Fe h le r a n a ly s e

6.2009| Optimierung in dynamischer Umgebung| 111

C o m p u te rs ch a ch G ru n d la g en I I

.06.2009| Name | Vortragstitel| 112

U n te rs u c h u n g d e s P h ä n o m e n s

S p ie lb ä u m e u n d Fe h le r fi lt e r

6.2009| Name | Vortragstitel| 113

Gegeben: Spielbaum G,jeder Knoten hat einen´echten´ Wert0|1; diese Werte gehorchen dem Minimax-Prinzip. So genannte ´heuristische´ Wertewerden den Blättern von G zugewiesen, und diese heuristischen Werte werden genutzt, um heuristische Minimax-Werte für innere Knoten zu bestimmen.

Fe h le r a n a ly s e

01 0 1 1 010 0

1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1

1 0 1

0

11

1

.06.2009| Name | Vortragstitel| 114

Verschiedene Fragestellungen sind möglich: •Wie viele Fehler darf ich im günstigsten Fall machen? wenn Spielbaum G b/t-uniform ist: bt –b⌊t/2⌋ •Sei n die Anzahl der Blätter von G. Wie wirkt es sich aus, wennman (ungefähr) k Fehler bei Blattbewertungen macht? •Wie viele Fehler darf man an den Blättern im schlimmsten Fall machen?

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6.2009| Name | Vortragstitel| 115

M o d e ll I

1 1 0 1 0 .. . .. .

G 1 0 0

0 .. . b -m a l

G 2

v 1,...v bseien die Nachfolger von v, g 1(p),...,g b(p) seien die Wahrscheinlichkeiten, dass die heuristischen Werte h1,...,hbder Knoten v1,..,vbgleich den echten Werten w1,..,wbsind. Dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der heuristische Minimaxxwert von v gleich dem echten Wert von v ist wie folgt:

v v ∏ ∏

b mii

m iivpgpgpQ 11))())(1((1)(

∏

b iivpgpQ 1)()(

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.06.2009| Name | Vortragstitel| 116

M o d e ll I

1

1

Q root(p) •Intuitive Erklärung für besseres Spiel bei tieferer Suche: Super-Bäume haben kleinere Fehlerwahrscheinlichkeiten an ihren Wurzeln, zumindest wenn die Fehlerwahrscheinlichkeit am Blatt klein genug ist. •Robustheit kann dann definiert werden mit Hilfe Q root(k) (1), k=1,...

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6.2009| Name | Vortragstitel| 117

M o d e ll I , Z u s a m m e n h a n g m it A v e r a g e - C a s e A n a ly s e

C 1-> c 1 C 2-> c 2

C isind Cluster, die Strings mit genau c ikorrekten Bewertungen enthalten.

Q

(p ) = ∑

P ro b (h e u r. W u rz e lw e rt i s t k o rr e k t | e s g ib t g e n a u i ri c h ti g k la s s if iz ie rt e B lä tt e r) * P ro b (g e n a u i h e u r. B la tt w e rt e s in d k o rr e k t) = ∑

−

−

 



 



ini ii

p p i

n C c

) 1( | |

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.06.2009| Name | Vortragstitel| 118

1 1 1

1 1

1 1

1 1 1

0 0 1 1 0 0 0 0

1 0 0

0

M o d e ll I I

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6.2009| Name | Vortragstitel| 119

1 1 1

1 1

1 1

1 1 1

0 0 1 1 0 0 0 0

1 0 0

0

M o d e ll I I

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.06.2009| Name | Vortragstitel| 120

E r g e b n is s e L e m m a : Q

‘( 1 ) = 0 o d e r Q

‘( 1 ) ≥ 1 , w o b e i Q ‘ e rs te A b le it u n g v o n Q L e m m a : F a lls Q

‘( 1 ) ≥ 1 , b e s c h re ib t Q

‘( 1 ) d ie A n z a h l d e r B lä tt e r, d ie d e n W u rz e lw e rt d u rc h e in e n S in g le -F lip ä n d e rn k ö n n e n . T h e o re m : Q

‘( 1 ) = 0 g ilt g .d .w . G m in d e s te n s 2 b la tt -d is ju n k te S tr a te g ie n e n th ä lt , d ie d e n W u rz e lw e rt b e le g e n .

