Informationswert bei Stochastisch-quadratischen Entscheidungsproblemen

Informationswert bei Stochastisch-quadratischen Entscheidungsproblemen

Sigifredo Laengle

Dissertation

zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Wirtschaftswissenschaften (Dr. rer. pol.) an der Fakultät für Wirtschaftswissenschaften und Statistik

der Universität Konstanz

Tag der mündlichen Prüfung: 24. Februar 2000

Referent: Prof. Dr. Rudolf Vetschera Referent: Prof. Dr. Jan Beran

Februar 2000

Inhaltsverzeichnis

1 Ziele und Schlufolgerungen 11

1.1 Einfuhrung . . . 11

1.2 Ziel der Arbeit . . . 15

1.3 Methodologie . . . 15

1.4 Schlufolgerungen . . . 16

2 Das Entscheidungsmodell 19

2.1 Die Grundelemente des Entscheidungsmodells . . . 19

2.2 Das 1-Entscheidungstrager (ET)-Problem: (Q1) und (Q1r) . . . . 21

2.2.1 Das Problem (Q1) . . . 21

2.2.2 Das Problem (Q1r) . . . 27

2.3 Das 2-ET-Problem: (Q2) und (Q2r) . . . 30

2.3.1 Das Problem (Q2) . . . 30

2.3.2 Das Problem (Q2r) . . . 37

2.4 Bibliographische Hinweise . . . 40

3 Losung des Entscheidungsmodells 41

3.1 Einfuhrung . . . 41

3.2 Probleme (Q1) und (Q1r) . . . 43

3.2.1 Losung des Problems (Q1) . . . 43

3.2.2 Losung des Problems (Q1r) . . . 48

3.3 Probleme (Q2) und (Q2r) . . . 55

3.3.1 Losung des Problems (Q2) . . . 55

3.3.2 Losung des Problems (Q2r) . . . 62

3.4 Bibliographische Hinweise . . . 66

4 Evaluierung von Informationsstrukturen (IS) 69

4.1 Drei grundlegende IS . . . 69

4.2 Probleme (Q1) und (Q1r) . . . 71

4.2.1 Berechnung des InformationswertesI1 . . . 71

4.2.2 Berechnung des InformationswertesI1r. . . 73

4.3 Probleme (Q2) und (Q2r) . . . 77

4.3.1 Berechnung des InformationswertesI2 . . . 77

4.3.2 Berechnung des InformationswertesI2r. . . 89

4.4 Bibliographische Hinweise . . . 93

4 INHALTSVERZEICHNIS A Grundlage der Linearen Funktionalanalysis 95

A.1 Hilbertraume und Operatoren . . . 95

A.2 Variationale Ungleichungen . . . 105

A.3 Der RaumL²() . . . 112

A.4 Inverse eines Operators . . . 116

Abbildungsverzeichnis

1.1 Resultaten Furn= 50;75 y 100. . . 13

3.1 Existenz und Eindeutigkeit der Probleme (Q1) und (Q1r). . . 41

3.2 Existenz und Eindeutigkeit der Probleme (Q2) und (Q2r). . . 42

3.3 Losung des Problems (Q1r) . . . 42

3.4 Losung des Problems (Q2r) . . . 42

3.5 Nutzen des Monopols Nach der Information. . . 47

3.6 Nutzen des Monopols in Funktion derBeobachtung. . . 48

3.7 Ressourcepreis. . . 53

3.8 Losung des Gleichgewichts fur das Unternehmen. . . 54

3.9 Nutzen des Unternehmens. . . 55

3.10 Losungsgleichgewicht des Dyopols. . . 60

3.11 Nutzen des Dyopols. . . 61

3.12 Gleichgewichtspreis der Ressource. . . 65

3.13 Gleichgewichtslosungen. . . 66

3.14 Nutzen beider Firmen und des Dyopols. . . 66

4.1 Statisches IS. . . 70

4.2 Dynamisches IS. . . 70

4.3 Hierarchisches IS. . . 71

4.4 Informationswert der Variablen Kosten. . . 73

4.5 Informationswert. . . 75

4.6 Informationswert. . . 80

4.7 Nachfragekurve fur !=¹₂. . . 81

4.8 Nachfragekurve fur != 1. . . 81

4.9 Gleichgewichtslosung. . . 84

4.10 Nutzen. . . 84

4.11 Gleichgewichtslosung fur die Firma 1. . . 85

4.12 Gleichgewichtslosung fur die Firma 2. . . 86

4.13 Nutzen Unter dem EntscheidungsraumF. . . 86

4.14 Informationswert. . . 87

4.15 Gleichgewichtslosung fur die Firma 1. . . 90

4.16 Nutzen Unter dem EntscheidungsraumE. . . 90

4.17 Informationswert Gema der Information. . . 91

4.18 Informationswert Gema der Ressourcen. . . 91

A.1 Projektionssatz. . . 105

A.2 Projektionssatz auf abgeschlossenem Unterraum. . . 107

6 ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Tabellenverzeichnis

1.1 Kosten zu Verschiedenenn. . . 14

1.2 Probleme, die in der Arbeit behandelt werden. . . 14

2.1 Internationale Lachsproduktion in Tausend Tonne [KT]. . . 21

2.2 Herstellerverteilung der Internationalen Lachsproduktion. . . 21

2.3 Entscheidung und Nutzen Gema der Variablen Kosten. . . 23

2.4 Stochastische Abhangigkeit Zwischen Variablen Kosten und Wirt- schaftlicher Lage. . . 25

2.5 Entscheidung und Nutzen Gema der Produktivitat. . . 28

2.6 Stochastische Beziehung Zwischen der Beobachtung und dem Tech- nologischen Faktor. . . 29

2.7 Stochastische Beziehung Zwischen Variablen Kosten und Wirt- schaicher Lage. . . 35

2.8 Beziehung Zwischen der Beobachtung und der Technologischen Matrix. . . 39

4.1 Stochastische Beziehung Zwischen dem Faktor der Nachfragekur- ve und der Handlungen der Firma 2. . . 82

8 TABELLENVERZEICHNIS

Zusammenfassung

