A E− p21 2m 3N−52 , wobei A eine Normierungskonstante ist

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 12

Prof. Dr. J¨org Schmalian Blatt 4: L¨osungen

Dr. Igor Gornyi Besprechung 11.5.2012

1. Maxwell-Verteilung:

Die Gesamtenergie eines idealen Gases mitN Teilchen ist gegeben durch H[{p_n},{x_n}] =

N

X

n=1

p²_n 2m,

wobeip_nder Impuls desn-ten Teilchens bezeichnet. (p_nist ein 3-komponentiger Vektor) (a) Die 1-Teilchen-Verteilungsfunktion ergibt sich durch Integration

ρ₁(x₁, p₁) =C₀ Z ^N

Y

n=2

d³p_nd³x_nδ

N

X

n=1

p²_n 2m −E

!

ρ₁(x₁, p₁) =C₀V^N−1 Z ^N

Y

n=2

d³p_n δ

N

X

n=2

p²_n 2m −

E− p²₁ 2m

!

ρ₁(x₁, p₁) =C₀V^N−1

E− p²₁ 2m

^3N−5₂ Z ^N Y

n=2

d³p˜_n δ

N

X

n=2

˜ p²_n 2m −1

!

ρ₁(x₁, p₁) = A

E− p²₁ 2m

^3N−5₂ ,

wobei A eine Normierungskonstante ist. Die Integration von Zeile 2 nach Zeile 3 l¨asst sich wie folgt begr¨unden. Wir f¨uhren neue Impulsvariablen ein

˜ p_n =p_n

E− p²₁ 2m

⁻¹₂

F¨ur jede Impulskomponente (es gibt 3(N −1) davon) ergibt die Substitution im Integral einen Faktor

E−_2m^{p21 1}₂

. Zus¨atzlich wird die Deltafunktion skaliert δ

N

X

n=2

p²_n 2m −

E− p²₁ 2m

!

=

E− p²₁ 2m

⁻¹ δ

N

X

n=2

˜ p²_n 2m −1

!

und gibt einen Faktor h

E− _2m^p21i−1

. Die 1-Teilchen-Impulsverteilung ist dann

f(p₁) =A⁰

E− p²₁ 2m

^3N−5₂ ,

mit A⁰ =V ·A.

(b) Benutzen wir jetzt die Energie pro Teilchen ¯=E/N, ergibt sich f¨ur die 1-Teilchen- Impulsverteilung

f(p₁) =A⁰⁰

1− p²₁ 2m¯N

^3N−5₂

im Limes N 1 die Vereinfachung f(p₁)→B

1− p²₁ 2m¯N

^3N₂

→Bexp

−3p²₁ 4m¯

.

Im letzten Schritt haben wir den Hinweis vom Blatt 1− _N^xN

≈e^−x benutzt.

Das ist die Maxwell-Verteilung:

f(p) =Bexp

− p² 2mk_BT

, (1)

wo wir die Relation ¯= 3k_BT /2 benutzt haben. Die Normierungskonstante ist B =

3 4πm¯

3/2

= 1

[2πmkBT]^3/2.

2. Kanonische Gesamtheit:

(a) Kanonische Gesamtheit: (T, N, V) :N, V sind Randbedingungen f¨ur die Zust¨ande, die zur Zustandssumme beitragen; T durch angekoppeltes W¨armebad.

Zustandssumme:

Z(T, N, V) = X

α

e^−βEα, U(T, N, V) = hEi= 1 Z

X

α

E_αe^−βEα. Schwankungen: Betrachten wir

∂Z

∂β = −X

α

E_αe^−βEα ⇒ hEi=−1 Z

∂Z

∂β,

∂²Z

∂β² = X

α

E_α²e^−βEα ⇒ hE²i= 1 Z

∂²Z

∂β². Die Varianz

∂hEi

∂β = 1 Z²

∂Z

∂β 2

| {z } hEi²

− 1 Z

∂²Z

∂β²

| {z } hE²i

=−h(∆E)²i.

