Lineare Algebra II und Geometrie
Ubung, LVA 405.081¨
C. Fuchs, S. Heintze
11. ¨ Ubungsblatt
, WS 2020/21 20.01.2021Im Folgenden betrachten wirRn bzw. Cn jeweils mit dem kanonischen Skalarprodukt.
1. Bestimme mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren ONBs der folgenden Unterr¨aume:
a) U1 =h{t(2,1,0,0),t(0,−1,4,2), t(1,0,2,−2)}i ⊆R4;
b) U2 =h{t(1, i,−i,0,1),t(i,1,0, i,0), t(0,1, i,−i,−1), t(0,0, i,0,3i)}i ⊆C5; c) U3 =h{t(2,3,−1), t(1,−2,2)}i ⊆R3.
2. In C3 ist eine Basis durch
v1 = t(i,1,0), v2 = t(0, i,1), v3 = t(0,0,1)
gegeben. Ermittle mit dem Gram-Schmidtschen Verfahren eine Orthogonalbasis und orthonormiere diese anschliessend. Ermittle ausserdem die Transformationsmatrizen Tγβ und Tβγ, wobeiγ die gerade berechnete Orthonormalbasis ist. (Freiwilliger Zu- satz: Wie sehen diese Matrizen allgemein aus, wenn auf eine Basis v1, . . . , vn das Gram-Schmidtsche Verfahren angewandt wird (f¨ur die zweite Transformationsma- trix gen¨ugt es die Bauart anzugeben)?)
3. Gegeben seien im R3 die drei Vektoren v1 = t(1,0,0), v2 = t(1,1,1), v3 = t(1,1,0).
Orthonormalisiere die Vektoren mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Verfahrens. Gib die Orthogonalprojektion auf den von v1, v3 aufgespannten Unterraum U durch Festlegung einer Koordinatenmatrix an. Wie lautet die Orthogonalprojektion von
t(0,0,1) auf U?
4. Zeige, dass in C3 durch f(z1, z2, z3) = t(iz1/√
2 − iz2/√
6 + z3/√
3,2iz2/√ 6 + z3/√
3, z1/√
2 +z2/√
6 +iz3/√
3) eine isometrische Abbildung gegeben ist. ¨Uber- pr¨ufe anhand der Vektorenv1 = t(1,−1,2), v2 = t(i,0,0), dassv1·v2 =f(v1)·f(v2) und kv1k=kf(v1)k gilt.