„Fehlerfortpflanzung“ für aus mehreren einzelnen Eingangsgrößen berechnete Ergebnisgrößen:

Kurze Wiederholung der „Kerninhalte“ aus der Vorwoche

Bedeutung der Normalverteilung: zentraler Grenzwertsatz der Statistik, „gute“ Näherung für viele Praxisfälle

(arithmetischer) Mittelwert (Erwartungswert = wahrscheinlichster Wert)

Standardabweichung der Einzelmessung

Standardabweichung des Mittelwertes

Vertrauensbereich (vgl. Konfidenzintervall),

t-Faktor nach Student (W.S. Gosset 1908): statistische „Sicherheit“ für Mittelwert-Schätzung

Im Praktikum meist Näherung ≅ 1 üblich: statistische Sicherheit von 68 % ausreichend, nur kleiner Stichprobenumfang (n maximal 10), Rundung für Unsicherheiten meist auf eine signifikante Ziffer

„Fehlerfortpflanzung“ für aus mehreren einzelnen Eingangsgrößen berechnete Ergebnisgrößen:

= ( , . . ) mit = ±

= ∙

= ∙

= ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ ( , )

Korrelationsterme

Kovarianz

(Null für unkorrelierte Größen)

„Fehlerfortpflanzungsgesetz“ allgemein

Korrelation:

Zufallsvariablen stochastisch abhängig

So „strikt“ eigentlich nur für statistische Betrachtung gültig!

Einfaches „akademisches“ Beispiel:

Bestimmung eines Widerstandswertes aus Strom- und Spannungsmessung (Einzelmesswerte)

Annahmen:sehr gute Digitalmultimeter (hoher Eingangswiderstand von 10 MΩ bei Span- nungsmessung) und „spannungsrichtige“ Messung (Widerstandswert mit max. 50 Ω erwar- tet, gilt also # ≪ 10 MΩ, syst. Abweichungen durch Messung weitgehend vernachlässig- bar). Eine Korrelation für Messwerte wird hier nicht erwartet.

Spannung% = 4,306 V(Anzeige DC-Spannungsmessung)

mit 0,25 % Linearitätsfehler und 2 LSD Digitalisierungsfehler (Handbuch) Stromstärke* = 0,287 A(Anzeige DC-Strommessung)

mit 1 % Linearitätsfehler und 3 LSD Digitalisierungsfehler (Handbuch) Berechneter Widerstandswert# = ^._/ = ^{0,123 4}_{2, 56 7} = 15,00348432 … Ω Unsicherheitsberechnungen:

. = 4,306 V ∙ 0,25% + 0,002 V = 0,010765 V + 0,002 V=0,012765 V ≅ 0,013 V (ca. 0,3 %)

/ = 0,287 A ∙ 1% + 0,003 A = 0,00287 A + 0,003 A=0,00587 A ≅ 0,006 A (ca. 2 %)

; ≤ ^=;_=.∙ . + ^=;_=/ ∙ / = ^>_/^? + _/^.@ ∙ / = 0,35134304. . Ω ≅ 0,4 Ω (ca. 2,3 %)

; = _=.^=;∙ . + ^=;_=/ ∙ / = ^>_/^? + _/^.@∙ / = 0,31007223. . Ω ≅ 0,3 Ω (ca. 2 %) Endergebnis:

# = 15,0 ± 0,3 Ω (als eindeutige Angabe) oder # = 15,0 3 Ω (als Kurzform, manchmal verwirrend) oder auch

# = 15 Ω ± 2%(eher seltener im Gebrauch)

Zufällige Messabweichungen meist als

„Schwankungen“ der Anzeige sichtbar!