Deswegen

h(∆E)²i=− ∂U

∂β

N,V

=k_BT² ∂U

∂T

N,V

| {z }

=CV

=k_BT²C_V.

(b) Die Kleinheit der Schwankungen:

hEi ∝N, weil die Energie extensiv ist.

Ahnlicherweise¨

U ∝N ⇒ C_V = ∂U

∂T

N,V

∝N ⇒ h(∆E)²i ∝N.

Deswegen

ph(∆E)²i hEi ∝

√N N = 1

√ N.

3. Gaußverteilung f¨ur mehrere Variablen:

Wir betrachten die charakteristische Funktion

φ(λ₁, . . . , λ_M) =he^iPMj=1λjξji

mit deren Hilfe sich viele Erwartungswerte einfach berechnen lassen (siehe unten).

Es ergibt sich

φ(λ1, . . . , λM) =

pdet(A) (2π)^M/2

Z ∞

−∞

d^Mξ e^{−12PMi,j=1ξiAijξj+iPMj=1λjξj}

Zur Berechnung des Integrals wird der Exponent mittels quadratischer Erg¨anzung um- geschrieben:

−1 2

M

X

i,j=1

ξ_iA_ijξ_j+i

M

X

j=1

λ_jξ_j +1 2

M

X

i,j=1

λ_iG_ijλ_j− 1 2

M

X

i,j=1

λ_iG_ijλ_j

mit G_ij = [A⁻¹]_ij. Es gilt

Aij =Aji ⇒ Gij =Gji,

M

X

j=1

AijGjk =δik,

M

X

j=1

GijAjk =δik.

Die ersten drei Summanden k¨onnen zusammengefasst werden zu

−1 2

M

X

i,j=1

ξ_i−iX

k

λ_kG_ki

!

A_ij ξ_j−iX

k

G_jkλ_k

!

=−1 2

M

X

i,j=1

y_iA_ijy_j

mit y_j =ξ_j −iP

kG_jkλ_k =ξ_j −iP

kλ_kG_kj.

Wir erhalten somit schließlich φ(λ₁, . . . , λ_M) =

pdet(A) (2π)^M/2

Z ∞

−∞

d^My e^{−12PMi,j=1yiAijyj}

| {z }

=1 (Normierung)

e^{−12PMi,j=1λiGijλj}

φ(λ₁, . . . , λ_M) = e

−¹

2 M

P

i,j=1

λiGijλj

.

Die benutzte Normierungsbedingung war auf dem Aufgabenblatt gegeben. Zum Wer sie nachpr¨ufen m¨ochte, kann die MatrixAmittles einer orthogonalen Matrix diagonalisieren und eine entsprechenden Ersetzung der Integrationsvariablen durchf¨uhren. Das Integral zerf¨allt dann in viele ein-dimensionalen Gauß-Integrale, die einfach ausgerechnet werden k¨onnen.

(a) Mit hilfe dieser charakteristischen Funktion k¨onnen wir nun die Mittelwerte be- rechnen:

– Mittelwert (Der “Trick” ist, die Erwartungswerte in Ableitungen der charak- teristischen Funktion umzuschreiben):

hξii=hξi·1i=

ξi·e^iPMj=1λjξj

λ1=...=λM=0

= 1

i d

dλ_i ·e^iPMj=1λjξj

λ1=...=λM=0

= 1 i

d

dλ_iφ(λ₁, . . . , λ_M)

λ1=...=λM=0

=−1 i

M

X

j=1

G_ijλ_j λj=0

= 0

– Standardabweichung hξ_i²i − hξ_ii²

|{z}

=0

=hξ²_ii=− d²

dλ²_iφ(λ₁, . . . , λ_M)

λ1=...=λM=0

=G_ii – Korrelator

hξiξji=− d²

dλ_idλ_jφ(λ1, . . . , λM)

λ1=...=λM=0 =Gij

– Exponentialfunktion

*

exp iβ

M

X

k=1

ξ_k

!+

=φ(β, β . . . , β) = exp −β² 2

M

X

i,j=1

hξ_iξ_ji

!

