ElastizitätslehreInnere Arbeit

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Baustatik II Elastizitätslehre

Bauingenieur-Bachelor Innere Arbeit

3. Semester Seite 1/4

Elastizitätslehre Innere Arbeit

0.

Inhalt

0. Inhalt 1

1. Allgemeines 1

2. Begriffe 2

3. Grundlagen 2

4. Biegebalken Fehler! Textmarke nicht definiert. 4.1 Allgemeines Fehler! Textmarke nicht definiert. 4.2 Werkstoff und Randfaserdehnung Fehler! Textmarke nicht definiert. 4.3 Geometrische Beziehungen Fehler! Textmarke nicht definiert. 4.4 DGL des Biegebalkens Fehler! Textmarke nicht definiert. 4.5 Linearisierung der DGL Fehler! Textmarke nicht definiert. 4.6 Einfeldträger Fehler! Textmarke nicht definiert. 4.7 Symmetrischer Zweifeldträger Fehler! Textmarke nicht definiert. 4.8 Einfeldträger mit Endmoment Fehler! Textmarke nicht definiert. 4.9 Einfeldträger mit Einzellast Fehler! Textmarke nicht definiert. 5. Zusammenfassung – die Technische Biegelehre 2

6. Beispiele 2

7. Literatur 3

1.

Allgemeines Kurzbeschreibung

Innere Arbeit an elastischen Körpern Einordnung

Baustatik – Grundlagen – Elastizitätslehre – Innere Arbeit Lernziele

Innere Arbeit von Stäben unter mechanischer Belastung ermitteln können

HS Augsburg – Studiengang Bauingenieur Bearbeiter: Prof. Dr. P. Knödel

Baumgartner Str. 16, D-86161 Augsburg Bearbeitungsstand: 13.11.2009

Tel. +49(0) 821 – 5586 – 3171, Fax – 3913 Druck 13.11.09 18:14

peter.knoedel@hs-augsburg.de /tmp/jodconverter_e4c7df3a-b9f3-42e3-9317-3fabd09121b3/tempfile_4542.doc

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Einschränkungen, Abgrenzung

Es werden nur elastische Zustände betrachtet;

Stabilitätsphänomene sind ausgeschlossen;

2.

Begriffe

EA, E*A Dehnsteifigkeit eines Stabquerschnittes EI, E*I Biegesteifigkeit eines Balkenquerschnittes

Schreibweise

Indizes werden vereinfachend durch Komma abgetrennt, z.B.

γ,M2 = γM2 lies: gamma Index M2

3.

Grundlagen

Physik Hookesches Gesetz

Baustatik I Gleichgewichtszustand eines Körpers Festigkeitslehre

Spannungsverteilung in einem biegebeanspruchten Querschnitt Baustatik II Biegelinie eines Balkens unter Momentenbeanspruchung

4.

Innere Arbeit 4.1

Allgemeines

Beim Dehnen einer Wegfeder wird in dieser „innere Arbeit“ gespeichert, man spricht auch von elastischem Potential.

Vom unbelasteten Zustand der Feder bis zum belasteten ändert sich die aufgebrachte Längskraft von Null auf F,max. Aufgrund des Hookeschen Gesetzes besteht ein linearer Zusammenhang zwischen Kraft F(x) und Federweg x.

Es gilt F(x) = c * x

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Die innere Arbeit, die in der Feder gespeichert ist, beträgt Π = ∫[F(x)] dx = ∫[c * x] dx = 1/2 * c * x²

Wird die Feder von Null bis zum Weg s gezogen beträgt die innere Arbeit Π = 1/2 * c * s² – 1/2 * c * 0² = 1/2 * c * s²

oder, unter Bezug auf die Längskraft F(s) = F,max Π = 1/2 * F,max * s

Dieser Term lässt sich deuten als Fläche unter der Arbeitslinie der Kraft F(x) über dem Weg s.

4.2

Stab unter Normalkraft

Ein Stab unter Normalkraft wird als Dehnfeder betrachtet, die innere Arbeit lautet daher analog (Dehnsteifigkeit des Stabes siehe Skript „Elastische Körper“)

Π = 1/2 * F,max * ΔL = 1/2 * F,max * ε * L = 1/2 * F,max * σ/E * L Π = 1/2 * F,max * (F,max/A) / E * L = 1/2 * F,max² * L / (EA)

mit der Dehnsteifigkeit des Stabes EA/L Auf anderem Weg erhält man

Π = 1/2 * ∫[σ * ε] dV = 1/2 * ∫[σ * ε * A] dL

Da σ und ε entlang der Stablänge nicht variabel sind, erhält man hieraus integriert von Null bis L:

Π = 1/2 * σ * ε * A * L = 1/2 * σ * σ/E * L = 1/2 * F,max² * A * L / (A² *E) Π = 1/2 * F,max² * L / (EA)

4.3

Balken unter Biegemoment

Wie oben für den Stab unter Normalkraft gezeigt, erhält man als Volumenintegral über Spannung mal Dehnung:

Π = 1/2 * ∫[σ * ε] dV = Π = 1/2 * ∫[σ * σ/E] dV Mit

σ = M * z / I erhält man

Π = 1/2 * ∫[M² * z² / (E * I² ] dz dL

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5.

Beispiele – leer –

6.

Literatur

[1] Dallmann, R.: Baustatik 2. Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke. Hanser, Leipzig 2006.

[2] Hirschfeld, K.: Baustatik. Theorie und Beispiele. Vierte, unveränderte Auflage, Erster und Zweiter Teil. Springer, Berlin 1998.

[3] Knödel, P.: Lehrunterlagen Stahlbau an der Fachhochschule Augsburg, herunterladbar über http://www.peterknoedel.de/lehre/lehre.htm, laufend aktualisiert.

[4] Papula, L.: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 8. Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2003.

[5] Petersen, Chr.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, 2. Auflage. Vieweg, Braunschweig 1982.

[6] Winkler, J., Aurich, H.: Taschenbuch der Technischen Mechanik. 7. Auflage, Carl Hanser Verlag, München 2000.

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