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A E− p21 2m 3N−52 , wobei A eine Normierungskonstante ist

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(1)

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 12

Prof. Dr. J¨org Schmalian Blatt 4: L¨osungen

Dr. Igor Gornyi Besprechung 11.5.2012

1. Maxwell-Verteilung:

Die Gesamtenergie eines idealen Gases mitN Teilchen ist gegeben durch H[{pn},{xn}] =

N

X

n=1

p2n 2m,

wobeipnder Impuls desn-ten Teilchens bezeichnet. (pnist ein 3-komponentiger Vektor) (a) Die 1-Teilchen-Verteilungsfunktion ergibt sich durch Integration

ρ1(x1, p1) =C0 Z N

Y

n=2

d3pnd3xnδ

N

X

n=1

p2n 2m −E

!

ρ1(x1, p1) =C0VN−1 Z N

Y

n=2

d3pn δ

N

X

n=2

p2n 2m −

E− p21 2m

!

ρ1(x1, p1) =C0VN−1

E− p21 2m

3N−52 Z N Y

n=2

d3n δ

N

X

n=2

˜ p2n 2m −1

!

ρ1(x1, p1) = A

E− p21 2m

3N−52 ,

wobei A eine Normierungskonstante ist. Die Integration von Zeile 2 nach Zeile 3 l¨asst sich wie folgt begr¨unden. Wir f¨uhren neue Impulsvariablen ein

˜ pn =pn

E− p21 2m

12

F¨ur jede Impulskomponente (es gibt 3(N −1) davon) ergibt die Substitution im Integral einen Faktor

E−2mp21 12

. Zus¨atzlich wird die Deltafunktion skaliert δ

N

X

n=2

p2n 2m −

E− p21 2m

!

=

E− p21 2m

−1 δ

N

X

n=2

˜ p2n 2m −1

!

und gibt einen Faktor h

E− 2mp21i−1

. Die 1-Teilchen-Impulsverteilung ist dann

f(p1) =A0

E− p21 2m

3N−52 ,

(2)

mit A0 =V ·A.

(b) Benutzen wir jetzt die Energie pro Teilchen ¯=E/N, ergibt sich f¨ur die 1-Teilchen- Impulsverteilung

f(p1) =A00

1− p21 2m¯N

3N−52

im Limes N 1 die Vereinfachung f(p1)→B

1− p21 2m¯N

3N2

→Bexp

−3p21 4m¯

.

Im letzten Schritt haben wir den Hinweis vom Blatt 1− NxN

≈e−x benutzt.

Das ist die Maxwell-Verteilung:

f(p) =Bexp

− p2 2mkBT

, (1)

wo wir die Relation ¯= 3kBT /2 benutzt haben. Die Normierungskonstante ist B =

3 4πm¯

3/2

= 1

[2πmkBT]3/2.

2. Kanonische Gesamtheit:

(a) Kanonische Gesamtheit: (T, N, V) :N, V sind Randbedingungen f¨ur die Zust¨ande, die zur Zustandssumme beitragen; T durch angekoppeltes W¨armebad.

Zustandssumme:

Z(T, N, V) = X

α

e−βEα, U(T, N, V) = hEi= 1 Z

X

α

Eαe−βEα. Schwankungen: Betrachten wir

∂Z

∂β = −X

α

Eαe−βEα ⇒ hEi=−1 Z

∂Z

∂β,

2Z

∂β2 = X

α

Eα2e−βEα ⇒ hE2i= 1 Z

2Z

∂β2. Die Varianz

∂hEi

∂β = 1 Z2

∂Z

∂β 2

| {z } hEi2

− 1 Z

2Z

∂β2

| {z } hE2i

=−h(∆E)2i.

Deswegen

h(∆E)2i=− ∂U

∂β

N,V

=kBT2 ∂U

∂T

N,V

| {z }

=CV

=kBT2CV.

(3)

(b) Die Kleinheit der Schwankungen:

hEi ∝N, weil die Energie extensiv ist.

Ahnlicherweise¨

U ∝N ⇒ CV = ∂U

∂T

N,V

∝N ⇒ h(∆E)2i ∝N.

Deswegen

ph(∆E)2i hEi ∝

√N N = 1

√ N.

