So läuft die nächste Klausur!
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Bio-Test? Chemie-Klausur?
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1. Nützliches
1.1 Römische Zahlenzeichen 1.2 Griechisches Alphabet 1.3 Einheiten von Größen
2. Zahlenbereiche
2.1 Teilbarkeiten in 2.2 Termumformungen 2.3 Bruchrechnen
2.4 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen 2.5 Mittelwerte
3. Prozentrechnung
3.1 Grundbegriffe
4. Zinsrechnung
4.1 Grundbegriffe
5. Geometrie
5.1 Das Dreieck 5.2 Das Viereck 5.3 Strahlensätze 5.4 Vektoren in der Ebene 5.5 Stereometrie
Inhaltsverzeichnis
*
6. Trigonometrie
6.1 Kreisfunktionen 6.2 Ebene Trigonometrie
7. Lösen von Gleichungen
7.1 Äquivalenzumformungen 7.2 Lineare Gleichungen 7.3 Quadratische Gleichungen 7.4 Polynome n-ten Grades 7.5 Gleichungen n-ten Grades
8. Stochastik
8.1 Ereignisse 8.2 Kombinatorik 8.3 Wahrscheinlichkeit 8.4 Verteilungen
9. Physik
9.1 Größen und Einheiten
10. Chemie
10.1 Formeln und Periodensystem
© DSA youngstar GmbH, 2012
44 5
67 77 9 10 10
1113 1415 17
1920
2021 2122 22
2323 2426
30 32
4
1. Nützliches
1.1 Römische Zahlenzeichen
Römische Zahlen sind Zahlenzeichen (Symbole), die ihren Ursprung in der römischen Antike haben. Die Darstellung der Zahlen beruht auf der Addition und Subtraktion der Werte von sieben Symbolen.
Zahl Zeichen Zahl Zeichen Zahl Zeichen
1 I 11 XI 30 XXX
2 II 12 XII 40 XL
3 III 13 XIII 50 L
4 IV 14 XIV 60 LX
5 V 15 XV 99 XCIX
6 VI 16 XVI 100 C
7 VII 17 XVII 300 CCC
8 VIII 18 XVIII 400 CD
9 IX 19 XIX 500 D
10 X 20 XX 1.000 M
1.2 Griechisches Alphabet (Druckbuchstaben)
A a Alpha H h Eta N n Ny T t Tau
B b Beta Q q Theta X x Xi U u Ypsilon
G g Gamma I i Jota O o Omikron F f Phi
D d Delta K k Kappa P p Pi C c Chi
E e Epsilon L l Lambda R r Rho Y y Psi
Z z Zeta M m My S s Sigma W w Omega
Das griechische Alphabet ist die Weiterentwicklung der phönizischen Schrift. Sie wird seit dem 9. Jahrhundert v. Chr. geschrieben. Es umfasst 24 Buchstaben.
1.3 Einheiten von Größen
Länge
1 km = 1.000 m
1 m = 10 dm
1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm
1 m = 0,001 km 1 dm = 0,1 m 1 cm = 0,01 m 1 mm = 0,1 cm Fläche
1 km2 = 100 ha 1 ha = 100 a 1 a = 100 m2 1 m2 = 100 dm2 1 dm2 = 100 cm2 1 cm2 = 100 mm2
1 a = 0,01 ha 1 m2 = 0,01 a 1 dm2 = 0,01 m2 1 cm2 = 0,0001 m2 1 mm2 = 0,01 cm2 Rauminhalt
1 m3 = 1.000 dm3 1 dm3 = 1.000 cm3 1 cm3 = 1.000 mm3
1 dm3 = 0,001 m3 1 cm3 = 0,001 dm3 1 mm3 = 0,001 cm3 Volumen
1 hl = 100 l 1 l = 100 cl 1 cl = 10 ml
1 l = 1 dm3
1 cl = 10 cm3 1 ml = 1 cm3 Masse
1 t = 10 dt 1 dt = 100 kg 1 kg = 1.000 g 1 g = 1.000 mg
1 kg = 0,001 t 1 kg = 0,01 dt 1 g = 0,001 kg 1 mg = 0,001 g
Zeit1 Jahr = 12 Monate 1 Monat = 28 - 31 Tage 1 Tag = 24 h 1 h = 60 min 1 min = 60 s
1 Tag = 1.440 min 1 Tag ≈ 0,00274 Jahre 1 Jahr ≈ 8.766 h*
1 min ≈ 0,0167 h
*Bedingt durch das Schaltjahr werden sechs Stunden zu einem Jahr (8.760 Stunden) dazu gerechnet.