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6.2009| Name | Vortragstitel| 121

E r g e b n is s e

0,86

0,88

0,90

0,92

0,94

0,96

0,98

1,00 0,00,20,40,60,81,0

0,86

0,88

0,90

0,92

0,94

0,96

0,98

1,00

1 111 1

11

1 1 100110001

101

0

1 111 1

11

1 1 100110001

101

0

1 111 1

11

1 1 000110001

101

0

1 111 1

11

1 1 000110001

101

0

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.06.2009| Name | Vortragstitel| 122

E r g e b n is s e

E s g ib t n + 1 b la tt d is ju n k te S tr a te g ie n i n G , d ie a ll e d e n W u rz e lw e rt v o n G b e le g e n . (M o d e ll I I) < = > Q

(1 ) = Q

(1 ) = .. . = Q

(1 ) = 0 (M o d e ll I )

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6.2009| Name | Vortragstitel| 123

a d L e m m a : Q

‘( 1 ) = 0 o d e r Q

‘( 1 ) ≥ 1 , w o b e i Q ‘ e rs te A b le it u n g v o n Q a d T h e o re m : Q

‘( 1 ) = 0 g ilt g .d .w . G m in d e s te n s 2 b la tt -d is ju n k te S tr a te g ie n e n th ä lt , d ie d e n W u rz e lw e rt b e le g e n . B e tr a c h te d ie f o lg e n d e n 3 T ie fe -1 B ä u m e : 1 1 0 1 0 .. . .. .

G 3 0 0

0 .. .

G 1 v v 1 1 0 0 0 .. .

G 2 v

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.06.2009| Name | Vortragstitel| 124

) ( ) ( )) ( 1( )) ( 1( 1 ) (

) ( ) ( )) ( 1( 1 ) (

) ( ) ( ) (

212

11

x g x g x g x g x Q

x g x g x g x Q

x g x g x Q

bG

bG

L L

⋅ − − − = ⋅⋅⋅ ⋅ − − = ⋅⋅⋅ = ∑ ∑

∑

∑

=+

=

= ⋅−−−

⋅−−−−=

⋅−+⋅−−=

= b cibicc

c ibcciG

b

b iibG

b ibiG xgxgxgxgxg

xgxgxgxgxgxQ

xgxgxgxgxgxgxgxQ

xgxgxgxQ 111

1113

221212

111 )()(')())(1())(1(

)()())(1())'(1())(1()('

)()(')())(1()()())'(1()('

)()(')()(' LLL

LLL

LLL

LL

0 )1 ( ' )1 ( ' )1 ( ' )1 ( ' )1 ( ' )1 ( '

12

11

= = +⋅ ⋅⋅ + =

bG

Q

g Q

g g Q

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6.2009| Name | Vortragstitel| 125

ad Theorem: Es gibt n+1 blattdisjunkte Strategien in G, die alle den Wurzelwert von G belegen. <=> Q root(n) (1) = Q root(n-1) (1) = ... = Q root(1) (1) = 0 Allgemein läßt sich die n-te Ableitung eines Produkts von Polynomen darstellen als mit geeigneten a(y 1,...,y b) ∈ℕ. Zu betrachten sind nun wieder die Ableitungen von Q G1, Q G2, Q G3.

∑

y by b b

b

x g x g y y a

L K

1

) ( ) ( ) , , (

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.06.2009| Name | Vortragstitel| 126

Annahmen: (i) Für alle i≤n gilt: Für alle Spielbäume G gibt es i blattdisjunkte Strategien in G, die alle den Wurzelwert von G belegen. <=> Q G(i-1) (1) = ... = Q G(1) (1) = 0 (ii) Für alle G‘∈{G1, G2, G3} soll gelten: Es gibt n blattdisjunkte Strategien in G‘, die alle den Wurzelwert von G' belegenundQ G‘(n-1) (1) = ... = Q G‘(1) (1) = 0 (iii) Für alle i∈{1,..,n-1} gilt: das Vorzeichen von Q G‘(i) (1) = (-1)i-1 Bemerkung: Im folgenden machen wir Vorbetrachtungen für einen Induktions- beweis über die Anzahl von blattdisjukten Strategien und über die Höhe der Bäume. (i) und (iii) werden die Induktionsvoraussetzung bilden, und (II) wird aus „Q G(n) (1) = ... = Q G(1) (1) = 0“ oder aus „es gibt n+1 blattdisjunkte Stragegien ...“ hergeleitet werden.

