Ubungen zur Theoretischen Physik E (QM II) ¨
Prof. Dr. U. Nierste, Dr. M. Spinrath, Institut f¨ur Theoretische Teilchenphysik
WS 2013/2014
Blatt 1
Abgabe: 25.10.13 (12:00 Uhr)Aufgabe 1:(5 Punkte)
Zeigen Sie die Ganzzahligkeit der Quantenzahl l des Bahndrehimpulses, indem Sie die Ganzzahligkeit der Eigenwerte vonLzzeigen. Dr¨ucken Sie dazu den OperatorLzmithilfe der Transformation
~x =
r ¯h
2mω ~a+~a†
~
p = −i
rhmω¯
2 ~a−~a†
durch Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren aus. Bringen Sie Lz durch eine lineare Transformation der Operatoren ax und ay zu neuen Vernichtungsoperatoren b1 und b2 in die Gestalt
Lz = ¯h
b†2b2−b†1b1 .
Begr¨unden Sie, warum aus dieser Form die Ganzzahligkeit der Quantenzahlen m und l folgt.
Aufgabe 2:(5 Punkte) Zeigen sie, daß
P~ =
N
X
n=1
~
pn und ~L=
N
X
n=1
~ xn×~pn mit
H=
N
X
n=1
~ pn2 2mn + 1
2 X
n,n0
V(|~xn−~xn0|) kommutieren,
(a) durch Auswertung der Kommutatoren,
(b) indem Sie verwenden, daßL~ und P~ Erzeugende von Drehungen und Translationen sind.
Hinweis: Die ¨Ubungsbl¨atter erhalten Sie auch im Internet unter http://www.ttp.kit.edu/∼spinrath/theoe.htm