Hier setzen wir λ1 =λ2 =· · ·=λM =β und substituieren hξiξji f¨urGij. (b) Wir definieren t_i =i∆t, ∆t = _M^τ , i= 1, . . . , M.

(Genau betrachtet erhalten wir damit das Intervall [∆t, τ] und nicht [0, τ], aber f¨ur große M verschwindet diese Diskrepanz.)

Integale diskretisieren wir folgendermaßen Z τ

0

dtf(t) → X

i

∆t·f(ti).

Damit wird

ρ({ξ(t)})∼exp −1 2

M

X

ij=1

ξ(t_i)(∆t)²g⁻¹(t_i−t_j)ξ(t_j)

!

Um die Verbindung zur diskreten Verteilungsfunktion aus Aufgabe (a) herzustel- len, setzen wir

ξ_i =ξ(t_i), A_ij = (∆t)²g⁻¹(t_i−t_j).

Wir diskretisieren hexp iRτ

0 dtξ(t)

i_c, und erhaltenhexph

i∆tPM k=1ξ_ki

i_d. (Der In- dex d oder c am Mittelwert errinert uns daran, ob dieser diskret oder kontinuierlich ist.)

Aus Aufgabe (a) wissen wir jedoch, dass

* exp

"

i∆t

M

X

k=1

ξ_k

#+

d

= exp

"

−(∆t)² 2

M

X

ij=1

hξ_iξ_ji_d

# .

Damit ergibt sich, nachdem wir auf der rechten Seite die Doppelsumme im Expo- nenten wieder durch ein Doppelintegral ersetzen, die gesuchte Beziehung:

exp

i

Z τ 0

dtξ(t)

c

= exp

−1 2

Z τ 0

dt Z τ

0

dt⁰hξ(t)ξ(t⁰)ic

.

(c) Wir w¨ahlen dast_i das am n¨achsten antliegt (undt_j am n¨achsten zut⁰). Dies ist der Diskretizierung geschuldet, da es f¨ur die meistent, t⁰ nicht mit den Diskretisierten Werten ¨ubereinstimmen.

Da hξiξjid =Gij = [A⁻¹]_ij, ben¨otigen wir A⁻¹.

Ein kurzer Ausflug in die Theorie der (linearen) Integralgleichungen:

Die Gleichung x=Ky sei wie folgt zu verstehen:

x(r) = Z

K(r, r⁰)y(r⁰)dr⁰ , (2) wobeiK(r, r⁰) der Integralkern ist. Die L¨osung dieser Gleichung ist dann

y(r) = Z

K(r, r¯ ⁰)x(r⁰)dr⁰ . (3) Mit ¯K ≡ K⁻¹ erhalten wir y = K⁻¹x. Also K⁻¹ ist einfach das Inverse des Integralkerns.

Nun betrachten wir als definierende Gleichung f¨urg(t−t⁰) folgenden Ausdruck:

Z τ 0

dt⁰⁰ g⁻¹(t−t⁰⁰)g(t⁰⁰−t⁰) = δ(t−t⁰).

Diskretisiert lautet diese Gleichung

∆t

M

X

j=1

g⁻¹(t_i−t_j)g(t_j −t_k) = δ_ik

∆t

|{z}

(diskretisierte Deltafunktion)

Warum? Die diskretisierte Form der Deltafunktion,δ_D(t_i−t_j), erh¨alt man aus der Normierung f¨ur die Deltafunktion:

Z τ 0

dt δ(t−t⁰) = 1 ⇒ ∆t

M

X

j=1

δ_D(t_i−t_j)

| {z }

δij/∆t

= 1.

Also folgt PM

j=1[g⁻¹]_ijg_jk = δ_ik/(∆t)². Da aber andrerseits (∆t)²[g⁻¹]_ij =A_ij ⇒ PM

j=1A_ijg_jk =δ_ik ist, folgt [A⁻¹]_ij =g_ij =g(t_i−t_j).