Institut für Physik

Physikalisches Grundpraktikum

Grafische Darstellung/Visualisierung von Messergebnissen:

Einige wichtige Regeln und Empfehlungen

zur Gestaltung von Diagrammen im Wissenschaftsbetrieb

DIN 461 „Graphische Darstellung in Koordinatensystemen“

DIN 1301 „Einheiten und Einheitenzeichen“ (Verweis auf EN ISO 80000) DIN 1304 (Teil 1-8) „Formelzeichen“

DIN 1333 „Zahlenangaben“ (Schreibweisen, Rundung) DIN 1338 „Formelschreibweise und Formelsatz“

ISO 80000-2 „Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology “ ISO 31-11 „Mathematical signs and symbols for use in the physical sciences and technology”

ISO 1000 “SI units and recommendations for the use of their multiples and of certain other units”

Grundlegende Standards zur Beachtung

Achtung:

Besondere Hinweise für Autoren von Beiträgen zu Journalen sind immer mit zu beachten, insbesondere die „angelsächsischen“ Standards sind z.T. nochmals verschieden…

Das wissenschaftliche „Regelwerk“ ist offensichtlich sehr komplex/umfangreich und sollte deshalb „Schritt für Schritte“ eingeübt werden!

Ziel und Einsatzzweck von Diagrammen

Wissenschaft:

•Veranschaulichung von Zusammenhängen (meist funktionalen Typs gemäß physikalischen Gesetzen)

•möglichst objektivierende Darstellung von Sachverhalten

•pure Visualisierung beobachteter oder erwarteter Abhängigkeiten, Tatsachen usw.

Sonstige Verwendung (u.a. in der Werbung, Massenmedien usw.):

•zielgerichtete Vermittlung einer ganz bestimmten „Botschaft“ (Aussage)

•oft gar nicht objektiv, sondern auf subjektive (nicht immer sofort sichtbare) Interessen ausgerichtet

•Wirkung sehr häufig hochgradig manipulativ auf Betrachter (z.B. „Werbepsychologie“)

Jegliche Grafiken und Diagramme immer mit kritischer Distanz betrachten und nach der tatsächlichen Aussage und ihrem wirklichen Zweck (Ziel) hinterfragen! Selbst erstellte Diagramme sollten ebenfalls einen genau bestimmten Zweck verfolgen (weniger ist mehr)!

Angst essen Seele auf…

Einige typische „Todsünden“ in Diagrammen

„Unterdrückter“ Nullpunkt mit dem Ziel, dem Betrachter einen noch deutlicheren Vorteil zu suggerieren:

Die rechte Säule entspricht 92% und nicht dem, was suggeriert wird.

Vorsicht; hier wird ganz offensichtlich manipuliert!

KAUFEN, KAUFEN, KAUFEN!!!

„FINANZBERATUNG“

Noch ein Beispiel aus der Finanzbranche

Änderungen (Trends) kann man (je nach Skalierung) doch sehr unterschiedlich „verkaufen“…

Wohnungsbau…

Die Zahl ist hier proportional zur Haushöhe und nicht zu Fläche bzw. Volumen.

Eine Verdoppelung würde einer Vervier- bzw. Verachtfachung entsprechen!

→ (bewusste) Irreführung durch bildliche Darstellung!

In der Wissenschaft ist Manipulation absolut verpönt…

Wir wollen überzeugen und unsere Leser/Betrachter/Zuhörer nicht manipulieren:

Klarheit und Korrektheit der Darstellung sind dafür entscheidend!

Grundfrage: Was möchte ich als Autor/in anderen mit der Grafik zeigen?

Vergleichsmessung mit DMM: C = (95,0 ± 3,3) nF Unsicherheit von 3% + 5 LSD

Gängige Standards im „Formelsatz“ (Auszug)

Art Schriftlage Beispiele

Zahlen (in Ziffern) gerade 4,275 6,13·10^-16 267,2

Zahlen als Buchstaben bei freier Bedeutung kursiv k-ter Teil n-faches Volumen Zahlensymbole mit konventioneller Bedeutung,

mathematische Konstanten gerade i π = 3,14… e = 2,71828. . .

physikalische Konstanten kursiv µ₀ ε₀ h e

physikalische Größen bzw. Variablen kursiv Masse m Druckp Längel Zeichen für Einheiten (auch mit Präfix) gerade 1,5 m 80,5 kg 125 µA Zeichen für Funktionen mit fester Bedeutung,

mathematische Operatoren gerade Δ(x) exp(x) Γ(x) _AB^A Zeichen für Funktionen mit wählbarer Bedeutung kursiv y = f (x) Ψ(x,t) s(t) Indizes als Variablen bzw. physikalische Größen kursiv k_λ c_p c_V

