SS 2014 Jetlir Duraj Wahrscheinlichkeitstheorie
L¨osung zu H3, Blatt 5
Wir betrachten zun¨achst den diskreten Fall. SeiX ∈dNf¨ur eind >0. Es folgt dann, dass Y =aX+b hat Wertebereich enthalten in adN+b. Falls |a|>0 ist, so l¨asst sich dannX eindeutig aus Y ablesen!
Zur¨uck nun zum stetigen Fall.
1). Was ist die Dichte von (X, Y −aX) ? P(X ∈A, Y −aX ∈B) =
Z
{X∈A,Y∈B+aX}
f(x, y)dxdy
= Z
A
( Z
{y∈B+aX}
f(x, y)dy)dx= Z
A
Z
B
f(x, z+ax)dzdx.
Hier haben wir Fubini benutzt und bei der dritten Gleichheit die Transformationsformel mit der linearen Transformation xz
= −a1 01 x
y
.
(X, Y −aX) hat also die Dichte (x, z) 7→ f(x, z +ax). Somit folgt mit Lemma aus der Vorlesung
P(X ∈A|Ba) = R
Af(x, Ba+ax)dx R
R+f(x, Ba+ax)dx. 2).Was ist die Dichte von (X,YX−b) ?
P(X ∈A, Ab ∈B) =P(X ∈A, Y ∈Bx+b) = Z
{X∈A,Y∈Y∈Bx+b}
f(x, y)dxdy
= Z
A
Z
B
xf(x, zx+b)dzdx.
Denn die Abbildung f(x, y) = y−bx
x
ist ein Diffeomorphismus mit Jacobi-Matrix Jf(x, y) = −y−b1 0
x2 1 x
und deren Determinante ist |Jf(x, y)|= 1x >0.
Die Dichte von (X,YX−b) ist also (x, z) 7→ xf(x, zx+ b). Somit folgt mit Lemma aus Vorlesung
P(X∈A|Ab) = R
Axf(x, Abx+b)dx R
R+xf(x, Abx+b)dx. Insgesamt es folgt
g(a, z, C) = R
Af(x, z+ax)dx R
R+f(x, z+ax)dx und
h(z, b, C) = R
Axf(x, zx+b)dx R
R+xf(x, zx+b)dx. Im Allgemeinen gilt g(a, b, C)6=h(a, b, C).
Warum hier keine Eindeutigkeit ? Hier ist doch P(Y = aX +b) = 0, denn eine zwei- dimensionale Gerade hat immer Lebesgue-Mass null, und die Verteilung von (X, Y) ist ja absolut-stetig bzgl. Lebesgue-Mass. Also ist somit E[X|Y = aX +b] gar nicht mal definiert!