3. Gaußverteilung f¨ur mehrere Variablen:

Wir betrachten die charakteristische Funktion

φ(λ1, . . . , λM) =heiPMj=1λjξji

mit deren Hilfe sich viele Erwartungswerte einfach berechnen lassen (siehe unten).

Es ergibt sich

φ(λ1, . . . , λM) =

pdet(A) (2π)M/2

Z

−∞

dMξ e12PMi,j=1ξiAijξj+iPMj=1λjξj

Zur Berechnung des Integrals wird der Exponent mittels quadratischer Erg¨anzung um- geschrieben:

−1 2

M

X

i,j=1

ξiAijξj+i

M

X

j=1

λjξj +1 2

M

X

i,j=1

λiGijλj− 1 2

M

X

i,j=1

λiGijλj

mit Gij = [A−1]ij. Es gilt

Aij =Aji ⇒ Gij =Gji,

M

X

j=1

AijGjkik,

M

X

j=1

GijAjkik.

Die ersten drei Summanden k¨onnen zusammengefasst werden zu

−1 2

M

X

i,j=1

ξi−iX

k

λkGki

!

Aij ξj−iX

k

Gjkλk

!

=−1 2

M

X

i,j=1

yiAijyj

mit yjj −iP

kGjkλkj −iP

kλkGkj.

(4)

Wir erhalten somit schließlich φ(λ1, . . . , λM) =

pdet(A) (2π)M/2

Z

−∞

dMy e12PMi,j=1yiAijyj

| {z }

=1 (Normierung)

e12PMi,j=1λiGijλj

φ(λ1, . . . , λM) = e

1

2 M

P

i,j=1

λiGijλj

.

Die benutzte Normierungsbedingung war auf dem Aufgabenblatt gegeben. Zum Wer sie nachpr¨ufen m¨ochte, kann die MatrixAmittles einer orthogonalen Matrix diagonalisieren und eine entsprechenden Ersetzung der Integrationsvariablen durchf¨uhren. Das Integral zerf¨allt dann in viele ein-dimensionalen Gauß-Integrale, die einfach ausgerechnet werden k¨onnen.

(a) Mit hilfe dieser charakteristischen Funktion k¨onnen wir nun die Mittelwerte be- rechnen:

– Mittelwert (Der “Trick” ist, die Erwartungswerte in Ableitungen der charak- teristischen Funktion umzuschreiben):

ii=hξi·1i=

ξi·eiPMj=1λjξj

λ1=...=λM=0

= 1

i d

i ·eiPMj=1λjξj

λ1=...=λM=0

= 1 i

d

iφ(λ1, . . . , λM)

λ1=...=λM=0

=−1 i

M

X

j=1

Gijλj λj=0

= 0

– Standardabweichung hξi2i − hξii2

|{z}

=0

=hξ2ii=− d2

2iφ(λ1, . . . , λM)

λ1=...=λM=0

=Gii – Korrelator

iξji=− d2

ijφ(λ1, . . . , λM)

λ1=...=λM=0 =Gij

– Exponentialfunktion

*

exp iβ

M

X

k=1

ξk

!+

=φ(β, β . . . , β) = exp −β2 2

M

X

i,j=1

iξji

!

Hier setzen wir λ12 =· · ·=λM =β und substituieren hξiξji f¨urGij. (b) Wir definieren ti =i∆t, ∆t = Mτ , i= 1, . . . , M.

(Genau betrachtet erhalten wir damit das Intervall [∆t, τ] und nicht [0, τ], aber f¨ur große M verschwindet diese Diskrepanz.)

Integale diskretisieren wir folgendermaßen Z τ

0

dtf(t) → X

i

∆t·f(ti).

(5)

Damit wird

ρ({ξ(t)})∼exp −1 2

M

X

ij=1

ξ(ti)(∆t)2g−1(ti−tj)ξ(tj)

!

Um die Verbindung zur diskreten Verteilungsfunktion aus Aufgabe (a) herzustel- len, setzen wir

ξi =ξ(ti), Aij = (∆t)2g−1(ti−tj).

Wir diskretisieren hexp iRτ

0 dtξ(t)

ic, und erhaltenhexph

i∆tPM k=1ξki

id. (Der In- dex d oder c am Mittelwert errinert uns daran, ob dieser diskret oder kontinuierlich ist.)