Wortabkürzungen als Index gerade F_min m_e µB R_Last

Chemische Elemente, Teilchen gerade ²³⁸U H₂O e⁻

Beispiele für guten/schlechten Formelsatz

Begriff: Qualitative und quantitative Darstellung

Datentabellen und Diagramme

Wertetabelle:

begrenzte Aussagekraft, wenig anschaulich

Grafische Darstellung:

Diagramm mit hoher Aussagekraft, anschaulich

Zeit t (s) Weg s (m) 0.1430 0.20 0.1746 0.25 0.2021 0.30 0.2275 0.35 0.2473 0.40 0.2671 0.45 0.2858 0.50 0.3027 0.55 0.3195 0.60 0.3347 0.65 0.3501 0.70 0.3638 0.75 0.3780 0.80 0.3911 0.85 0.4042 0.90

0 0.5 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Zeit t (s)

Weg s (m)

aus physikalischer Sicht interessant:

Weg-Zeit-Gesetz s = s(t) Extrapolation s₀= s(0)

→ Charakteristische Abhängigkeiten zwischen Größen sollten in repräsentativen Diagrammen grafisch dargestellt bzw. veranschaulicht werden!

Physiologische bzw. neurobiologische Ursachen?

menschliches Auge + neuronales Netzwerk des Gehirns:

→ hochgradige und schnelle Parallelverarbeitung sehr großer Datenmengen

→ Möglichkeit zur extrem selektiven Wahrnehmung zur „Datenreduktion“

→ schnelle ExtrakPon wesentlicher Informationen aus Bildern

(Zeitungsbild von 5x10 cm Fläche mit Informationsmenge von ca. 10

Bit wird in weit unter 1 s von uns „verarbeitet“!)

Nachteil von Tabellen: sequentielle Arbeitsgeschwindigkeit („Takt“) des Gehirns stark begrenzt

→ Notwendigkeit sequentieller (serieller) Verarbeitung für Einzelzahlen

→ Gehirn muss Werte seriell nacheinander und vergleichend verarbeiten (langsam!)

→ Grenzen der Kapazität des (Kurzzeit-)Gedächtnisses beim Verarbeiten sehr schnell erreicht

Unterscheidbarkeit geometrischer Formen

Nur Gerade und (bedingt) Kreis sind als geometrische Elemente visuell relativ eindeutig identifizierbar!

→ Wichtige Funktionsverläufe sollten möglichst in lineare Darstellungsformen überführt werden!

Grundregeln für Diagramme

Gestaltung des Achsenkreuzes im Koordinatensystem Regel zur Wahl der Achsen:

• unabhängige Variable (Eingangsgröße) → waagerechte Achse (Abszisse)

• abhängige Variable (Ausgangsgröße) → senkrechte Achse (Ordinate)

• ansteigende Werte nach „rechts“ bzw. nach „oben“ (einfachere Orientierung)

• Maßstab für 30-60° (aber bevorzugt ca. 45°) Neigung bei den „charakteristischen“ Funktionsverläufen Regel zur Achseneinteilung:

• Wahl der Skalierung zur max. Nutzung des Platzes und mit Ziel größter Anschaulichkeit, möglichst einfache visuelle Werte-Zuweisung zu Messdaten (Intervalle, Einzelwerte); sehr oft auch nichtlineare Skalen (log. u.a.) viel sinnvoller als lineare (Im Kontext zur beschriebenen funktionalen Abhängigkeit!)

• Unterteilung möglichst zweckmäßig zur einfachen und schnellen visuellen Erfassung der Intervalle und Werte dargestellter Größen (angemessene Teil-Intervalle in 1er, 2er, 5er Schrittweiten – niemals 3er-Teilung verwenden!)

