Ubungsblatt 09 - Diﬀerenzialgleichungen - SS 2013 ¨ (Riegelnegg, Planitzer, Blatnik, Puhr)

(1)

Ubungsblatt 09 - Diﬀerenzialgleichungen - SS 2013 ¨ (Riegelnegg, Planitzer, Blatnik, Puhr)

1. F¨ ur ein inhomogenes System ( x ˙

˙ y

)

= A ( x

y )

+ ( t

0 )

sei Y =

( e

^2t

0 1 e

⁻^t

)

die L¨ osungsmatrix des zugeh¨ origen homogenen Systems.

Bestimmen Sie eine spezielle L¨ osung des inhomogenen Systems mittels Variation der Konstanten.

2. L¨ osen Sie das System ˙ x − x + ˙ y = 2t + 1 , 2 ˙ x + x + 2 ˙ y = t .

3. Gegeben sei das System ⃗ y

^′

= A⃗ y wobei A =



 0 − 1 1

− 3 − 2 3

− 2 − 2 3



 .

Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem mit dem Ansatz ⃗ y = e

^λt

⃗ c und geben Sie die allgemeine L¨ osung an.

4. Gegeben sei das System ⃗ y

^′

= A⃗ y wobei A =

( 3 − 5 2 1

) .

Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem und geben Sie die allgemeine L¨ osung an.

5. F¨ ur das System ⃗ y

^′

= A⃗ y wobei A =

( 0 1

− 1 2 )

ist e

^t

( 1

1 )

eine L¨ osung. Bestimmen Sie eine dazu weitere linear unabh¨ angige L¨ osung durch den Ansatz ⃗ y = e

^t

( a + bt c + dt

)

.