Man hat allgemein erkannt, da die Einfuhrung von Informationstechnologien (IT) in Organisationen und Markte stark beeinussen. Ein Beispiel hierfur ist, da, da Zeitschriften wie Management Science (Vol. 42, Nr. 12, 1997) der Beziehung zwischen Informationstechnologien und Organisationen und Mark- ten ganze Sonderausgaben gewidmet haben. Auch wenn die Weiterentwicklung der Informationstechnologien neue Moglichkeiten eronen und so manche Be- grenzungen aufheben konnen, benotigt die Einfuhrung von IT's groe Anstren- gungen, bevor sie in der Lage sind, irgendeinen Wert zu schopfen (vgl. z.B.

[HC93]). Dies wirft die Frage auf, wie ein Entwurf von Organisationen und Markten entstehen kann, die die Vorzuge der Informationstechnologien nutzen, um Wert zu schaen.

Um diese Frage zu beantworten, mu die Bedeutung der Koordinierung er- kannt werden. Malone ([MC94] S. 90) deniert Koordinierung als die Verwal- tung voneinander abhangiger Aktivitaten. Geht man davon aus, da die Koordi- nierung eine Aktivitat ist, die selbst etwas kostet, so kann argumentiert werden, da die Informationstechnologien bestimmte Koordinierungskosten bedeutend senken konnen (ibid S. 102 und [Cra82]). Es handelt sich hierbei um alle Ko- sten, die in Verbindung mit der Datenverarbeitung, der Speicherung und der Datenubertragung auftreten. Dies fuhrt zur grundlegenden Frage der vorliegen- den Arbeit: Welchen Wert hat die Information fur einen Entscheidungstrager?

Daruber hinaus stellt sich die Frage: Wenn unterschiedliche Entscheidungstrager Aktivitaten koordinieren mussen, welcher Wert haben der Information und der Kommunikation?

Die Entscheidungstrager stoen haug auf okonomische Probleme, die durch quadratische Kostenfunktionen sich darstellen lassen (siehe z.B. [Ber85], S. 61 und [Tir88], S. 19), darum haben wir diese Funktionen verwendet. Andrerseits ist die stochastische Modellierung der Probleme, um die Information darzustel- len, sehr verbreitet. Aus diesem Grund formulieren folgende mathematische Werkzeuge diese Problematik: die Stochastische Entscheidungstheorie (siehe z. B. [DeG70], [Ber85] und [PRS95]), die stochastische Spieltheorie (siehe z.B.

[Har68]) und die Teamtheorie ([Mar55] und ([MR72]). Auerdem wurden bei Entscheidungsproblemen die nur begrenzt zur Verfugung stehenden Ressourcen beachtet, da dieses okonomische Problem in der Praxis haug eine groe Rolle spielt. Darum haben wir (Q1) und (Q2) benannt, um die quadratischen stocha- stischen Probleme fur jeweils einen und zwei Entscheidungstrager darzustellen.

(Q1r) und (Q2r) bezeichnet den restringierten Fall.

Die wichtigsten Ergebnisse dieser Arbeit lassen sich in zwei Gruppen unter- teilen: Einerseits werden wichtige Theoreme aus der stochastischen Entschei-

10 TABELLENVERZEICHNIS

dungstheorie (die Bayes Regel und das Prinzip der Sicherhaitsaquivalent) und der Spieltheorie (das Nash'sche Gleichgewicht) abgeleitet. Hierzu werden Satze der Funktionalanalysis verwendet, wie beispielsweise den Satz vom Abgeschlos- senen Bild und den Satz von Lions-Stampacchia. Andrerseits konnen in Bezug auf den Informationswert folgende Schlufolgerungen gezogen werden:

1. Der Informationswert des Problems (Q1) ist nicht negativ.

2. Bei dem Problem (Q2) haben wir die Entscheidungen der Entscheidungs- trager r undt alsxr undxr dargestellt. Vom Standpunkt des Entschei- dungstragersrreprasentiertMrtxtdie Auswirkungen auf die Kosten von r, die die Entscheidung von t haben. Vereinfacht kann gesagt werden, da die Interaktion zwischen den Spielern beobachtbar ist, wennt Mtrxr

vollstandig kennt. Die Schlufolgerung in Bezug auf den Informationswert des Problems (Q2) ist, da dieser immer dann nicht negativ ist, wenn die Interaktion beobachtbar ist.

3. Die Begrenzung des Problems (Q1r) wurde durch ein System linealer Bre- schrankungen Ax = b ausgedruckt, wobei A ein Operator ist, der den Output in Input umwandelt. Wir haben ihn einen technologischen Opera- tor genannt. Die ausreichenden Bedingungen, damit diese Begrenzungen den Informationswert nicht beeinussen, sind, da das Bild des Operators, das A (d.h. A) beiliegt, gleich E ist, wobei E die Menge der allgemein bekannten aleatorischen Variabeln darstellt. Obwohl wir dieses Ergebnis rechnerisch nachgewiesen haben, mu die Interpretation noch verbessert werden. Dies stellt eine Herausforderung fur weitere Arbeiten dar.

4. Im Falle des Problems (Q2r) haben wir gezeigt, da die Irrelevanz des technologischen Operators bei dem Informationswert ahnlich wie bei dem Fall des Problems (Q1r) gesichert wird.