Aus Aufgabe (a) wissen wir jedoch, dass

* exp

"

i∆t

M

X

k=1

ξk

#+

d

= exp

"

−(∆t)2 2

M

X

ij=1

iξjid

# .

Damit ergibt sich, nachdem wir auf der rechten Seite die Doppelsumme im Expo- nenten wieder durch ein Doppelintegral ersetzen, die gesuchte Beziehung:

exp

i

Z τ 0

dtξ(t)

c

= exp

−1 2

Z τ 0

dt Z τ

0

dt0hξ(t)ξ(t0)ic

.

(c) Wir w¨ahlen dasti das am n¨achsten antliegt (undtj am n¨achsten zut0). Dies ist der Diskretizierung geschuldet, da es f¨ur die meistent, t0 nicht mit den Diskretisierten Werten ¨ubereinstimmen.

Da hξiξjid =Gij = [A−1]ij, ben¨otigen wir A−1.

Ein kurzer Ausflug in die Theorie der (linearen) Integralgleichungen:

Die Gleichung x=Ky sei wie folgt zu verstehen:

x(r) = Z

K(r, r0)y(r0)dr0 , (2) wobeiK(r, r0) der Integralkern ist. Die L¨osung dieser Gleichung ist dann

y(r) = Z

K(r, r¯ 0)x(r0)dr0 . (3) Mit ¯K ≡ K−1 erhalten wir y = K−1x. Also K−1 ist einfach das Inverse des Integralkerns.

Nun betrachten wir als definierende Gleichung f¨urg(t−t0) folgenden Ausdruck:

Z τ 0

dt00 g−1(t−t00)g(t00−t0) = δ(t−t0).

(6)

Diskretisiert lautet diese Gleichung

∆t

M

X

j=1

g−1(ti−tj)g(tj −tk) = δik

∆t

|{z}

(diskretisierte Deltafunktion)

Warum? Die diskretisierte Form der Deltafunktion,δD(ti−tj), erh¨alt man aus der Normierung f¨ur die Deltafunktion:

Z τ 0

dt δ(t−t0) = 1 ⇒ ∆t

M

X

j=1

δD(ti−tj)

| {z }

δij/∆t

= 1.

Also folgt PM

j=1[g−1]ijgjk = δik/(∆t)2. Da aber andrerseits (∆t)2[g−1]ij =Aij ⇒ PM

j=1Aijgjkik ist, folgt [A−1]ij =gij =g(ti−tj).

Damit erhalten wir die gesuchte Beziehung:

hξ(t)ξ(t0)ic

| {z }

“Korrelationsfunktion”

= g(t−t0)

| {z }

(Maß f¨ur Korrelationen)

.

N¨aherung gut, wenn ∆t klein gegen¨uber der Reichwerte der Korrelationen ist, d.h.

g(∆t)≈g(0).

4. Ising-Modell (Bonusaufgabe):

In dieser Aufgabe betrachten wir ein Ising-Modell mit unendlich reichweitiger Wechsel- wirkung. Jeder SpinSi wechselwirkt mit jedem anderem Spin (und nicht nur mit seinen n¨achsten Nachbarn). Die Hamiltonfunktion ist gegeben durch

H =−J N

N

X

i=1 N

X

j=1

SiSj−µBB

N

X

i=1

Si,

=−J N

N

X

i=1

Si

!2

−µBB

N

X

i=1

Si =−J

NStot2 −µBBStot,

(4)

wobei in der letzten Umformung der Gesamtspin Stot =

N

X

i=1

Si (5)

eingef¨uhrt wurde. Die Gesamtenergie h¨angt also nur vom Gesamtspin ab und nicht von der mikroskopischen Konfiguration der Einzelspins. Im folgenden gehen wir davon aus, dass die beiden erlaubten Werte f¨ur den Spin ±1. Den typischen Faktor ~2 sei in die Kopplung J bzw. in das Magnetfeldes B definiert. Wir sind am thermodynamischen Limes mit N → ∞ interessiert.

B bezeichnet das von externe an das System angelegte Feld. Damit w¨are eigentlich der Buchstabe H angebrachter. Da dieser aber bereits f¨ur die Hamiltonfunktion benutzt wird, wird hierBgenutzt. Gemeint ist aber trotzdem die magnetische Feldst¨arke/Erregung und nicht die magnetische Flussdichte/Induktion.

