Kongruenz begriff

(1)

4.

Vorlesung

10.11.16 Steffen Reith

(2)

Kp

^Es

^gilt

^-2=19 ^noch ²¹ ^, ¹⁰⁼¹ ^mod ³ ^oder

1

5=-0 mod 5

Bend

^Der

_Kongruenz _begriff

^ist ^eine

Äquivalent

^relation ^.

( _¥ ^" ^kann ^man ^so ^ähnlich ^wie "

=

"

verwenden

)

Leung

^Sei ^mit ^einen ^.at^. ^Zahl ^und a. BEZ

:

, dann sind 5

die

folgenden

_Aussagen

äquivalent

^: ^us

→

"

Zirhelschluß

^" ⁱⁱⁱ^, ^, âââ- ^.^:bûnd

^bty.in €4

^modm^b ^lassen

Ii

^,

^wobei

^bei ^der

^geh ^Division

^durch ^m

^§

⁼³^os

(3)

3mi

^mla ^- ^b ^l ^" Symmetrie

V )

²

i.

^⇒ ⁱⁱ_, ^Da ^a ^± ^bmodm

gilt

^ml ^b-

a.

Die

Aussage

folgt

^direkt ^aus ^der

Definition

der Teilbar ^heit ^.

ii.

^⇒ ⁱⁱⁱ _,

^Da

^ae ²

gibt

^es ^g. ^red ^mit

a ⁼

qmtr

^, ^wobei ⁰ ^Er ^am

Wenn ^a ⁼

btym

^, ^dann

qm.ir

⁼

btym

^,

Damit Cq ^g)

^mer ⁼ ^b ^, ^d. ^h ^. ^b ^und ^a

lassen

^bei ^d ^Division ^den gleichen Rest ^,

iii.

^⇒ ⁱ_, ^Wenn ^a ^und ^b ^bei ^der

gauzahligeu

^Division

den gleichen Rest

lassen

_, ^dann

gilt

^:

(4)

a ⁼

qmtr

^und ²

b ⁼

aimtr

^, ^{d. h}^.

⇒

b-

^a ⁼

qlm

^- _qm ⁼

lq

^' ^-

^ql.cn

⇒

ml

^b- ^a

, d. h ^. ^a :b _modm #

Defi

^Sei ^m ⁾ ¹ ^und

^a.be

^7L , dann

heißt

^die ^l

unendliche

Menge

[

a)

an

=

degteb

ÊR Î â ^± ^bmodm

}

⁼ ^atm ^7L

Restlichen

^von ^a

(

^±

Äguivaleuzhlasse )

^.

(5)

Bspn

^Sei ^m=5 ^, ^dann ³

• [

07,5=20

^, ^±

^5.

^Ilo ^, ^Its ^, ^_ ⁱⁿ

^}

⁼ ^Ot ^57L

• [ ^] ^, ⁼ ²¹ ^, ^-4 ^, ⁶ ^, ^-9

!

^, ^. ^. ^. ^. ^.

^}

⁼ ¹⁺⁵²

a. ^,

Hear

"

: 5 solche

÷ _47=-5--24

, -1 _, 9

, -6

, ^. ^. ^. } ⁼ Klassen

!

Was braucht man um die

Glg

^ax ⁼ ^b ^zu ^lösen ^?

. es

unfitting

.int?jIEeI

"

}

^⇒ systematisches

• ä t.az ¹

nun

keine Veränderung^" ^I ¹ Studium ^solcher

• Assoziativitäts _gesetz

Objekte

(6)

Dnef

^" _Gruppe^" ^: ^Sie ^G

¥01

, dann

heißt

^das

Paar

⁴

( _G.

^o

)

_Gruppen _, ^wenn die

folgenden

Eigenschaften ^erfüllt

^sind

:(

^von^- ^G)

i, ^" ^o

"

ist eine innere

Verknüpfung

^, ^d. ^h ^o ^: ^Gx ^G ^→ ^G

ii, ^,^, ^o

"

ist

assoziation

_, ^{d. h} ^. _tfa.b.ee ^G

gilt ⁽

^ao

^b)

^oc ⁼

ao lboc

)

iii.

^Es

gibt

êin ÊEG ^mit âoe ⁼ â ⁼ êoa

fa

^ae ^G

Das

Element

e

heißt

^auch ^neutrales ^Element

(

^von

G)

^.

iy

^Für ^alle ^AEG

gibt

^es ^ein ^{ä EG}

^mit

^aoa ^' ⁼ ^e ⁼ ^äoa ^.

Dann

heißt ^ä

^das ^inverse

^Element

^von ^a.

(7)

Ist _" ^o ^" ^zusätzlich

kommutativ

, d. _h. tta _, BEG

gilt

⁵

a. b- ^b. ^a _, ^dann

heißt

^G ^abelsch ^oder

^Kommutativ

^.

Auch

_Niels _Abel

Ist G endlich

, so

heißt

^LG ^, ^o ⁾ ^endliche

Gruppe

^und

statt l G. ^o ) schreiben wir G

, wenn uo ^" klar ist .

Bend Oft

^schreibt ^man

^"

^t

^"

^oder ^" ^. ^"

^anstatt

^" ^o ^" ^.

Dies nennt man additive Schreibweise bzw ^, ^multi ^-

plikative

Schreibweise . Das neutrale Element

wird dann

Wald

^bzw ^. ^Eine ^der

Gruppe genannt

^.

(8)

6

Bqf

^: ⁱ^, ^LZ ^, ^t

⁾

^, ⁽ ^Qlit

⁾

^,

^LR.tl

^,

^Cat

⁾ ^sind ^Gruppen

ii, (^7L _, ^.

)

^ist ^keine

_Gruppe

iii.

⁽ ^m ^7L^, ^t

)

^mit ^me ÎN îst êine âbelsche Gruppe

Kongruenz begriff

Vorlesung

Kp

gilt

Bend

Kongruenz begriff

Äquivalent

)

Leung

:

folgenden

äquivalent

Zirhelschluß

bty.in €4

Ii

wobei

geh Division

§

3mi

V )

i.

gilt

a.

Aussage

folgt

Definition

ii.

Da

gibt

qmtr

btym

qm.ir

btym

Damit Cq g)

lassen

iii.

gauzahligeu

lassen

gilt

qmtr

aimtr

b-

qlm

lq

ql.cn

ml

Defi

a.be

heißt

unendliche

Menge

a)

degteb

}

Restlichen

(

Äguivaleuzhlasse )

Bspn

07,5=20

5.

}

!

}

Hear

÷ 47=-5--24

!

Glg

unfitting

.int?jIEeI

}

nun

Objekte

Dnef

¥01

heißt

Paar

( G.

)

folgenden

Eigenschaften erfüllt

^gilt

_Kongruenz _begriff

^bty.in €4

^wobei

^geh ^Division

^§

^Da

Damit Cq ^g)

^ql.cn

^a.be

^5.

^}

^}

÷ _47=-5--24

( _G.

Eigenschaften ^erfüllt

gilt ⁽

^b)

^mit

heißt ^ä

^Element

^Kommutativ

^"

^"

^anstatt

⁾

⁾

^LR.tl

^Cat

_Gruppe