Lineare Algebra II und Geometrie

Lineare Algebra II und Geometrie

Ubung, LVA 405.081¨

C. Fuchs, S. Heintze

2. ¨ Ubungsblatt

1. Gegeben seien die Matrizen

A=





cosα −sinα 0 sinα cosα 0

0 0 1



, B =





cosβ 0 −sinβ

0 1 0

sinβ 0 cosβ



.

Beschreibe geometrisch die folgenden linearen Abbildungen:

a) f1 :R³ →R³, x7→Ax, b) f₂ :R³ →R³, x7→Bx,

c) f₃ :R³ →R³, x7→ABx, d) f4 :R³ →R³, x7→BAx.

Gib f¨ur a) und b) zudem das Spektrum an.

2. Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix:

4 11 11 4

.

3. Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix:





−2 −8 −12

1 4 4

0 0 1



.

4. Zeige: Wenn eine Matrix A einen Eigenwert λ hat, so hat A² den Eigenwert λ². Verallgemeinere den Sachverhalt. Gib ein Beispiel daf¨ur an, dass die Umkehrung nicht gilt.