6
Zahlen ohne Null nicht
negativ positiv nicht
positiv negativ
natürliche – –
ganze rationale reelle
2.1 Teilbarkeit in
Teiler (t|a): t ist Teiler von a, wenn es eine Zahl b gibt, sodass t · b = a ergibt.
1) Ist t Teiler von a als auch von b, dann ist t auch Teiler der Summe a + b.
2) Ist t Teiler von a als auch von b, dann ist t auch Teiler der Differenz a - b.
3) Ist t Teiler von a und a Teiler von b, dann ist t auch Teiler von c (Transitivität).
4) Ist t Teiler von a, dann ist t Teiler jedes Produktes a · b.
Teiler t Eine natürliche Zahl ist durch t teilbar, … 2 wenn ihre letzte Ziffer eine 2, 4, 6, 8 oder 0 ist.
3 wenn ihre Quersumme, also die Summe all ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.
4 wenn ihre letzten 2 Stellen durch 4 teilbar sind.
5 wenn ihre letzte Stelle eine 5 oder eine 0 ist.
6 wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
8 wenn ihre letzten 3 Stellen durch 8 teilbar sind.
9 wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
10 wenn ihre letzte Stelle eine 0 ist.
2. Zahlenbereiche
= {0, 1, 2, …} = {…, -2, -1, 0, 1, 2…} =
{
x x k| =n,k∈und n∈∗}
*
*
*
0oder
≥ +
oder
≥0 +
0oder
≥ +
oder
>0 ∗+ oder
>0 ∗+ oder
>0 ∗+
0oder
≤ − 0oder
≤ −
0oder
≤ −
0oder *
< − 0oder
< ∗− 0oder
< ∗−
*
Teilbarkeitsregeln
* *
=
1 1
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |, A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!
(n k )!
A n
k n!
k! (n k )!
A n k
n
n! n e n
A , A , A
| A |, | A |, | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + … +
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
= −
= =
⋅ −
= − +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
Addition Multiplikation
Kommutativgesetz a + b = b + a a · b = b · a
Assoziativgesetz a + (b + c) = (a + b) + c a · (b · c) = (a · b) · c Distributivgesetz a · (b + c) = a · b + a · c
Binomische Formeln
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a + b) · (a - b) = a2 - b2
2.3 Bruchrechnung
Erweitern/Kürzen Addition/Substraktion Multiplikation/Division
2.4 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Potenz , Basis a (Grundzahl) und Exponent n (Hochzahl).
Sonderfälle sind:
Für gilt mit
2.2 Termumformungen
a
b c
d ad bc + = bd+
ab c d a d : = b c⋅
⋅ ba a c
= b c⋅
⋅
ba a c
= b c: :
ab c d a c
⋅ = b d⋅
⋅
a
b c
d ad bc
− = bd−
an a a a mit a \ ; n
n Faktoren a
0
= ⋅ ⋅ … ⋅ ∈ { } ∈
an a a a mit a \ ; n
n Faktoren a
0
= ⋅ ⋅ … ⋅ ∈ { } ∈
a0= ( ≠ )1 a 0 , a1=a, a-n= a1n
apq= ( ) =ap q1 qap a∈ ,a>0,p∈ ,q∈ ∗
gleiche Basis gleicher Exponent Potenzieren a am⋅ n=am n+
a am: n=am n−
a bn⋅ n=(a b⋅ )n
a bn: n=(a b: )n ( )am n=amn=( )an m Potenzen
a0= ( ≠ )1 a 0 , a1=a, a-n=a1n a0= ( ≠ )1 a 0 , a1=a, a-n=a1n Nenner 0
a0= ( ≠ )1 a 0 , a1=a, a-n=a1n
Die Gesetze gelten für alle m,n bei positiven reellen Basen.
Für m,n gelten sie bei Basen aus .a∈ ,a>0,p∈ ,q∈ ∗ a∈,a>0,p∈an,qa a∈∗ a mit a \ ; n
n Faktoren a
0
= ⋅ ⋅ … ⋅ ∈ { } ∈
an a a a mit a \ ; n
n Faktoren a
0
= ⋅ ⋅ … ⋅ ∈ { } ∈
an a a a mit a \ ; n
n Faktoren a
0
= ⋅ ⋅ … ⋅ ∈ { } ∈
8
a = cn ist gleich (gelesen: n-te Wurzel aus a).
