Goethe-Universit¨at, Frankfurt am Main Sommersemester 2008

Goethe-Universit¨ at, Frankfurt am Main

Sommersemester 2008

Prof. Dr. C.P. Schnorr, Antoine Scemama

Diskrete Mathematik, Zusatz–Blatt 11

Aufgabe 1. Zeige zu a1, . . . ,ak ∈Rⁿ

1. Rang(a_i−a_j : 1≤i, j ≤k) = Rang(a₂−a₁,a₃−a₁, . . . ,a_k−a₁).

2. Rang(a₁−a_i,a₂−a_i, . . . ,a_k−a_i) = Rang(a₁−a_j,a₂−a_j, . . . ,a_k−a_j) f¨ur 1≤i, j ≤k.

Aufgabe 2. Zeige die ¨Aquivalenz folgender Aussagen f¨urx₁, . . . ,x_m ∈Rⁿ: 1. x₂−x₁, . . . ,x_m−x₁ ∈Rⁿ sind linear unabh¨angig.

2. (1,x₁), . . . ,(1,x_m)∈Rⁿ⁺¹ sind linear unabh¨angig.

(Nach Aufgabe 1 sind x₁, . . . ,x_m affin unabh¨angig, wenn 1. gilt.)

Aufgabe 3. Betrachte die dualen LP–Aufgaben

(P) max{c^tx|Ax≤b}, (D) min{b^tu |A^tu=c, u≥0}.

Konstruiere je ein Beispiel, so dass 1. (P) unbeschr¨ankt (D) unzul¨assig 2. (D) unbeschr¨ankt (P) unzul¨assig 3. (P) und (D) unzul¨assig.

keine Abgabe, ¨Ubung zum Selbststudium Ubungsbl¨¨ atter im Internet:

www.mi.informatik.uni-frankfurt.de:

Teaching, Diskrete Mathematik.