Ziele und Schlufolgerungen

1.1 Einfuhrung

Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, den Informationswert (oder den Wert von Aktionen, die Information beibringen) bei stochastisch-quadratischen Entschei- dungsproblemen sowohl fur den Fall eines einzelnen Entscheidungstragers als auch fur die Spieltheorie zu ermitteln. Die Losung von stochastisch-quadratischen Optimierungsproblemen (bzw. Gleichgewichtsprobleme) sind gut bekannt, und aus diesen Resultaten wird der Informationswert erlangt. Mit Hilfe folgende Beispieles stellen wir die Grundkomponenten des Entscheidungsproblems vor:

Einfuhrendes Beispiel:

Eine Firma benotigt eine Abschatzung ihrer Ab- satzmoglichkeiten. Der Entscheidungstrager, Emilio, soll zum einen die poten- tielle Gesamtnachfrage des Marktes bestimmen, zum anderen soll er uber die Manahmen zur Informationsgewinnung entscheiden. Folgende Elemente des Entscheidungsproblems lassen sich im Prinzip identizieren:

1. Emilio wei aus seiner Erfahrung, da der Marktanteil seiner Firma zwi- schen 10% und 30% liegt. Angenommen, :=]0;1[ sei die Menge aller moglicher des Marktsanteile und! ein beliebeiges Element daraus, dann kann die a priori Information (vor einer Beobachtung), die Emilio besitzt, durch folgende a priori Dichte¹ von! dargestellt werden:

³!^7!g(!) := 5_[10¹;¹⁰³](!):

2. Emilio hat die Moglichkeit, mit n von seinen tausenden Kunden telefo- nisch zu sprechen und zu fragen, ob sie sein Produkt kaufen werden, be- vor er sich fur die Aproximation des Verkaufes entscheidet. Die Zahl der n Kunden, die angerufen werden, ist . ist in der Menge aller mogli- chen Beobachtungen :=^f0;1;::: ;n^genthalten. Aus seiner statistischen

1Hier istg die Uniformdichte mit Parametern 10¹ und 10³. Die Identitatsfunktion, , wird deniert durch:

³!^7!A(!) :=

(1; !²A;

0; !⁶²A;

mitA.

12 Ziele und Schlufolgerungen

Kenntnisse wei er, da die Wahrscheinlichkeit, da genauvonnKunden das Produkt kaufen, durch die folgende bedingete Dichte gegeben wird²:

^3f!;^g7!h(^j!) :=

n

!(1^;!)^(n;):

3. Emilio mu also eine Aproximation des Marktanteiles vornehmen, nach- dem er eine Beobachtung zur Verfugung hat. Wir schreiben die Ent- scheidung, die durch die Funktion ^{3 7!} x() dargestellt wird: x. Wir schreiben x die optimale Entscheidung. Die Menge aller moglichen Entscheidungen wird von uns Entscheidungsraum genannt und wird E geschrieben.

4. Emilio hat bestimmt, da die Kosten proportional der Schatzungsabwei- chung sind, d.h. die Kostenfunktionf sei deniert durch:

E³x^7!f(x_{) := 12}^Z

[x()^;!]²g(!)h(^j!)dd!:

5. Das mathematische Problem, das Emilio losen soll, lautet: Gesucht wird x²E, so da

inf^ff(x) :x²E^g: (1.1)

Losung des Problems:

In der Literatur der statistischen Entscheidungstheo- rie (z.B. M.H. DeGroot [DeG70] oder O. Berger [Ber85]) versteht man dieses Problem als Schatzung der Zufallsvariable !. Die optimale Schatzung von ! wird durch die sogenannteBayes Regel³ gegeben:

Satz 1.1.1 (Bayes Regel)

Die Losung des Problems (1.1) wird gegeben durch:

x() =

R

!g(!)h(^j!)d!

R

g(!)h(^j!)d! ^{fur alle2}; wobeig die a priori Dichte undhdie bedingte Dichte ist.

Der Beweis kann in [DeG70], S. 228 oder [Ber85], S. 161 gefunden werden.

In diesem Fall wird die a priori Dichte,g, deniert durch:

³! ^7!g(!) :=_]10¹;¹⁰³[(!) und die bedingte Dichte der Beobachtung,h, durch

^3f;!^g7!h(^j!) :=

n

!(1^;!)^(n;); d.h. fur jeden^2N[f0^gwird eine Losung gegeben durch:

2Diese Funktion entspricht der Binomialverteilung mit den Parameternn und !.

3Die Losung des Schatzungsproblems ist x, die als folgende Regel interpretiert werden kann:

Beobachtet man von n Kunden, die eine positive Antwort angeben, dann ist der Marktanteil istx() (d.h. die Funktion x in evaluiert).

x() =

R1

0 !ⁿ5_[10¹;¹⁰³](!)^o;n!(1^;!)^(n;)d!

R1 0

n5_[10¹;¹⁰³](!)^o;n!(1^;!)^(n;)d!

=

R 3

10

1

10

!!(1^;!)^(n;)d!

R 3

10

1

10

!(1^;!)^(n;)d!

Sofern das Integrationsinterval nicht gleich [0;1] ist, ist ein analytischer Aus- druck der Losung x schwierig zu nden, deswegen mussen wir die numerische Losung berechnen. Wie der Ausdruck der Losung zeigt, gibt es fur jede Anzahl von Telefonaten,n, verschiedene Losungen x. Furn= 50;75 und 100 wird die Losung folgendermaen dargestellt:

0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3

0 20 40 60 80 100

Abbildung 1.1: Resultaten Furn= 50;75 y 100.

Wenn n = 0 (es gibt keine Information durch die Telefonate) gilt, dann lautet die Bayes Regel:

x=

R 3

10

1

10

!d!

R 3

10

1

10

d! ^{= 15}:

Kostenberechnung:

Setzt man fur jedes n die zugehorige Losung x in die Kostenfunktion f ein, dann bekommt man die entsprechenden Kosten, die in der folgenden Tabelle zusammenfat sind:

14 Ziele und Schlufolgerungen

n f(x)10⁶

0 333

50 156

75 122

100 100

Tabelle 1.1: Kosten zu Verschiedenenn. Aus dem Resultat konnen wir ableiten:

1. die Information, die Emilio durch die Telefonate bekommt, wird durch die bedingte Dichte der Beobachtung,h, dargestellt;

2. je groer die Zahl der Telefonate n ist, desto kleiner die Kosten (oder Sachkosten);

3. da Ausgaben durch die Telefonate entstehen, gilt: je groer die Zahl der Telefonate nist, desto groer sind die Ausgaben, die durch das Erlangen von Information entstehen, d.h. die Informationskosten;

4. in diesem Kontext sollte eine richtige Entscheidung beide Kosten (Sach- kosten⁴ und Informationskosten) in Betracht ziehen.