(7)

Exkurs: Hubbard-Stratonovich-Transformation In dieser Aufgabe benutzen wir eine Hubbard-Stratonovich-Transformation um die quadratische Spinabh¨angig- keit in der Hamiltonfunktion zugunsten einer weiteren Variable zu entfernen. Dies geschieht mit Hilfe des Integrals

eax

2

N =

+∞

Z

−∞

dy √

N a

π e−N ay2+2ayx. (6)

Wir tauschen also ein quadratischesxim Exponenten gegen eine weitere Integration aus.

Die Idee der Hubbard-Stratonovich-Transformation ist, eine quadratische Wechsel- wirkung zwischen zwei Spins/Teilchen/o.¨a. durch die Wechselwirkung mit einem Hilfsfeld (hier: y) auszudr¨ucken.

Wer m¨ochte, kann Gl. (6) mit Hilfe eines Gauß’schen Integrals beweisen (Quadrati- sche Erg¨anzung; Schift der Integrationsvariablen):

+∞

Z

−∞

dy e−ay2 = rπ

a f¨ur a >0.

(a) Berechnung der Zustandssumme Z:

Z =

P

S1=±1

P

S2=±1

··· P

SN=±1

z }| { X

{Si=±1}

e−βH

= X

{Si=±1}

e+βJNStot2 e+βµBBStot

Einsetzen der Hubbard-Stratonovich-Transformation mit a = βJ und x = Stot ergibt:

Z (6)= X

{Si=±1}

+∞

Z

−∞

dy√

N βJ

π e−N βJ y2+2βJ yStote+βµBBStot (7) Damit haben wir erreicht, dass der TermStot nur noch linear im Exponenten steht.

Ziehen wir nun die Summe unter das Integral und berechnen nur die von Stot- abh¨angigen Terme ist die Berechnung analog zur Zustandssumme f¨ur nicht wech- selwirkende Teilchen und f¨uhrt zur ¨ublichen Faktorisierung.

(8)

X

{Si=±1}

e+(2βJ y+βµBB)Stot = X

{Si=±1}

e+(2βJ y+βµBB)PNi=1Si = X

{Si=±1}

N

Y

i=1

e+(2βJ y+βµBB)Si

=

N

Y

i=1

X

Si=±1

e+(2βJ y+βµBB)Si =

N

Y

i=1

e+(2βJ y+βµBB)+ e−(2βJ y+βµBB)

=

2 cosh(2βJ y+βµBB)N

(8) Dies wird in Gl. (7) eingesetzt:

Z (7)(8)=

+∞

Z

−∞

dy √

N βJ

π e−N βJ y2

2 cosh(2βJ y+βµBB)N

=

+∞

Z

−∞

dye−N f(y) (9)

In der neu definierten Funktion f(y)

f(y) := βJ y2−ln cosh(2βJ y+βµBB)−ln 2− 1

2N lnβJ N π

| {z }

0 f¨urN→ ∞

(10)

kann der letzte Term im thermodynamischen LimesN → ∞vernachl¨assigt werden.

Das Integral in Gl. (9) wird f¨ur N → ∞ nur vom Maximum des Integranden bestimmt. Wir bezeichnen mity0 das Minimum vonf(y) (und damit das Maximum von e−N f(y)). Dann gilt:

Z = e−N f(y0) f¨ur N → ∞ (11) Bevor wir y0 berechnen, schauen wir uns zuerst seine physikalische Bedeutung an.

(b) Untersuchung der Magnetisierung abh¨angig von Temperatur und Magnetfeld:

Wir berechnen die Magnetisierung mit Hilfe der freien Energie:

F =−1

β lnZ (11)= N

βf(y0) (12)

M =−∂F

∂B

(12)= −1 βN ∂f

∂B y=y0

(13) Wir betrachten nun die ersten beiden Terme von f (vgl. Gl. (10)). Die Ableitung des cosh-Terms nachB ist bis auf die innere Ableitung identisch mit der Ableitung nachy. Anstattf nachB abzuleiten, k¨onnen wir also auchf nachyableiten, wenn wir den zus¨atzlich auftretenden Beitrag 2βJ y vom ersten Term abziehen und das Ergebnis bzgl. der inneren Ableitung im cosh korrigieren:

∂f

∂B = ∂f

∂y −2βJ y

·µB 2J

(9)

Der Vorteil ist nun, dass y0 definitionsgem¨aß ein Minimum von f ist und damit die Ableitung ∂f∂y

y=y0

verschwindet:

∂f

∂B y=y0

=

"

∂f

∂y y=y0

| {z }

0

−2βJ y0

#

·µB

2J =−µBβy0 (14)

Die Magnetisierung M ist damit gegeben durch:

M (13)(14)= N µBy0 (15)

Damit isty0 die mittlere Magnetisierung pro Spins, also y0 =hSiimit den erlaub- ten Werten: −1 < y0 < +1. Da y0 das Minimum von f bezeichnet folgt durch Nullsetzen der Ableitung

f0(y)(10)= 2βJ y− 1

cosh(2βJ y+βµBB)sinh(2βJ y+βµBB)2βJ

= 2βJ

y−tanh(2βJ y+βµBB) !

= 0 die folgenden Bedingung f¨ur y0:

y0 = tanh(2βJ y0+βµBB) (16) Wir betrachten zuerst den Fall ohne ¨außeres Magnetfeld B = 0. Hier gilt

y0 = tanh(2βJ y0) (17)

Wir bestimmen die L¨osungen der transzendente Gleichung grafisch als Schnitt- punkte der linken und rechten Seiten also Funktion von y (siehe Abb. 1). F¨ur 2βJ < 1 ⇔ kBT > 2J ergibt sich die L¨osung y0 = 0. Das System ist also unmagnetisiert. F¨ur 2βJ >1⇔kBT < 2J ergeben sich zwei weiteren L¨osun- gen mit endlichen Wert f¨ury0. Der Schnittpunkt bei y= 0 stellt nicht l¨anger ein Minimum von f(y) dar. Das System baut also eine endliche Magnetisie- rung auf. Der ¨Ubergang dazwischen findet bei kBT = 2J statt. Damit ist dies die kritische Temperatur TC, unterhalb deren das System eine endliche Magnetisierung auch ohne angelegtes Feld zeigt:

kBTC = 2J

F¨ur kleine Werte von y0 (also nahe der kritischen Temperatur TC) l¨asst sich Gl. (17) entwickeln (tanh(x) =x− 13x3+O(x5)):

y0 = 2βJ y0− 1

3(2βJ y0)3

Zus¨atzlich zur L¨osung y0 = 0 (g¨ultig f¨ur T > TC) ergibt dies eine L¨osung f¨ur T < TC bei

y0 =± s 3

(2βJ)3(2βJ−1)

(10)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Abbildung 1: F¨ur kleine Werte vonβJ (gepunktete Kurve) ergibt sich nur f¨ury = 0 ein Schnittpunkt mit der Ursprungsgeraden. In diesem Fall ist dies das Minimum vonf(y).

F¨ur gr¨oßere Werte vonβJ schneidet der tanh die Ursprungsgerade dreimal (gestrichelte Kurve). Der Schnittpunkte bei y = 0 ist nun ein Maximum von f(y) und die beiden anderen Schnittpunkte liegen symmetrisch um den Ursprung und bezeichnet nun die Minima von f(y). Der ¨Ubergang zwischen beiden F¨allen findet genau dort statt, wo der tanh bei y = 0 die gleiche Steigung wie die Ursprungsgerade (also 1) hat. Daraus ergibt sich als Bedingung f¨ur die kritische Temperatur 2βJ = 1.

oder sch¨oner mit 2J =kBTC:

y0 =± s

3T2

TC3 (TC −T) (18)

In der linken H¨alfte von Abb. 2 ist die Magnetisierung skizziert.

Nun betrachten wir den Fall mit ¨außerem Magnetfeld B 6= 0.

und untersuchen die isotherme magnetische Suszeptibilit¨at χT = ∂M

∂B T

(15)= N µB ∂y0

∂B T

. (19)

Um die Ableitung ∂y∂B0

T zu berechnen, differenzieren wir Gl. (16) auf beiden

(11)

0 2 4 6 8 10

0 1 2 3 4 5 6 7

-1 -0.5 0 0.5 1

0 1 2

Abbildung 2: Die Magnetisierung (links) und die magnetische Suszeptibilit¨at (rechts) des Systems als Funktion der Temperatur.