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6.2009| Name | Vortragstitel| 127

n-te Ableitung für G1: Alle Summanden, die weniger als Ableitungen kleiner als n enthalten sind Null bei x=1, wegen Voraussetzung (ii). Da g i(1) = 1 für alle i, gilt: n-te Ableitung für G2: Mit Hilfe von (ii) sieht man, dass bei x=1 nur ein Summand ungleich 0 wird:

∑

=

y by bn G b

b

x g x g y y a x Q

L K

1

) ( ) ( ) , , ( ) (

∑

=

b i

n in G

g Q

)()( 1

)1 ( )1 ( ∑

⋅ − ⋅ − =

y byy bn G b

b

x g x g x g y y a x Q

L K

21

) ( ) ( )) ( 1 )( , , ( )1 ( ) (

)1 ( )1 (

g Q =

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.06.2009| Name | Vortragstitel| 128

n-te Ableitung für G3: 1.Fall n < c: Einer der ersten c Faktoren ist immer = 0 und es gibt, wegen der Definition von „Strategie“n blattdisjunkte Strategien unterhalb der Wurzel. Also: 2.Fall n = c: Sei S y1,...,ybein beliebiger Summand von Q(n) G3(x) bei x=1. Falls es ein l gibt mit l ≤c und (y l= 0 oder y l> 1), folgt S y1,...,yb= 0, weil einer der ersten c Wurzelnachfolger (sei das k) gilt: 1-g k(1) = 0. Falls es ein l>c gibt mit y l> 0, folgt ebenfalls sofort S y1,...,yb= 0. Sonst gilt Vorzeichen:

∑

⋅ − − ⋅ − =

y by cy cy bn G b

bcc

x g x g x g x g y y a x Q

L L K

11

) ( ) ( )) ( 1( )) ( 1 )( , , ( )1 ( ) (

0 )1 (

=

Q ∏

⋅ − =

g S

)1( ,,

)1 ( )1 ( )1 (

∈ ⋅ ⋅ − − ∏

k ein für g k

,) 1( )1 )(1 (

)1(

ℕ

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6.2009| Name | Vortragstitel| 129

n-te Ableitung für G3: 3.Fall n > c: Sei S y1,...,ybein beliebiger Summand von Q(n) G3(x) bei x=1. a) Falls es ein l gibt mit l ≤c und y l= 0, folgt S y1,...,yb= 0 b) Falls es ein l gibt mit l > c und y l> 1, gilt: ∑c i=1y i≤n-1. S y1,...,ybhat die Form (1-g 1(x))y1 ···(1-g c(x))yc·X, X eine reele Zahl. Wegen Annahme (ii) gibt es unter n blattdisjunkte Strategien unter der Wurzel von G3. Wegen der Definition von Strategien gibt es die Summe der blattdisjunkten Strategien unter den ersten c Nachfolgern der Wurzel ebenfalls gleich n. Wir können also schließen, dass einer der ersten c Nachfolger mehr als y i-viele blattdisjunkte Stretegien unter sich hat. Mit Voraussetzung (i) folgt, dass ein (1-g i(x))(yi) an der Stelle x=1 zu 0 wird, für ein i∈{1,...,c} c) ∑c i=1y i= n und y i> 1 für sie ersten c Wurzelnachfolger

∑

− − − =

y cy cn G b

c

x g x g y y a x Q

L L K

1)()( 11)( 3

)) ( 1( )) ( 1 )( 0 , 0, , , ( ) (

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.06.2009| Name | Vortragstitel| 130

n-te Ableitung für G3, 3. Fall: Vorzeichen: Wegen Voraussetzung (iii) ist das Vorzeichen von Sei k i= y i-1 , für i = 1,...,c. Somit ist (-1)ki das Vorzeichen von g i(yi) (1). (vgl. (iii)) Da∑c i=1k i = n-c, folgt,