• für gute Übersichtlichkeit geringe Zahl von Marken und Zahlenbeschriftungen (min. 3 und max. 10) Regel zur „Nullpunktsunterdrückung“ auf einer oder beiden Achsen

• immer dann sinnvoll, wenn vorhandene Daten möglichst großen Diagrammbereich füllen sollen und

„achsennah“ bzw. am Nullpunkt gar keine Werte vorliegen und evtl. auch nicht interessieren

• in relativ wenigen Einzelfällen u.U. nicht zweckmäßig (z.B. bei „grafischer Extrapolation“), stets Zweckmäßigkeit bzw. Verwendungszweck als Entscheidungskriterium anwenden

Grundregeln für Diagramme

Gestaltung der Datenpunkte, „Fehlerbalken“ und Funktionsverläufe Regeln für Eintragung der Datenpunkte:

• Datenpunktmenge möglichst „formatfüllend“ in der Grafik verwenden; für typ. Geradenverläufe ca.

10 Messpunkte ausreichend, bei anderen („kurvigen“) Verläufen i.a. entsprechend mehr erforderlich

• stets gut identifizierbare Symbole wählen, die nicht zu groß sein dürfen (Identifikation der Mess- werte?) und nicht evtl. Fehlerbalken „überdecken“ sollten

• Zahl der Messreihen in einer Grafik stets „angemessen“ begrenzen („Überflutung“ vermeiden!)

• starke „Zurückhaltung“ mit Farben üben; meist schwarz-weiß doch eher bevorzugt

• soweit möglich, immer auch die „Fehlerbalken“ bzw. „Fehlerkreuze“ mit eintragen (wenn nicht mög- lich, dann ggf. Erläuterung im Text nötig)

Regeln zur Darstellung von Kurven und Funktionsverläufen:

• Darstellung erhöht Übersichtlichkeit bzw. Anschaulichkeit und erlaubt i.a. den visuellen Vergleich der

„Messpunktwolke“ mit einem meist erwarteten Funktionsverlauf

• Verläufe sind (physikalisch begründet!) i.d.R. immer „glatt“ und „stetig“; „Sprünge“ (u.a. Unstetig- keiten) sind „unphysikalisch“: Damit „Zick-Zack“- bzw. „Fieber“-Kurven (stückweises Verbinden von Datenpunkten) also Unsinn!

• Verläufe von Kurven sind „ausgleichend“ zur Datenpunktwolke mit ihren Fehlerbalken bzw. –kreuzen (bezüglich Lage)

• in Ausnahmefällen Kurven/Linien auch als „Darstellungshilfe“ für char. Trends („guide to the eye“)

Darstellung von Messabweichungen in Diagrammen

Kommentar:

Die „Fehlerbalken“ sind dann einzuzeichnen, wenn es möglich und sinnvoll ist! Im Praktikum ist es wegen der i.a. übersichtlichen Anzahl von Messwerten sicherlich meistens vernünftig. Wenn sie zu klein werden, natürlich nicht.. 

Grundregeln für Diagramme

Gestaltung der Datenpunkte, „Fehlerbalken“ und Funktionsverläufe (Fortsetzung) Regeln für evtl. zusätzliche Eintragung der Regressionsergebnisse:

• Funktionsgleichung mit allen nötigen Größen (Parametern) in der Grafik explizit mit angeben und den Verlauf im betrachteten Intervall mit einzeichnen

• Regressionsergebnisse (Parameter) sind physikalische Variablen und haben dementsprechend auch Einheiten und natürlich auch Unsicherheiten (sind also beide jeweils anzugeben)

• charakteristische Größen wie R²(„Bestimmtheitsmaß“) und χ²/dof (s. nächste VL) Regeln zur Darstellung von Kurven und Funktionsverläufen:

• Darstellung erhöht Übersichtlichkeit bzw. Anschaulichkeit und erlaubt i.a. den visuellen Vergleich der

„Messpunktwolke“ mit einem meist erwarteten Funktionsverlauf

• Verläufe sind (physikalisch begründet!) i.d.R. immer „glatt“ und „stetig“; „Sprünge“ (u.a. Unstetig- keiten) sind „unphysikalisch“: Damit „Zick-Zack“- bzw. „Fieber“-Kurven (stückweises Verbinden von Datenpunkten) also Unsinn!