Seiten nach B (bei konstantemT):

∂(“Gl. (16)”)

∂B T

⇒ ∂y0

∂B T

=

1 + tanh2(2βJ y0 +βµBB)

| {z }

y20

βµB+ 2βJ ∂y0

∂B T

∂y0

∂B T

= (1 +y20)βµB (1−2βJ(1 +y20)) oder sch¨oner mit 2J =kBTC:

∂y0

∂B T

= (1 +y02B

kB(T −TC(1 +y02)) (20)

χT (19)(20)= N(1 +y022B kB(T −TC(1 +y20))

Besonders einfach wird damit die Nullfeld-Suszeptibilit¨at χT|B=0 f¨urT > TC, da dort y0 = 0 gilt. Wir finden das Curie-Weiss-Gesetz

χT|B=0 = N µ2B

kB(T −TC) ∝ 1

T −TC f¨ur T > TC

F¨urT →TC divergiert die Suszeptibilit¨at, da nahe des Phasen¨uberganges ein beliebig kleines Feld ausreicht, um das gesamte System von der Phase ohne Magnetisierung in die Phase mit makroskopischer Magnetisierung ¨ubergeben zu lassen. Die magnetische Suszeptibilit¨at ist f¨urT > TC in der rechten H¨alfte von Abb. 2 skizziert.

(12)

(c) Spezifische W¨arme

Die EnergieU ist durch die Hamiltonfunktion in Gl. (4) gegeben. Durch Einsetzen von Stot =N y0 erh¨alt man

U =H =−N(J y02BBy0). (21) F¨ur die spezifische W¨arme gilt dann

CV = ∂U

∂T

(21)= −N

J∂(y02)

∂T +µBB∂y0

∂T

. (22)

Wir untersuchen zwei F¨alle mitB = 0 genauer. Hier gilt (wieder mit 2J =kBTC):

CV (22)= −1

2N kBTC∂(y02)

∂T (23)

T < TC : Im ersten Fall ist das System direkt unterhalb TC und es gilt Gl. (18).

Damit ist die Ableitung gegeben als

∂(y02)

∂T

(18)= ∂T3T2

TC3 (TC−T) = 6 T

TC3(TC−T)− 3T2

TC3 (24) und CV ist damit

CV (23)(24)= 3

2N kBT2

TC2 −3N kB T

TC2(TC −T) oder direkt bei T =TC

CV T=T=C 3 2N kB

T > TC : In diesem Fall ist y0 strikt null und damit verschwindet auch die Ablei- tung und die spezifische W¨arme

CV T >T=C 0

Dies bedeutet, dass das System ¨uberhalb von TC keine zus¨atzliche Energie mehr aufnehmen kann. Die innere Energie des Systems hat (f¨ur B = 0) beiy0 = 0 ihr Maximum (vgl. Gl. (21)). Es gibt keine weiteren Freiheitsgrade, die angeregt werden k¨onnten.

Diese L¨osung des unendlich reichweitigen Ising-Modells wurde im Mai 2012 von Michael Walz formuliert. Referenz: Quantum many-particle systems; John W. Negele und Henri Orland;

Addison-Wesley; Kapitel 4.2

Exkurs: Kombinatorische L¨osung Da die Hamiltonfunktion nur vom Gesamt- spin und nicht von der mikroskopischen Konfiguration der Einzelspins abh¨angt,

(13)

kann man die Zustandssume auch kombinatorisch ansetzen. Anstatt ¨uber alle Spin- konfigurationen zu summieren

Z = X

{Si=±1}

exp

−βH(Stot =X

i

Si)

k¨onnen wir auch ¨uber den Gesamtspin summieren Z =X

Stot

ρ(Stot) exp

−βH(Stot)

wobeiρ(Stot) eine Art Zustandsdichte ist und angibt wieviele verschiedenen M¨oglich- keiten es gibt den Gesamtspin Stot zu realisieren. Zuerst, stellen wir uns vor, dass alle N Spins nach unten zeigen. Damit ist Stot = −N. Diese M¨oglichkeit gibt es genau einmal. Als n¨achstes ¨uberlegen wir uns, was passiert, wenn wir k Spins nach oben umklappen. F¨ur jeden umgeklappten Spin ¨andert sich der Gesamtspin um 2.

Damit ist Stot =−N + 2k. Der Faktor ρ(Stot) gibt dann an wieviele M¨oglichkeiten es gibt, sich aus N Spins genau k Spins zum Umklappen herauszusuchen. Das ist die Definition des Binomialfaktors Nk

. Es ergibt sich

Z =

N

X

k=0

N k

exp

−βH(Stot =−N + 2k) .

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