Informationskosten/Informationswert:

Aktionen, die Information schaf- fen, sind im allgemeinen nicht kostenlos. Im Beispiel werden solche Aktionen

Telefonate sehr einfach bezeichnet, trotzdem konnen sie komplexere Akti- vitaten sein, z.B. Marketinguntersuchung, Beratung durch einen Spezialist, usw.

Folglich konnen andere Entwurfe der Dichteh(und naturlich von ) vorgestellt werden, z.B. eine einfache Frage nach der Meinung eines Spezialisten bringt In- formation bei, die durch eine diskrete Dichte reprasentiert werden kann. Wir interessieren uns fur die Frage nach dem Wert solcher Aktionen, d.h. den In- formationswert. Unsere Leitfrage lautet: Wieviel ist der Entscheidungstrager bereit zu bezahlen, um einen bestimmten Informationsgewinn zu bekommen?

Erweiterungen des Grundproblems:

Das stochastisch-quadratische Pro- blem wird in zwei Richtungen erweitert:

1. die Einschrankung des Entscheidungsraumes,E, wegen Ressourcenrestrik- tion, die durch lineare Gleichungen deniert wird: das Problem (Q1r), und 2. die Erweiterung des unrestringierten 1-ET-Problems (Q1) auf das unre- stringierte 2-ET-Problem (Q2), und die Erweiterung vom Problem (Q1r) auf das Problem (Q2r).

Folgende Tabelle fat die Art der Entscheidungssituationen, die in der vor- liegenden Arbeit behandeln werden, zusammen:

1-TD 2-TD Problema no restringido (Q1) (Q2) Problema restringido (Q1r) (Q2r)

Tabelle 1.2: Probleme, die in der Arbeit behandelt werden.

4Ab hier werden dieSachkostenalsKostenbezeichnet.

Das Problem mit n-Entscheidungstrager ist von der 2-ET Situation einfach abzuleiten, und wir werden sie hier nicht behandeln.

1.2 Ziel der Arbeit

Ziel der vorliegenden Arbeit ist es:

1. Entscheidungsmodelle aufzustellen, um folgende stochastisch-quadratische Entscheidungsprobleme zu betrachten: Die unrestringierten Entscheidungs- probleme fur einen (Q1) und zwei (Q2) Entscheidungstrager sowie die re- stringierten Entscheidungsprobleme in den entsprecheneden Situationen (Q1r) bzw. (Q2r);

2. die Losung jedes Entscheidungsproblems zu ermitteln; und 3. den Informationswert jedes Entscheidungsproblems zu berechnen.

Die Aufstellung des Modells wird im zweiten Kapitel behandelt, im dritten Kapitel werden die Losungen erlangt und im vierten Kapitel das Problem des Informationswertes gelost.

1.3 Methodologie

An dieser Stelle sollen noch einige wichtige Hinweise zur Methodologie gege- ben werden. Jedes Entscheidungsproblem wird auf drei Abstraktionsniveaus aufgestellt:

1. das stochastisches Niveau, auf dem konkrete Funktionen der a priori Dich- teg und der bedingten Dichte der Beobachtung,h, deniert werden. Das ist der Fall des Beispieles, das wir hier vorgestellt haben: gist die Uniform- undhdie Binomialdichte.

2. das verallgemeinerte stochastisches Niveau, auf dem allgemeine Funktio- nen sowohl der a priori als auch der bedingten Dichte deniert werden.

Das ist der Fall der Bayes Regel, die fur allgemeinere Funktionen von g undhgilt.

3. das abstrakte Niveau, auf dem wir Hilbertraume, abgeschlossene Un- terraume und konvexe Teilmengen u.a. identizieren. Die Probleme des verallgemeinerten stochastischen Niveaus (und damit das stochastisches Niveau selbst) konnen auf diesem Niveau reprasentiert werden.

Wir organisieren die Arbeit folgendermaen:

1. wir stellen ein konkretes Problem auf stochastischem Niveau (z.B. das hier aufgestellte Beispiel) auf,

2. das verallgemeinerte stochastische Problem wird von diesem Beispiel in- duziert,

3. das Abstraktionsverfahren setzt sich bis auf ein abstraktes Niveau fort, auf dem das Problem gelost und der Informationswert berechnet werden,

16 Ziele und Schlufolgerungen

4. die Losung des Problems und den Informationswert werden auf dem ver- allgemeinerten stochastischen Niveau ausgedruckt. Hier werden folgende bekannte Satze abgeleitet:

Problem (Q1): die Bayes Regel und dasSicherheitsaquivalent.

Problem (Q1r): wie bei (Q1), aber bei einer restringierten Situation.

Problem (Q2): Nashgleichgewicht.

Problem (Q2r): wie bei (Q2) aber bei einer restringierten Situation.

5. Beispiele werden von der Losung des verallgemeinerten stochastischen Ni- veaus deduziert, wobei die diskrete und die normale (gauss'sche) Dichte fur g undhbetrachtet werden. Die Resultate werden mit Hilfe des Software⁵ Maple V berechnen

1.4 Schlufolgerungen

Die wichtigsten Schlufolgerungen der vorliegenden Arbeit konnen in zwei Grup- pen klassiziert werden: Einerseits die Findung der wichtigsten Satze der sto- chastischen Entscheidungstheorie { die Bayesregel und das Prinzip der Sicher- heitsaquivalent { und der nicht-kooperativen Spieltheorie (das Nashgleichge- wicht), andererseits die Findung von Losungen im Bezug auf den Informations- wert (hinreichende Vorausetzungen fur die Nicht-Negativitat und Irrelevenz der Ressourcenrestriktion). Drei wichtige Satze der abstrakten Funktionalanalysis werden benutzt: der Projektionssatz, der Satz vom Abgeschlossenen Bild und der Satz von Lions-Stampacchia.