Damit erhalten wir die gesuchte Beziehung:

hξ(t)ξ(t⁰)i_c

| {z }

“Korrelationsfunktion”

= g(t−t⁰)

| {z }

(Maß f¨ur Korrelationen)

.

N¨aherung gut, wenn ∆t klein gegen¨uber der Reichwerte der Korrelationen ist, d.h.

g(∆t)≈g(0).

4. Ising-Modell (Bonusaufgabe):

In dieser Aufgabe betrachten wir ein Ising-Modell mit unendlich reichweitiger Wechsel- wirkung. Jeder SpinS_i wechselwirkt mit jedem anderem Spin (und nicht nur mit seinen n¨achsten Nachbarn). Die Hamiltonfunktion ist gegeben durch

H =−J N

N

X

i=1 N

X

j=1

S_iS_j−µ_BB

N

X

i=1

S_i,

=−J N

N

X

i=1

S_i

!2

−µ_BB

N

X

i=1

S_i =−J

NS_tot² −µ_BBS_tot,

(4)

wobei in der letzten Umformung der Gesamtspin S_tot =

N

X

i=1

S_i (5)

eingef¨uhrt wurde. Die Gesamtenergie h¨angt also nur vom Gesamtspin ab und nicht von der mikroskopischen Konfiguration der Einzelspins. Im folgenden gehen wir davon aus, dass die beiden erlaubten Werte f¨ur den Spin ±1. Den typischen Faktor ^~₂ sei in die Kopplung J bzw. in das Magnetfeldes B definiert. Wir sind am thermodynamischen Limes mit N → ∞ interessiert.

B bezeichnet das von externe an das System angelegte Feld. Damit w¨are eigentlich der Buchstabe H angebrachter. Da dieser aber bereits f¨ur die Hamiltonfunktion benutzt wird, wird hierBgenutzt. Gemeint ist aber trotzdem die magnetische Feldst¨arke/Erregung und nicht die magnetische Flussdichte/Induktion.

Exkurs: Hubbard-Stratonovich-Transformation In dieser Aufgabe benutzen wir eine Hubbard-Stratonovich-Transformation um die quadratische Spinabh¨angig- keit in der Hamiltonfunktion zugunsten einer weiteren Variable zu entfernen. Dies geschieht mit Hilfe des Integrals

e^ax

2

N =

+∞

Z

−∞

dy √

N a

π e^{−N ay2+2ayx}. (6)

Wir tauschen also ein quadratischesxim Exponenten gegen eine weitere Integration aus.

Die Idee der Hubbard-Stratonovich-Transformation ist, eine quadratische Wechsel- wirkung zwischen zwei Spins/Teilchen/o.¨a. durch die Wechselwirkung mit einem Hilfsfeld (hier: y) auszudr¨ucken.

Wer m¨ochte, kann Gl. (6) mit Hilfe eines Gauß’schen Integrals beweisen (Quadrati- sche Erg¨anzung; Schift der Integrationsvariablen):

+∞

Z

−∞

dy e^−ay2 = rπ

a f¨ur a >0.

(a) Berechnung der Zustandssumme Z:

Z =

P

S1=±1

P

S2=±1

··· P

SN=±1

z }| { X

{S_i=±1}

e^−βH

= X

{Si=±1}

e^+βJNStot2 e^+βµBBStot

Einsetzen der Hubbard-Stratonovich-Transformation mit a = βJ und x = S_tot ergibt:

Z ⁽⁶⁾= X

{Si=±1}

+∞

Z

−∞

dy√

N βJ

π e^{−N βJ y2+2βJ yStot}e^+βµBBStot (7) Damit haben wir erreicht, dass der TermS_tot nur noch linear im Exponenten steht.

Ziehen wir nun die Summe unter das Integral und berechnen nur die von S_tot- abh¨angigen Terme ist die Berechnung analog zur Zustandssumme f¨ur nicht wech- selwirkende Teilchen und f¨uhrt zur ¨ublichen Faktorisierung.