∑

+

− =

y cy ccn G c

c

x g x g y y a x Q

L L K

1

) ( ) ( ) 0 , 0, , , ( )1 ( ) (

n y mit g sign Q sign

c ii

c i

y icn Gi

= ⋅ − − = ∑ ∏

)()( 3

),) 1( ( )1 )(1 ( ))1 ( (

)( 3

)1 ( )1 ( )1 )(1 ( ))1 ( (

− = − ⋅ − − = ∏

kcn G

i

Q sign

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6.2009| Name | Vortragstitel| 131

Induktion: Annahme: (I) Für alle i≤n gilt: Für alle Spielbäume G gibt es i blattdisjunkte Strategien in G, die alle den Wurzelwert von G belegen. <=> Q G(i-1) (1) = ... = Q G(1) (1) = 0 (II) Für alle i∈{1,..,n-1} gilt: das Vorzeichen von Q G‘(i) (1) = (-1)i-1 Induktionsschritt(nn+1): ‘<=‘: Es gibt n+1 blattdisjunkte Strategien unter der Wurzel von G. Insbesondere gibt es n blattdisjunkte Strategien und mit (I) und (II) wissen wir, dass die Voraussetzungen (i)-(iii) erfüllt sind. Mit hilfe einer inneren impliziten Induktion sehen wir, dass der Induktionsschritt bereits gemacht ist. ‘=>’: Sei Q Gein Qualitätspolynom. Seien Q G(n) (1) = ... = Q G(1) (1) = 0. Offensichtlich gilt auch Q G(n-1) (1) = ... = Q G(1) (1) = 0. Von (I) wissen wir, dass es n blattdisjunkte Strategien in G gibt, und (i)-(iii) sind erfüllt. Mit Hilfe einer impliziten Induktion über die Tiefe von G ist der Induktionsschritt fertig. Man muss allerdings beachten, dass für alle i = 1,...,n gilt sign(Q G(i) (1) ) = (-1)i-1 ist.

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.06.2009| Name | Vortragstitel| 132

Worst-Case Betrachtung: Satz: Sei G ein Spielbaum mit Wert 0 oder 1 an der Wurzel. Sei oBdA die Wurzel ein MAX-Knoten. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. •es gibt c-viele blattdisjunkte Strategien unter der Wurzel von G, die beweisen, dass der wert der Wurzel 0 (bzw. 1) ist. •man muss mindestens c-viele Blattwerte, bezogen auf die echten Werte, verändern, damit der heuristische Minimaxwert der Wurzel falsch wird. ‚=>‘klar, denn mit der Veränderung eines Blattwertes kann man nur eine der blattdisjunkten Strategien „zerstören“. ‚<=‚Wir bauen per Induktion über die Baumtiefe t eine „Zerstörungsstrategie“, die mit c Änderungen die c blattdisjunkten Strategien zerstört. Start: Sei t = 1. Der Baum besteht nur aus einem Knoten, damit gibt es nur eine Strategie und mit Änderun eines Blattes wird der Wurzelwert verfälscht.

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6.2009| Name | Vortragstitel| 133

Worst-Case Betrachtung: ‚<=‚... Annahme: Für alle Tiefe-(t-1)-Bäume gilt, wenn G genau c (c beliebig) blattdisjunkte Strategien enthält, die alle den wert 0 (bzw. 1) der Wurzel beweisen, läßt sich der Wurzelwert mit Hilfe von c Blattwertänderungen verfälschen. Schritt t-1t: Betrachte die Wurzel eine Tiefe-t-Spielbaums. -Ist der echte Wert 0, so gibt es für alle Nachfolger c blattdisjunkte Strategien, die den Wert 0 belegen. Mindestens 1 Nachfolger besitzt genau c solche Strategien. Auf den wenden wir die obige Annahme an und sind fertig. -Ist der Wert der Wurzel 1, gibt es d viele Nachfolger, die ebenfalls den Wert 1 haben und die Summe der Anzahl blattdisjunkter Strategien unter diesen Wurzelnachfolgern ist gleich c. Mit Hilfe der Induktionsannahme zerstören wir alle diese Strategien.

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