Hinsichtlich der Losung von stochastisch-quadratischen Entscheidungspro- blemen ergeben sich als Schlufolgerungen:

1. Jedes konvexe quadratische Minimierungsproblem kann als ein Aproxima- tionsproblem interpretiert werden. Die Bayesregel (Satz 3.2.2 und das Korollar 3.2.3) ist durch den Projektionssatz, der die Losung des Aproxi- mationsproblems angibt, abgeleitet. Es sei gegeben ein stochastisches Ziel (z.B. Nachfrage des Produkts einer Firma) u, das (stochastisch) partiell bekannt ist, dann ist die optimale Aproximationx vonu

x=P_Eu;

wobei P_E der Projektionsoperator auf den EntscheidungsraumE ist. Die Kosten betragen:

12^ku^k2;1₂^kx^k2_{= 12}^ku^k2;1₂^kPEu^k2; wobei ^kkder 2. Moment von xist.

2. Die Bayesregel unter Ressourcenrestriktion (deniert durch einen linearen OperatorAE,AEx =b) wird im Satz 3.2.10 ermitteln. Die Existenz der Losung wird durch den Projektionssatz gesichert. Die Losung wird durch

54. Student Version.

den Satz von dem Abgeschlossenen Bild und den Projektionssatz gefunden und charakterisiert durch die Existenz des Ressourcenpreisesp_E, so da⁶

p_E= (A_EA_E)^;1(P_Eu^;b) x=PEu^;A_Ep_E:

3. Das Nashgleichgewicht (Satz 3.3.8), durch welches Existenz und Eindeu- tigkeit gesichert wird, wenn der Interaktionsoperator M die Konsistenz- vorausetzung erfullt. Der Satz basiert auf dem Satz von Lions-Stampacchia [LS67], welcher wiederum auf dem Projektionssatz und dem Banach'schen Fixpunktssatz basiert. Der Satz von Lions-Stampacchia kann als eine Ver- allgemeinerung des Projektionssatzes betrachtet werden, falls die denier- te Bilinearform nicht symmetrisch ist. Mit Hilfe des Sicherheitsaquivalents- Prinzips wird das Problem auf den Entscheidungsraum reduziert.

4. Das restringierte Nashgleichgewicht (Satz 3.3.12), das auf den Satzen von Lions-Stampacchia und von dem Abgeschlossenen Bild basiert.

Im Bezug auf den Informationswert:

1. Der Informationswert fur das Problem (Q1) wird gegeben durch I1= 12^ky^k2;1₂^kx^k2_{= 12}^kPFu^k2;1₂^kPEu^k2;

wobei y die optimale Entscheidung fur das Problem fur den Raum F undx die Entscheidung unter dem Raum E sind. Man setzt voraus, da EF. Sowohl dieses Resultat als auch die Nicht-Negativitat vonI1, d.h.

ky^k2kx^k2, sind einfach zu beweisen (s. Satz 4.2.2).

2. Der Informationswert fur das Problem (Q1r) wird gegeben durch I1r=I1+ 12^kA_Ep_E^k2;1₂^kA_Fp_F^k2;

wobeiA_Ep_Edie Senkung der Produktion wegen der Ressourcenrestriktio- nen darstellt (s. Satz 4.2.3). Wir haben den Entscheidungsraum E mit dem Raum der beobachtbaren Ereignisse identiziert. Wenn das Bild des adjunktierten OperatorsA_F gleichEist, dann kann bewiesen werden, da I1=I1r, d.h. die Ressourcenrestriktionen sind irrelevant fur Bestimmung des Informationswertes (s. Satz 4.2.6).

3. Der Informationswert,I2, fur das Problem (Q2) wird im 4. Kapitel behan- delt. Obwohl mindestens einer der ET's einengroerenEntscheidungs- raum besitzt (d.h. giltEF undE⁶=F), kannI2negativ sein. Um die

6Mit Ausnahme des Satzes des Abgeschlossenen Bildes kann dieses Resultat mit Hilfe der Grundkentnisse der endlich dimensionalen linearen Algebra (s. z.B. G. Fisher [Fis95]) erhalten werden. Der Satz von dem Abgeschlossenen Bild sichert die Existenz des Preisesp_E, wenn das Bild des OperatorsAE abgeschlossen ist, was bei endlich dimensionalen Raumen immer gilt. Bei unendlich dimensionalen Raumen kann man die restringierte Bayesregel in J.P. Aubin [Aub79] (S. 275) nden, welche von uns erweitert wurde, um die Losung auf einen Unterraum (den Entscheidungsraum) zu betrachten. Wir stellen eine abstrakte Version des Sicherheitsaquivalents-Prinzips vor, was uns erlaubt, die stochastischen Ereignisse auf den UnterraumE zu betrachten, als ob alle Ereignisse nur in diesem Raum vorkommen wurden.

18 Ziele und Schlufolgerungen

Nicht-Negativitat zu sichern, ist erforderlich, da das Bild des Interakti- onsoperators M auf E (bzw. F) inE (bzw. F) enthalten ist (wir sagen:

M ist beobachtbar). Das Problem der Negativitat des Informationswertes bei der Spieltheorie wurde von Y.C. Ho [HS74] aufgestellt, dabei aber er wurde keine Voraussetzung zur Sicherung der Positivitat analysiert. S.

Satz 4.3.6.