X

{S_i=±1}

e^{+(2βJ y+βµBB)Stot} = X

{S_i=±1}

e^{+(2βJ y+βµBB)PNi=1Si} = X

{S_i=±1}

N

Y

i=1

e^{+(2βJ y+βµBB)Si}

=

N

Y

i=1

X

Si=±1

e^{+(2βJ y+βµBB)Si} =

N

Y

i=1

e^{+(2βJ y+βµBB)}+ e^{−(2βJ y+βµBB)}

=

2 cosh(2βJ y+βµ_BB)N

(8) Dies wird in Gl. (7) eingesetzt:

Z ⁽⁷⁾⁽⁸⁾=

+∞

Z

−∞

dy √

N βJ

π e^{−N βJ y2}

2 cosh(2βJ y+βµ_BB)N

=

+∞

Z

−∞

dye^{−N f(y)} (9)

In der neu definierten Funktion f(y)

f(y) := βJ y²−ln cosh(2βJ y+βµ_BB)−ln 2− 1

2N lnβJ N π

| {z }

→0 f¨urN→ ∞

(10)

kann der letzte Term im thermodynamischen LimesN → ∞vernachl¨assigt werden.

Das Integral in Gl. (9) wird f¨ur N → ∞ nur vom Maximum des Integranden bestimmt. Wir bezeichnen mity₀ das Minimum vonf(y) (und damit das Maximum von e^{−N f(y)}). Dann gilt:

Z = e^{−N f(y0)} f¨ur N → ∞ (11) Bevor wir y₀ berechnen, schauen wir uns zuerst seine physikalische Bedeutung an.

(b) Untersuchung der Magnetisierung abh¨angig von Temperatur und Magnetfeld:

Wir berechnen die Magnetisierung mit Hilfe der freien Energie:

F =−1

β lnZ ⁽¹¹⁾= N

βf(y0) (12)

M =−∂F

∂B

(12)= −1 βN ∂f

∂B y=y0

(13) Wir betrachten nun die ersten beiden Terme von f (vgl. Gl. (10)). Die Ableitung des cosh-Terms nachB ist bis auf die innere Ableitung identisch mit der Ableitung nachy. Anstattf nachB abzuleiten, k¨onnen wir also auchf nachyableiten, wenn wir den zus¨atzlich auftretenden Beitrag 2βJ y vom ersten Term abziehen und das Ergebnis bzgl. der inneren Ableitung im cosh korrigieren:

∂f

∂B = ∂f

∂y −2βJ y

·µ_B 2J

Der Vorteil ist nun, dass y₀ definitionsgem¨aß ein Minimum von f ist und damit die Ableitung ^∂f_∂y

y=y0

verschwindet:

∂f

∂B y=y0

=

"

∂f

∂y y=y0

| {z }

0

−2βJ y0

#

·µ_B

2J =−µBβy0 (14)

Die Magnetisierung M ist damit gegeben durch:

M ^(13)(14)= N µ_By₀ (15)

Damit isty₀ die mittlere Magnetisierung pro Spins, also y₀ =hS_iimit den erlaub- ten Werten: −1 < y₀ < +1. Da y₀ das Minimum von f bezeichnet folgt durch Nullsetzen der Ableitung

f⁰(y)⁽¹⁰⁾= 2βJ y− 1

cosh(2βJ y+βµ_BB)sinh(2βJ y+βµ_BB)2βJ

= 2βJ

y−tanh(2βJ y+βµ_BB) _!