• Verläufe von Kurven sind „ausgleichend“ zur Datenpunktwolke mit ihren Fehlerbalken bzw. –kreuzen (bezüglich Lage)

• in Ausnahmefällen Kurven/Linien auch als „Darstellungshilfe“ für char. Trends („guide to the eye“)

Grundregeln für Diagramme

Gestaltung von Beschriftungen Regeln für Achsenbeschriftungen:

• für jede Achse achsennahe Zahlenwerte auf sinnvolles Minimum (ca. 3-10) beschränken und so

„Überfüllung“ möglichst vermeiden

• Grundstruktur der Beschriftung für jede Achse: Bezeichnung, Symbol und Einheit der Größe wie z.B.

„Stromstärke I in mA“ oder „Stromstärke * mA⁄ “ „Stromstärke I (mA)“ (nach DIN möglich - aber oft nicht zweckmäßig, weil doch Verwechslungsgefahr mit funktionalem Ausdruck)

• Kommentar: Bezeichnung der Größe wie hier „Stromstärke“ an der Achse ist formal nicht „Vorschrift“, erhöht aber offensichtlich Eindeutigkeit und Informationsgehalt!

• Angelsächsisch bzw. international oft üblich wie „current I [mA]“ (Einheiten in rechteckigen Klam- mern); entsprechende Autorenhinweise bzw. Muster-Artikel in Journalen heranziehen

Regeln zur Text-, Symbol und Zahlenschreibweise etc. in Beschriftungen (Achsen, Legenden, Titel)

• puren Text immer „gerade“ im Schriftstil

• reine Zahlenwerte und Einheiten (auch Präfixe) immer „gerade“

• Variablen und physikalische Größen bzw. Formelzeichen immer „kursiv“

• Indizes und Exponenten in nicht zu kleiner Schriftgröße (Lesbarkeit!) Regeln für Diagrammtitel

• immer als (komentierende/begleitende) Unterschrift als „Abb. Nr. Beschreibungstext“ mit möglichst aussagekräftigem Text (muss u.U. auch „für sich allein“ stehen können ohne den sonstigen Text)

Linearisierung von Exponentialgesetzen

→ außer der (besseren) Veranschaulichung auch noch FunkPonsparameter abschätzbar:

Achsenabschnitt liefert sofort N

Anstieg liefert µ

Schwächung radioaktiver Strahlung

Linearisierung von Potenzgesetzen

→ außer der Veranschaulichung FunkPonsparameter abschätzbar:

Achsenabschnitt mit t = 1 s liefert Wert für g

Anstieg liefert Potenz 2

Ausgewählte spezielle Diagramme in Physik und Technik

Polardiagramm (Richtcharakteristik) z.B. für ein Mikrofon

Bodediagramme

(Amplituden- und Phasenfrequenzgang) z.B. für einen Verstärker

Grenzfrequenz

Richtwirkung

(Geräusche im „Rücken“ unterdrückt)

sehr großer informativer Gehalt technischer/physikalischer Diagramme

(Sofern ich sie richtig „lesen“ gelernt habe!)

Normgerechte Darstellung (Beispiel)

1.61 1.62 1.63 1.64 1.65

400 500 600 700

Wellenlänge l (nm)

Brechungsindex n

Referenzdaten des Herstellers eigene Messdaten

Sellmeier-Modellfunktion (ein Term)

Abb. 2 Brechungsindex von Flintglas F2 in Abhängigkeit von der Wellenlänge de Lichts

Wichtige Anmerkungen:

 normkonformeAchsenbezeichnungen mit Größe + Symbol + Einheit

 Einheit gemäß DIN in(Einheit), international aber auch[unit]gebräuchlich;in Einheitoder auch/Einheitzwar formal korrekt, aber nicht zweckmäßig und u.U. doch sehr verwirrend

 zweckmäßigeWahl der Skalierung(Ausnutzung des Platzes)

 Reduzierung der Zahlenangaben auf unbedingt notwendige Werte(Voreinstellungen der Software meist ungünstig), Sekundärachsen nur bei Notwendigkeit verwenden

 Rahmen um Grafikfelderhöht Übersichtlichkeit erheblich und ist so z.T. sogar Vorschrift

 aussagekräftigeBildunterschriftmit Nummerierung (Textbezug!)