Man nennt a Radikand, n Wurzelexponent, Quadratwurzel und Kubikwurzel.
a∈,n∈∗\ 1{ }, ≥c 0
Wurzelgesetze Für alle und gilt:
1)
2) 3)
4) Wurzeln
Das Wurzelziehen ist eine Art umgekehrtes Quadrieren: Man sucht eine Zahl, sodass das Quadrat dieser Zahl unsere ursprüngliche Zahl ergibt.
c=na a∈,n∈∗\ 1{ }, ≥c 0
a a
2 = 3a
Notizen
1 0 m, n \ a, b , a, b
a a a
a b a b aa a
ab a b
a a a
a a
a a k
*
m n mn m n
n n n
m
n mn m n
n
n n
m
n mn mn
m
n n m
m
a nk mk *
( )
( )
{ }
∈
∈ ≥
⋅ =
⋅ = ⋅
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= ∈
+
−
1 0 m, n \ a, b , a, b
a a a
a b a b a
a a
ab a b
a a a
a a
a a k
*
m n mn m n
n n n
m n
m n mn
n
n n
nm mn mn
n m n m
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+
−
1 0 m, n \ a, b , a, b
a a a
a b a b aa a
ab a b
a a a
a a
a a k
*
m n mn m n
n n n
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n mn m n
n
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n m n m
m
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+
−
1 0 m, n \ a, b , a, b
a a a
a b a b aa a
ba a b
a a a
a a
a a k
*
m n mn m n
n n n
m n
mn m n
n
n n
m
n mn mn
m
n n m
m
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a a a
a b a b a
a a
a
b a
b
a a a
a a
a a k
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n n n
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a a a
a b a b aa a
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a a
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n mn mn
n m n m
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a b a b aa a
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a a
a a k
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n mn mn
n m n m
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∈ ≥
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+
−
1 0 m, n \ a, b , a, b
a a a
a b a b a
a a
a
b a
b
a a a
a a
a a k
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n n n
m n
m n mn
n
n n
nm mn mn
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n n m
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−
1 0 m, n \ a, b , a, b
a a a
a b a b a
a a
a
b a
b
a a a
a a
a a k
*
m n mn m n
n n n
m n
m n mn
n
n n
nm mn mn
m
n n m
m
a nk mk *
( )
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∈ ≥
⋅ =
⋅ = ⋅
=
=
= =
=
= ∈
+
−
a0= ( ≠ )1 a 0 , a1=a, a-n=a1n
a∈,n∈∗\ 1{ }, ≥c 0 a∈,n∈∗\ 1{ }, ≥c 0
.
1 0 m, n \ a, b , a, b
a a a
a b a b a
a a
a
b a
b
a a a
a a
a a k
*
m n mn m n
n n n
m n
m n mn
n
n n
nm mn mn
m
n n m
m
a nk mk *
( )
( )
{ }
∈
∈ ≥
⋅ =
⋅ = ⋅
=
=
= =
=
= ∈
+
−
b = ac ist gleich c = loga b (gelesen: Logarithmus b zur Basis a).
Man nennt c Logarithmus, a Basis, b Numerus.
Insbesondere gilt: loga 1 = 0, loga a = 1, Logarithmen
1 0 0
a ∈\{ }, , b∈, b>
alog ba =b
2.5 Mittelwerte
bei 2 Größen a1 , a2 bei n Größen a1 , a2,… , an
Arithmetischer Mittelwert Geometrischer Mittelwert
Quadratischer Mittelwert
Der Mittelwert beschreibt den statistischen Durchschnittswert. Für den arithmeti- schen Mittelwert addiert man alle Werte eines Datensatzes und teilt die Summe durch die Anzahl aller vorhandenen Werte.
A =1 a a 2( 1+ 2)
G = a a2 1⋅ 2 G = a a ... an n 1⋅ 2⋅ ⋅
Q = 1n a a2 an2 12
2 ( + 2 + ... + ) A =1n a a ... an
1 2
( + + + )
Q= 122(a12+a22)
g g
Achtung: log1 a ist nicht erklärt!