= 0 die folgenden Bedingung f¨ur y0:

y₀ = tanh(2βJ y₀+βµ_BB) (16) Wir betrachten zuerst den Fall ohne ¨außeres Magnetfeld B = 0. Hier gilt

y0 = tanh(2βJ y0) (17)

Wir bestimmen die L¨osungen der transzendente Gleichung grafisch als Schnitt- punkte der linken und rechten Seiten also Funktion von y (siehe Abb. 1). F¨ur 2βJ < 1 ⇔ kBT > 2J ergibt sich die L¨osung y0 = 0. Das System ist also unmagnetisiert. F¨ur 2βJ >1⇔k_BT < 2J ergeben sich zwei weiteren L¨osun- gen mit endlichen Wert f¨ury₀. Der Schnittpunkt bei y= 0 stellt nicht l¨anger ein Minimum von f(y) dar. Das System baut also eine endliche Magnetisie- rung auf. Der ¨Ubergang dazwischen findet bei k_BT = 2J statt. Damit ist dies die kritische Temperatur T_C, unterhalb deren das System eine endliche Magnetisierung auch ohne angelegtes Feld zeigt:

k_BT_C = 2J

F¨ur kleine Werte von y₀ (also nahe der kritischen Temperatur T_C) l¨asst sich Gl. (17) entwickeln (tanh(x) =x− ¹₃x³+O(x⁵)):

y₀ = 2βJ y₀− 1

3(2βJ y₀)³

Zus¨atzlich zur L¨osung y0 = 0 (g¨ultig f¨ur T > TC) ergibt dies eine L¨osung f¨ur T < T_C bei

y₀ =± s 3

(2βJ)³(2βJ−1)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Abbildung 1: F¨ur kleine Werte vonβJ (gepunktete Kurve) ergibt sich nur f¨ury = 0 ein Schnittpunkt mit der Ursprungsgeraden. In diesem Fall ist dies das Minimum vonf(y).

F¨ur gr¨oßere Werte vonβJ schneidet der tanh die Ursprungsgerade dreimal (gestrichelte Kurve). Der Schnittpunkte bei y = 0 ist nun ein Maximum von f(y) und die beiden anderen Schnittpunkte liegen symmetrisch um den Ursprung und bezeichnet nun die Minima von f(y). Der ¨Ubergang zwischen beiden F¨allen findet genau dort statt, wo der tanh bei y = 0 die gleiche Steigung wie die Ursprungsgerade (also 1) hat. Daraus ergibt sich als Bedingung f¨ur die kritische Temperatur 2βJ = 1.

oder sch¨oner mit 2J =k_BT_C:

y₀ =± s

3T²

T_C³ (T_C −T) (18)

In der linken H¨alfte von Abb. 2 ist die Magnetisierung skizziert.

Nun betrachten wir den Fall mit ¨außerem Magnetfeld B 6= 0.

und untersuchen die isotherme magnetische Suszeptibilit¨at χ_T = ∂M

∂B T

(15)= N µ_B ∂y₀

∂B T

. (19)

Um die Ableitung ^∂y_∂B⁰

T zu berechnen, differenzieren wir Gl. (16) auf beiden

0 2 4 6 8 10

0 1 2 3 4 5 6 7

-1 -0.5 0 0.5 1

0 1 2

Abbildung 2: Die Magnetisierung (links) und die magnetische Suszeptibilit¨at (rechts) des Systems als Funktion der Temperatur.

Seiten nach B (bei konstantemT):

∂(“Gl. (16)”)

∂B T

⇒ ∂y₀

∂B T

=





1 + tanh²(2βJ y₀ +βµ_BB)

| {z }

y²₀







βµ_B+ 2βJ ∂y₀

∂B T

∂y₀

∂B T

= (1 +y²₀)βµ_B (1−2βJ(1 +y²₀)) oder sch¨oner mit 2J =k_BT_C:

∂y₀

∂B T

= (1 +y₀²)µ_B

k_B(T −T_C(1 +y₀²)) (20)

χ_T ^(19)(20)= N(1 +y₀²)µ²_B k_B(T −T_C(1 +y²₀))

Besonders einfach wird damit die Nullfeld-Suszeptibilit¨at χ_T|_B=0 f¨urT > T_C, da dort y₀ = 0 gilt. Wir finden das Curie-Weiss-Gesetz

χ_T|_B=0 = N µ²_B

k_B(T −T_C) ∝ 1

T −T_C f¨ur T > T_C

F¨urT →T_C divergiert die Suszeptibilit¨at, da nahe des Phasen¨uberganges ein beliebig kleines Feld ausreicht, um das gesamte System von der Phase ohne Magnetisierung in die Phase mit makroskopischer Magnetisierung ¨ubergeben zu lassen. Die magnetische Suszeptibilit¨at ist f¨urT > T_C in der rechten H¨alfte von Abb. 2 skizziert.