4. Der Informationswert,I2r, fur das Problem (Q2r) wird ahnlich beim Infor- mationswertI1r(s. Satz 4.3.8) betrachten: wenn das Bild des adjunktier- ten OperatorsA_EgleichEist undMbeobachtbar ist, dann kann gesichert werden, daI2=I2r, d.h. die Ressourcenrestriktionen sind irrelevant fur die Bestimmung des Informationswertes.

Das Entscheidungsmodell

2.1 Die Grundelemente des Entscheidungsmo- dells

Im 1. Kapitel wurde ein Beispiel vorgestellt, in dem konkrete Dichte deniert wurden: g und h. Hier wird das allgemeine stochastische problem durch die Identikation folgender Komponenten aufgestellt:

1. Eine oene Menge ^R und ⁶=^;. Ein Element! ² heit

Natur- ereignis

. Man deniert die

a priori Dichte der Naturereignisse

^von

!²:

g: ^!R;!^7!g(!)^2R: Es wird gefordert:

g stetig auf undg(!)>0 fur alle!².

R

g(!)d!= 1.

Der Zielraum wird deniert durch:

U :=

u^2R :

Z

^ju(!)^j2g(!)d! <¹:

2. Die

Beobachtungsmenge

ist eine oene Menge ^R und ⁶= ^;. Ein Element ² heit

Beobachtung

^{. Die}

bedingte Dichte der Beobachtung

wird deniert durch

h: ^!R;^f!;^g7!h(^j!)^2R: Folgende Eigenschaften der Funktionhwerden gefordert:

hstetig auf undh(^j!)>0 fur alle^f!;^g2.

R

h(^j!)d= 1 fur alle!²¹.

1Folglich gilt nach dem Satz von Fubini (Eigenschaft (7) auf der Seite 116):

Z

g(!)h(^j!)d!d =^Z

Z

h(^j!)dg(!)d! =^Z

g(!)d! = 1:

20 Das Entscheidungsmodell

Der

Entscheidungsraum

,E, wird deniert durch:

E:=

x^2R :

Z

^jx()^j2g(!)h(^j!)dd! <¹

: 3. Der

Ereignisraum

^{istV :=L2(), d.h.}

V :=

v^2R :^Z

^jv(!;)^j2g(!)h(^j!)dd! <¹: 4. Die

Kostenfunktion

f :V ^!R

V ³x^7!f(x_{) := 12}^Z

[x()^;u(!)]²g(!)h(^j!)dd!;

mit dem

Ziel

u²U bekannt.

Bemerkung 2.1.1

Die RaumeU;EundV enthalten Funktionen die 2-integrierbar sind, d.h. die Varianz (oder 2. Moment) aller Zufallvariablen, die den entspre- chenden Raumen gehoren, ist endlich. Wir betrachten nur Zufallvariable, die Varianz besitzen. Das ist nicht nur intuitiv sinnvoll, sondern wird somit auch der mathematische Rahmen vereinfacht. Damit alle Raume Hilbertraume sind, die sehr gute Eigenchaften besitzen, um die Losungen der Entscheidungsproblems und Informationswertes zu erleichtern.

Bemerkung 2.1.2

Eine beliebige quadratische univariate Kostenfunktion, die konvex ist, kann zu unserer Formulierung reduziert werden. Zum Beweis be- trachten wir folgendes Problem:

min

Z

[x²()^;x()w(!) +v²(!)]g(!)h(^j!)dd!:x²E

; mit > 0 (damit wird die Konvexitat gesichert²) und w und v bekannten Funktionen mit endlicher Varianz. Dann ist dieses Minimierungsproblem gleich:

min

Z

[x²()^;x()w(!)]g(!)h(^j!)dd!:x²E

+

Z

v²(!)g(!)h(^j!)dd!;

oder

2min

1 2

Z

x²()^;x()w(!)=g(!)h(^j!)dd!:x²E +

Z

v²(!)g(!)d!;

2Fur alle^f!;^g2 denieren wir := w(!)^2Rund² :=v²(!). Wir schreiben auchx fur x(). Da > 0 gilt:

d²(x^2;x + ²)

dx² = d(2x^;)

dx = 2 > 0;

was die Konvexitat beweist.

mitu:=w=gilt

2min

Z

[x()^;u(!)]²g(!)h(^j!)dd!:x²E

; Z

u²(!)g(!)d!+

Z

v²(!)g(!)d!:

Der erste Term entspricht unserer Formulierung.

Bemerkung 2.1.3

Daraus folgt, da dieses Minimierungsproblem genauer ge- sagt ein Aproximationsproblem in der Sprache der statistischen Theorie ist:

gesucht wird die Entscheidung x, so da sie am besten u aproximmiert. Auf diesem Grund wird u als ein Ziel interpretiert, welches optimal aproxim- miert werden mu. Aus dem selben Grund versteht man unter dem Raum U denZielraum.

2.2 Das 1-Entscheidungstrager (ET)-Problem:

^(Q1)

und

^(Q1r)

2.2.1 Das Problem

^(Q1)

Die Beispiele der Arbeit sind aus der internationalen Lachsindustrie³ entnom- men. Die internationale Lachsproduktion hat sich in den letzten 20 Jahren sehr dynamisch verhalten: 1986 betrug die Weltproduktion das 14-fache der Pro- duktion von 1980, und die Weltproduktion von 1980 war achtmal groer als die Produktion von 1986. Die folgende Tabelle zeigt eine solche Steigerung⁴:

1980 1986 1996 4:8 68:7 531:7

Tabelle 2.1: Internationale Lachsproduktion in Tausend Tonne [KT].

Traditionell spielte Norwegen eine fuhrende Rolle. Dennoch integrierten sich in den letzten 20 Jahren neue Konkurrenten { besonders Chile { in den Markt.

Dies fuhrte zu starken Veranderungen in der Produktionsverteilung. Die folgen- de Tabelle illustriert dies:

Pas

1980 1986 1996

Chile ^{; ;} 13%

Norwegen 87% 68% 55%

Grobritannien 13% 15% 15%

Andere ^; 17% 17%

Total

100% 100% 100%

Tabelle 2.2: Herstellerverteilung der Internationalen Lachsproduktion.

