Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg 25. Oktober 2021 Institut für Analysis und Numerik
Prof. Dr. G. Warnecke, Dr. F. Thein
Analysis 1
AS, BB, LA, MathIng und Physik Wintersemester 2021/2022
3. Übung
Aufgabe 1 (6 Punkte).
(a) Zeigen Sie, dass die Menge M :={1n−m1 |n, m∈N} beschränkt ist und bestimmen Sie Supremum und Infimum.
(b) Zeigen Sie, dass die MengeM := {1+xx |x >−1} nach oben, aber nicht nach unten beschränkt ist und bestimmen SiesupM. BesitztM auch ein Maximum?
Aufgabe 2 (6 Punkte). Zeigen Sie, dass für allex≥0, y≥0 und allen∈Ngilt:
(a) x < y⇒xn< yn; (b) x < y⇒ √n
x < √n y;
(c) √n
x+y≤ √n x+√n
y.
Hinweis:Verwenden Sie in (c) den Binomischen Lehrsatz.
Aufgabe 3 (4 Punkte). Seien M und N nichtleere Teilmengen von R. Zeigen Sie: Ist M ⊂ N und ist N nach oben beschränkt, so ist auch M nach oben beschränkt und es giltsupM ≤supN.
Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass die Menge M := {1+x1 2|x ∈ R} beschränkt ist und be- stimmen Sie Supremum und Infimum. Prüfen Sie auch, ob M ein Maximum oder ein Minimum besitzt.
Aufgabe 5. Es seien a >0und r, s∈Q. Zeigen Sie:
ar+s=aras; (ar)s =ars.
Aufgabe 6. SeiM eine nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge vonR. Zeigen Sie, dass−M :={−x|x∈M} nach oben beschränkt ist und dasssup(−M) =−infM. Die gekennzeichneten Aufgaben sind bis zum05.11.202113:00 Uhr, unter elearning.ovgu.de, abzugeben. Die anderen Aufgaben werden in den Übungen besprochen.
Die Lösungswege sind nachvollziehbar und lesbar darzustellen. Inbesondere müssen ver- wendete Aussagen der Vorlesung entsprechend gekennzeichnet werden.
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