12
0
2 2
2 2 2
u, v r x
A a e
d a b c
∈
∈
= = ⋅
= + +
>
12
0
2 2
2 2 2
u, v r x
A a e
d a b c
∈
∈
= = ⋅
= + +
>
Logarithmengesetze
Basiswechsel log b log blog c ln b ln c lg b
c a lg c
a
= = =
u v u v
loga( ⋅ ) =loga +loga
log uav =log u log va − a
log u r log u ra r
a
= ( ∈ )
1 1
log uan nlog u n * \
a
= ( ∈ { })
Für jede zulässige Basis, für alle und gilt:
12
0
2 2
2 2 2
u, v r x
A a e
d a b c
∈
∈
= = ⋅
= + +
>
12
0
2 2
2 2 2
u, v r x
A a e
d a b c
∈
∈
= = ⋅
= + +
>
1 0 0
a∈\{ },a∈, b\{ },∈1 0, b, b>∈, b>0
1 0 0
a ∈\{ }, , b∈, b>
alog ba =b
10
Zinsen in verschiedenen Zeiträumen:
Tageszinsen: Monatszinsen:
Zinseszinsen
(Endwert Kn des Anfangskapitals K0 nach n Jahren) Grundbegriffe
Grundwert G
Prozentwert W
Prozentzahl p
Prozentsatz: p
Promillesatz: Umrechnung: 1 = 10 100
1000
100
100 100
100
100
000
000
00
p p
p
p p
g Wp
W p G
p WG
G Wp
p p
=
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
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100
1000
100
100 100
100
100
000
000
00
p p
p
p p
g Wp
W p G
p WG
G Wp
p p
=
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
Grundbegriffe
Kapital K Zinszahl #
Zinsen Z Zinsfaktor q
Rate, Rente R Zinsdivisor D
Zinssatz des Kapitals p Anzahl der Tage t
per annum (pro Jahr) p. a. Anzahl der Monate m
Schuld, Darlehen S Anzahl der Jahre n
1001
100100 1 100
360
100
100
100 12
100 360 100
100100
0 0
0
# K t
q p p
D p
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n lg K lg Klg q
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0
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100100
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= + = +
=
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= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
⋅
= ⋅ ⋅
⋅ =
= ⋅
= ⋅ = ⋅ +
= −
(
#= 1 100⋅K⋅t)
(
q=100100+p=1+ p 100)
D=
(
360p)
Z=K⋅p 100
Zn=K⋅p⋅n 100
Zm=K⋅p⋅m 100⋅12
Zt= K⋅p⋅t 100⋅360=#
D
p=Z⋅100 K
Kn=K0⋅qn=K0⋅ 100+p
⎛ 100
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
n
n=lg Kn−lg K0
lg q
1001
100100 1 100
360
100
100
100 12
100 360 100
100100
0 0
0
# K t
q p p
D p
Z K p
Z K p n
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D
p ZK
K K q K p
n lg K lg Klg q
n
m
t
n n n
n
( (
( )
) )
= ⋅ ⋅
= +
= +
=
= ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
⋅
= ⋅ ⋅
⋅ =
= ⋅
= ⋅ = ⋅ +
= −
3.1 Grundbegriffe
4.1 Grundbegriffe
100
1000
100
100 100
100
100
000
0 00
00
p p
p
p p
g Wp
W p G
p WG
G Wp
p p
=
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
3. Prozentrechnung
4. Zinsrechnung
100
1000
100
100 100
100
100
0 00 000
00
p p
p
p p
g Wp
W p G
p WG
G Wp
p p
=
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= 100
1000
100
100 100
100
100
0 00 000
00
p p
p
p p
g Wp
W p G
p WG
G Wp
p p
=
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
100
1000
100
100 100
100
100
000
0 00
0 0
p p
p
p p
g Wp
W p G
p WG
G Wp
p p
=
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= 100
1000
100
100 100
100
100
000
000
00
p p
p
p p
g Wp
W p G
p WG
G Wp
p p
=
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
Jahreszinsen: Rendite:
5. Geometrie
Gleichschenkliges Dreieck
a = b; U = 2a + c
Gleichseitiges Dreieck
U = 3a
5.1 Das Dreieck
α=β α=β c
hc a b
A B
C
hc a 1c
2 4 2
= −
, , α β γ
A a= 42 3 60
α=β γ= = h a=2 3
α=β
A 1c hc
=2 ⋅ 1001
100100 1 100
360
100
100
100 12
100 360 100
100100
0 0
0
# K t
q p p
D p
Z K p
Z K p n
Z K p m
Z K p t #
D
p ZK
K K q K p
n lg K lg Klg q
n
m
t
n n n
n
( (
( )
) )
= ⋅ ⋅
= +
= +
=
= ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
⋅
= ⋅ ⋅
⋅ =
= ⋅
= ⋅ = ⋅ +
= −
Seiten a, b, c Winkel Höhe h Flächeninhalt A Umfang U
Umkreismittelpunkt U
Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten.