3Wir beziehen uns besonders auf die LachsartAtlantic, die eine hohe wirtschaftliche Relevanz hat.

4Quelle von Internet Salmon Market Information Ser-

vice (http://www.iser.uaa.ala ska .edu), die auf verschiedenen Veroentlichungen aus Kanada, Japan, Russland un der Vereinigten Staaten beruht.

22 Das Entscheidungsmodell

Wegen des groen industriellen Dynamismus ist der Markt starken Schrankun- gen unterworfen. Diese mussen von den Lachshersteller beachtet werden. Sie mussen deshalb bei kurzfristigen Entscheidungen uber die Produktmenge fol- gende Faktoren beachten:

Die variable Produktionskosten - besonders die nicht qualizierten Ar- beitskrafte. Dieser Parameter wird alsObjektiv,u, modelliert.

Die Meerestemperatur, die schwer kontrollierbaren klimatischen Einussen unterworfen ist. Dieser Parameter wird durch dentechnologischen Ope- rator,A, modelliert.

Die Schatzung der internationalen Lachsnachfrage. Eine solche Schatzung erfordert mehrere Parameter, die wir im Fall des Monopols als determini- stisch betrachten. Im Fall des Dyopols wird er durch den Interaktions- operator,M, modelliert.

In diesem Abschnitt wird das Problem eines Monopols⁵, das das Produkti- onsniveau, x, fur das nachste Jahr entscheiden mu. Das Monopol kennt die Funktion der weltweiten Nachfrage. Die Lachsherstellung benotigt viele un- qualizierte Arbeitskrafte. Die Produktivitat hangt auerdem stark von der Meerestemperatur ab.

Die Kosten fur die Arbeitskrafte hangen vor allem von der wirtschaftlichen Lage ab. Wenn der wirtschaftliche Lagegutist, dann sind die Kosten fur die Arbeitskrafte hoch, im gegentaligen Fall, bei schlechten witschaftlichen La- ge, sind sie niedrig. Andererseits wird die hochste Lachsproduktivitat erreicht, wenn die Meerestemperatur 8 Grad Celcius betragt. Es ist doch voraussehbar, da die Wassertemperatur im nachsten Jahr um 2 Grad sinkt. Dies wurde die Produktion negativ beeinussen.

Das Problem wurde folgendermaen modelliert:

Das Monopol hat die (inverse) Weltnachfragefunktion analysiert. Sie ist gegeben durch:

p(x) := 1^;x;

wobei x die jahrliche Nachfrage an Lachs (in⁶ [CMKg]) ist. Die Verbrau- cher sind bereit den Preis 1^;x (in [$/Kg]⁷) fur die Lachsmenge x zu bezahlen.

Die Produktionskosten des Monopols in der Produktionsmenge sind linear,

d.h. C(x) :=!x+cf;

wobei ! >0 die variablen Produktionskosten (in [$/Kg]) und cf 0 die Fixkosten (in [CM$]) sind. Daraus folgt, da die totalen Kosten gegeben sind durch:

C(x)^;p(x)x=!x+cf^;(1^;x)x=x^2;x(1^;!) +cf:

5Wir werden den einzigen Hersteller oder Unternehmer auch alsMonopolbezeichnen.

6Um die Bezeichnung nicht zu erschweren, und um gleichzeitig die algebraische Vereinfa- chung beizubehalten, haben wir C^Mals 100 Millionen bezeichnet. Z.B. 1 [C^MKg] entsprechen 100:000 Tonnen.

7Man sollte beachten, da 1 [$/Kg] gleich 1^{hCCMKg$ i}ist.

Ohne die allgemeine Gultigkeit des Problems zu vernachlassigen, konnen wir annehmen, da die Fixkosten gleich 0 [CM$] sind, dann betragt sich der Nutzen auf:

U(x) :=x(1^;!)^;x²:

Das Monopol mu entscheiden, wieviel es produzieren mu, um die Kosten zu minimieren. Dies bedeutet, dax gefunden werden mu, so da

x^2;x(!^;1) = minx^2;x(1^;!) :x0 : Wir denierenu(!) := ^1;₂^!, daraus folgt der Nutzen

U(x) = (1^;!)x^;x²; und f(x_{) := 12 (}x^;u(!))²:

Es ist klar, da das Monopol das folgende Problem losen sollte: x zu nden, so da

f(x) = min

1

2 (x^;u(!))²:x^2R

:

Die optimale Losung des Problems wird gegeben durch x=u(!) = 1^;!

2 :

Sie ist der Losung, die durch dieGleichung der Grenzkosten und Grenzein- kommenerhalten wird, gleich:

!= 1^;2x:

Die folgende Tabelle zeigt die Entscheidungen und die entsprechenden Nuntzen fur verschiedene variable Kosten:

Variable Kosten (!) [$/Kg] Entscheidungx[T] NutzenU(x) [K$]

0:33 33:333 11:111

0:67 16:667 2:778

Tabelle 2.3: Entscheidung und Nutzen Gema der Variablen Kosten.

Charakterisierung der Raume

^V

und

^E

:

In diesem Abschnitt stellen wir die 1-ET-Probleme auf. Dafur beweisen wir folgende Lemmas:

Lemma 2.2.1

Der EreignisraumV ist ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt

h;ⁱ:V V ^!Rdeniert durch

hw;vⁱ:=

Z

w(!;)v(!;)g(!)h(^j!)dd!fur alle^fw;v^g2V:

24 Das Entscheidungsmodell Beweis:

1. Wir beweisen, da die DenitionV :=L²() wohl deniert ist. Dafur mu man beweisen, da ^R oen ist, und da die Funktion gh stetig auf ist. Dann kann man die Denition der 2-integrierbaren Funktionen anwenden, welche im Anhang A.3.6 gegeben wird. V so deniert, ist ein Hilbertraum.