(c) Spezifische W¨arme

Die EnergieU ist durch die Hamiltonfunktion in Gl. (4) gegeben. Durch Einsetzen von Stot =N y0 erh¨alt man

U =H =−N(J y₀²+µ_BBy₀). (21) F¨ur die spezifische W¨arme gilt dann

C_V = ∂U

∂T

(21)= −N

J∂(y₀²)

∂T +µ_BB∂y₀

∂T

. (22)

Wir untersuchen zwei F¨alle mitB = 0 genauer. Hier gilt (wieder mit 2J =k_BT_C):

C_V ⁽²²⁾= −1

2N k_BT_C∂(y₀²)

∂T (23)

T < T_C : Im ersten Fall ist das System direkt unterhalb T_C und es gilt Gl. (18).

Damit ist die Ableitung gegeben als

∂(y₀²)

∂T

(18)= ∂_T3T²

T_C³ (T_C−T) = 6 T

T_C³(T_C−T)− 3T²

T_C³ (24) und C_V ist damit

C_V ^(23)(24)= 3

2N k_BT²

T_C² −3N k_B T

T_C²(T_C −T) oder direkt bei T =T_C

C_V ^T=T=^C 3 2N k_B

T > TC : In diesem Fall ist y0 strikt null und damit verschwindet auch die Ablei- tung und die spezifische W¨arme

C_V ^{T >T}=^C 0

Dies bedeutet, dass das System ¨uberhalb von T_C keine zus¨atzliche Energie mehr aufnehmen kann. Die innere Energie des Systems hat (f¨ur B = 0) beiy₀ = 0 ihr Maximum (vgl. Gl. (21)). Es gibt keine weiteren Freiheitsgrade, die angeregt werden k¨onnten.

Diese L¨osung des unendlich reichweitigen Ising-Modells wurde im Mai 2012 von Michael Walz formuliert. Referenz: Quantum many-particle systems; John W. Negele und Henri Orland;

Addison-Wesley; Kapitel 4.2

Exkurs: Kombinatorische L¨osung Da die Hamiltonfunktion nur vom Gesamt- spin und nicht von der mikroskopischen Konfiguration der Einzelspins abh¨angt,

kann man die Zustandssume auch kombinatorisch ansetzen. Anstatt ¨uber alle Spin- konfigurationen zu summieren

Z = X

{S_i=±1}

exp

−βH(S_tot =X

i

S_i)

k¨onnen wir auch ¨uber den Gesamtspin summieren Z =X

Stot

ρ(S_tot) exp

−βH(S_tot)

wobeiρ(Stot) eine Art Zustandsdichte ist und angibt wieviele verschiedenen M¨oglich- keiten es gibt den Gesamtspin S_tot zu realisieren. Zuerst, stellen wir uns vor, dass alle N Spins nach unten zeigen. Damit ist S_tot = −N. Diese M¨oglichkeit gibt es genau einmal. Als n¨achstes ¨uberlegen wir uns, was passiert, wenn wir k Spins nach oben umklappen. F¨ur jeden umgeklappten Spin ¨andert sich der Gesamtspin um 2.

Damit ist S_tot =−N + 2k. Der Faktor ρ(S_tot) gibt dann an wieviele M¨oglichkeiten es gibt, sich aus N Spins genau k Spins zum Umklappen herauszusuchen. Das ist die Definition des Binomialfaktors ^N_k

. Es ergibt sich

Z =

N

X

k=0

N k

exp

−βH(S_tot =−N + 2k) .