Inkreismittelpunkt M
Der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.
Höhenschnittpunkt H
Die Schnittstelle der drei Höhen.
Schwerpunkt S
Der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden. Er teilt jede Seitenhal- bierende vom Eckpunkt des Dreiecks aus im Verhältnis 2 : 1.
S U
M
H
c b a
A B
C
12
Allgemeines Dreieck
U = a + b + c 180 α+β γ+ =
A 1a ha b hb c hc
2 1
2 1
= ⋅ = ⋅ =2 ⋅
c b a
A B
C
hc α=β α=β
, , α β γ Rechtwinkliges Dreieck
U = a + b + c Satz des Pythagoras: a2 + b2 = c2 Kathetensatz: a2 = c · p; b2 = c · q
Höhensatz: h2 = p · q
Hypotenusenabschnitte: p + q = c 90
γ =
c b a
A B
C hc
q p
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in
drei Seitenlängen übereinstimmen a = a´; b = b´; c = c´ sss
zwei Seitenlängen und dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel über-
einstimmen z.B.: a = a´; b = b´; = ´ sws
zwei Seiten und dem Gegenwinkel der
längeren Seite übereinstimmen z.B.: a = a´; b = b´ ; = ´ (b>a) SsW
einer Seite und den anliegenden Win-
keln übereinstimmen z.B.: a = a´; = ´; = ´; wsw , ,
α β γ , , α β γ
, , α β γα β γ, , Kongruenzsätze
, , α β γ , , α β γ , , α β γα β γ, ,
Beliebiges Viereck
Rechteck
Alle Innenwinkel betragen 90°.
Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander.
M Mittelpunkt
e, f Schrägachsen m1 , m2 Symmetrieachsen
a = c; b = d
U = 2(a+b); A = a · b
Quadrat
Alle Innenwinkel betragen 90°.
Die Diagonalen sind zueinander senkrecht.
M ist Mittelpunkt und Drehzentrum.
e, f , m1 , m2 Symmetrieachsen und a = b = c = d
U = 4a; A = a2 = ∙ e2
A a
b c
d
B
D C
e M f m1
m2
A a
b c
d
B
D C
m2 M
e f
m1
5.2 Das Viereck
360 α β γ δ+ + + = °
90 α β γ δ= = = = °
e f= = a b2+ 2
90 α β γ δ= = = = ° e f a ;= = 2 e f⊥
A
B
D C
α=β
α=β e
90 f
α β γ δ= = = = ° α β γ, ,
A 1a ha b hb c hc
2 1
2 1
= ⋅ = ⋅ =2 ⋅
14
Parallelogramm
Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel und gleich lang.
Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
M Mittelpunkt und Drehzentrum
e, f , m1 , m2 Schrägachsen und
a = c; b = d; e und f halbieren sich.
U = 2(a+b); A = a · ha
5.3 Strahlensätze, Teilungen einer Strecke
1) Wenn , dann und umgekehrt.
2) Wenn , dann .
1) T teilt im Verhältnis t, wenn . 2) T teilt im Verhältnis x, wenn .
Zusammenhang:
A
A' B' B S
A
T B
Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf dem einen Strahl wie die entsprechenden Ab- schnitte auf dem anderen.
