln s² 9.81 m m³

1.29 kg

Pa 10 h 1.01

2 ln 2 1

Luftdruck?

der sich halbiert Höhe

In welcher

5

=

⋅

= ⋅

=

=

Boden Boden

Boden

p gh p

p ρ

alle 5 km

0 0

p

ρ p

ρ =

10

Auftrieb

Archimedisches Prinzip

Die Auftriebskraft eines Körpers ist proportional der Masse der Flüssigkeit, die durch den Körper verdrängt wird

F

w

F

w

Fl

A

w

F =

Körper mit Volumen V und Masse M

m

Wasser im selben Volumen

Massenunterschied

Δ

11

Titanic

Wie viel sieht man von einem Eisberg?

m³ 917 kg

=

=

Eis

Eisberg Eis

Eisberg

V g

F ρ

ρ

14/15 April 1912

m³ 1030 kg

=

=

Seewasser

Seewasser Seewasser

Auftrieb

V g

F ρ

ρ

89 . 0

1030 ³ 917 ³

=

=

=

=

=

Wasser unter Eisberg rel

Seewasser Eis Eisberg

Seewasser Wasser

unter Eisberg rel

Eisberg Eis

Seewasser Seewasser

V

m kg m kg V

V V

g V

g V

ρ ρ ρ ρ

90% eines Eisbergs sind nicht sichtbar!

12

Eureka!

Archimedisches Prinzip

Wasser im Auftrieb

Auftrieb Wasser

im

F F

F

F F

F

g g

−

=

↓

−

=

F

F

=

O H O H O

H

g gV

m

F

=

= ρ

g V F

V V

O H

O H

2 2

Auftrieb Krone

Krone

= ρ

↓

=

g V

F

g g V

m

O H₂

Luft an Krone

Krone Krone Krone

=

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ρ

ρ

Masse der Krone

an Luft Masse der Krone

vollständig in Wasser getaucht

Luft

F

Wasser

F

F

Auftrieb entspricht der verdrängten Wassermenge

Volumen von Wasser und Krone sind konstant

Dichte der Materials der Krone entspricht dem Verhältnis von Gewicht an Luft zu verdrängter Wassermenge

Die Auftriebskraft eines Körpers ist proportional der Masse der Flüssigkeit, die durch den Körper verdrängt wird

Definition Dichte

13

Adhäsion, Kohäsion, Oberflächenspannung

In der Molekül- und Festkörperphysik wird man kennen lernen, dass alle Atome und Moleküle durch Kräfte aufeinander einwirken. Die Art der Wechselwirkung kann dabei sehr unterschiedlich sein. Gasatome (Edelgase)

und Gasmoleküle (CO, NO,...) haben offensichtlich eine viel geringeren Einfluss aufeinander als Atome in beispielsweise Metallen oder Keramiken.

Attraktive Kräfte zwischen gleichen Molekülen nennt man kohäsive Kräfte

Attraktive Kräfte zwischen ungleichen Molekülen nennt man adhäsive Kräfte

Beispiel sind Regentropfen an einer Fensterscheibe

Durch kohäsive Kräfte verhält sich die Oberfläche einer Flüssigkeit so wie ein gebogenes Radiergummi. Die Flüssigkeit versucht die möglichst kleinste Fläche einzunehmen. Im Extremfall

bildet sich ein Tropfen. Wir nennen diese Eigenschaft die Oberflächenspannung σ

Die Oberflächenspannung bewirkt, dass Nadel oder Insekten auf der Wasseroberfläche schwimmen.

Die Ursache ist also NICHT der Auftrieb!

Beim Eintauchen wirkt die Oberflächenspannung parallel zur Oberfläche und zu beiden Seiten.

Der resultierende Kraftvektor gleicht die Gewichtskraft aus