a c b d
12 5 1 AA' BB'
SA : SB SA' : SB' SA : SB AA' : BB' AT t TB
AT x AB TB AB C AB, D AB, C B D B T AB
x AT AB ( )
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
1
2 5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB' SA : SB AA' : BB' AT t TB
AT x AB TB AB C AB, D AB, C B D B T AB
x AT AB ( )
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
12 5 1 AA' BB'
SA : SB SA' : SB' SA : SB AA' : BB' AT t TB
AT x AB TB
AB C AB, D AB, C B D B T AB
x AT AB ( )
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
1
2 5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB' SA : SB AA' : BB' AT t TB
AT x AB TB
AB C AB, D AB, C B D B T AB
x AT AB ( )
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
1
2 5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB' SA : SB AA' : BB' AT t TB
AT x AB TB
AB C AB, D AB, C B D B T AB
x AT AB ( )
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅1 −
2 5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB' SA : SB AA' : BB' AT t TB
AT x AB TB AB C AB, D AB, C B D B T AB
x AT AB ( )
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
t x
x ( x )
1 1
= −
≠
t x
x ( x )
1 1
= −
≠ Strahlensätze
Teilverhältnis
12 5 1 AA' BB'
SA : SB SA' : SB' SA : SB AA' : BB' AT t TB
AT x AB TB
AB C AB, D AB, C B D B T AB
x AT AB ( )
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
1
2 5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB' SA : SB AA' : BB' AT t TB
AT x AB TB
AB C AB, D AB, C B D B T AB
x AT AB ( )
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
A a
b c
d
B
D C
M m1
m2
e f ha
15
Harmonische Teilung
C und D teilen harmonisch, wenn von C im Verhältnis t und von D im Verhältnis -t geteilt wird.
C und D teilen harmonisch, wenn 1) A, B, C und D auf einer Geraden liegen, 2) und und 3)
Die Halbierenden eines Dreiecksinnenwinkels und seines Nebenwinkels teilen die Gegenseite harmonisch im Verhältnis der anliegenden Seiten:
T mit teilt nach dem Goldenen Schnitt, wenn oder
oder
A C B D
a
a
b a||b
a x
x a–x
A T B
a2 a2
12 5 1 SA : SB AA' : BB' AT t TB
AT x AB TB
AB C AB, D AB, C B D B T AB
x AT AB ( )
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ − 1
2 5 1
SA : SB AA' : BB' AT t TB
AT x AB TB
AB C AB, D AB, C B D B T AB
x AT AB ( )
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
12 5 1 SA : SB SA' : SB' SA : SB AA' : BB' AT t TB
AT x AB TB AB C AB, D AB, C B D B T AB
x AT AB ( )
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
1
2 5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB' SA : SB AA' : BB' AT t TB
AT x AB TB
AB C AB, D AB, C B D B T AB
x AT AB ( )
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
1
2 5 1
SA : SB SA' : SB' SA : SB AA' : BB' AT t TB
AT x AB TB
AB C AB, D AB, C B D B T AB
x AT AB ( )
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
12 5 1 AA' BB'
SA : SB SA' : SB' SA : SB AA' : BB' AT t TB
AT x AB TB
AB C AB, D AB, C B D B T AB
x AT AB ( )
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
AA'BB'
SA : SB=SA' : SB' SA : SB= AA' : BB' AT
=t⋅TB
AT
=x⋅AB TB
AB C∈AB, D∉AB, C≠B D≠B T∈AB
x= AT =1
2⋅AB ( 5−1) AD : BD =AC : BC .
AT : TB =AU : UB b : a=
12 5 1 AA' BB'
SA : SB SA' : SB' SA : SB AA' : BB' AT t TB
AT x AB TB
AB C AB, D AB, C B D B T AB
x AT AB ( )
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
2 2
AB : AT AT : TB
x AT AB TB
=
= = ⋅
2 2
AB : AT AT : TB
x AT AB TB
=
= = ⋅
12 5 1 AA' BB'
SA : SB SA' : SB' SA : SB AA' : BB' AT t TB
AT x AB TB
AB C AB, D AB, C B D B T AB
x AT AB ( )
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
5.4 Vektoren in der Ebene
Eine Klasse paralleler Pfeile mit gleicher Länge und gleicher Richtung heißt Vektor.
Die Länge eines Repräsentanten des Vektors bezeichnet man als Betrag des Vektors und schreibt: .
Als Nullvektor bezeichnet man einen Vektor mit dem Betrag 0:
0 0
0 a b a b a b
a b
AB BC AC AC AB BC r a
r a r a r
a o
(r s) a r a s a r (a b ) r a r b;
(r s)a r ( s a ).
x a y b o
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ = 0
0
0 a b a b a b
a b
AB BC AC AC AB BC r a
r a r a r
a o
(r s) a r a s a
r (a b ) r a r b;
(r s)a r ( s a ).
x a y b o
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
o AA BB
= = …
Goldener Schnitt
12 5 1 AA' BB'
SA : SB SA' : SB' SA : SB AA' : BB' AT t TB
AT x AB TB
AB C AB, D AB, C B D B T AB
x AT AB ( )
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
ο ο