3. Auerdem, dag stetig auf ist, undhstetig auf , ist das Produktgh

auch stetig auf . ²

Lemma 2.2.2

Der EntscheidungsraumE ist ein abgeschlossener, nicht leerer Unterraum von dem EreignisraumV.

Beweis:

1. Es ist klar, da die Intersektion zweier Vektorraume auch ein Vektorraum ist, da E =V ^\R gilt, und V und^R Vektorraume sind, folgt, daE ein Unterraum vonV ist. Auerdem gilt 0²E, so daE⁶=^;

2. Die Intersektion zweier abgeschlossener Mengen ist auch eine abgeschlossene Menge (Lemma A.1.4). DaV und^R abgeschlossen sind, gilt, daE=V ^\R

abgeschlossen ist. ²

Das Abstrakte Modell:

Wir verallgemeinern das verallgemeinerte stocha- stische Entscheidungsmodell auf das abstrakte Niveau. So haben wir folgende Komponenten:

1. Der Ereignisraum (V;^h;ⁱ) ein Hilbertraum mit der assozierten Norm

kk:=^ph;ⁱ:

v ² V ist ein beliebiges

Ereignis

. Der Entscheidungsraum, E, ist ein abgeschlossener, nicht leerer Unterraum von V. Ein Element x von E heit

Entscheidung

. Der ZielraumUmitU V. Ein beliebiges Element uvonU heit Ziel.

2. Der

Ressourcenraum

^Rist ein Hilbertraum. Seienb²Rdie vefugbaren Ressourcen undA²L(V;R) ein surjektiver Operator, den wir

technolo- gischen Operator

nennen. Man deniert die

restringierte Entschei- dungsmenge

^{durchK:=fv2V :Av =bg:}

3. Die Kostenfunktion wird gegeben durchf :V ^!R V ³v^7!f(v_{) := 12}^kv^;u^k2; wobei u²U ein bekanntes Ziel ist.

Lemma 2.2.3

Seien ein EreignisraumV, die verfugbare Ressourcebvon einer Ressourcenmenge und der technologische OperatorA. Dann ist die restringierte EntscheidungsmengeK:=^fv²V :Av=b^gV eine abgeschlossene, konvexe Teilmenge vonV.

Beweis:

1. Konvexitat: Seien x1;x2 ² V, so da Ax1 = Ax2 = b, und ²[0;1], dann gilt wegen der Linearitat vonA:

A(x1+ (1^;)x2) =Ax1+ (1^;)Ax2=b:

2. Abgeschlossenheit: Sei (xn)n^2Neine Folge inK, d.h. Axn =bfur allen^2N. Konvergiert die Folge zux²V und, daAstetig ist, gilt Ax=b, d.h. x ²K.

Damit ist das Lemma vollstandig bewiesen. ²

Denition 2.2.4 (Problem

(Q1)

)

Seien die Elemente ^fV;E;u^g. Das (qua- dratisches)

1-ET-Problem

(Q1) wird deniert durch: Gesucht wirdx²V, so

da f(x) = min

1

2^kx^;u^k2:x²E:

Beispiel A, Monopol mit Partiell Bekannten Variable Kosten

Jetzt nehmen wir an, da das Monopol seine variablen Kosten vor der Entscheidung nur partiell kennt. Vor der Entscheidung kennt das Monopol partiell die variable Kosten. Das Monopol glaubt, da die variable Kosten die folgenden Werte haben konnen (in [$=Kg]):

!1= 23 y !2= 13:

Das Monopol glaubt a priori, da die folgende Wahrscheinlichkeitsvertei- lung existiert:

g(!1) := 1^;g(!2) :=²]0;1[: Daraus folgt:

u(!1) = 12

1^;2 3

= 16 y u(!2) = 12

1^;1 3

= 13:

Das Monopol stellt einen Experten ein, der die variablen Kosten abschatzen soll, bevor man eine Entscheidung trit. Der Berater ersichert, da zwi- schen der allgemeinen witschaftlichen Lage der nachsten Periode und den variablen Kosten eine stochastische Beziehung besteht. Der Berater rat, den Zustand der witschaftsprognosen fur die folgende Periode zu beob- achten, bevor eine Entscheidung getroen wird. Er deniert die Variable 1 alsgute wirtschaftliche Lage und 2 als schlechte wirtschaftliche Lage. Auerdem stellt er folgende stochastische Beziehung auf:

Gut1 Schlecht2

Hohe Variable Kosten !1 1^; Niedrige Variable Kosten!2 1^;

Tabelle 2.4: Stochastische Abhangigkeit Zwischen Variablen Kosten und Wirt- schaftlicher Lage.

26 Das Entscheidungsmodell

Die Information des Beraters wird folgendermaen aufgefasst: wenn die variablen Kostenhoch(!1) sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit, eine wirtschaftliche Lagegut(1) zu beobachten, gleich, und 1^;, wenn eine wirtschaftliche Lageschlecht(2) beobachtet wird. Es ist klar, da

; ²]0;1[. Durch die Tabelle wird die Funktionh(h(_j^j!_i) dargestellt, wobei i;j^2f1;2^g).

Nach der Denition ist V =

v^2R :

Z

^jv(;!)^j2g(!)h(^j!)dd! <¹:

Gilt =^f!1;!2^gund =^f1;2^g, so ist der Wert der Funktionv (auf deniert) als ein Element von ^R4 darstellbar. In der Tat, wenn vij :=v(!i;j) und g(!i) =:gi y h(j^j!i) =:hji deniert werden, dann gilt

V

8

<

:

(v11;v12;v21;v22)^{T 2R4} : ^X

i;j^2f1;2^g

jvij^j2gihji<¹

9

=

;

=^R4 gilt.

Die gleiche Analyse wird fur den Entscheidungsraum,E, durchgefuhrt:

E:=V ^\R =

x^2R:

Z

^jx()^j2g(!)h(^j!)dd! <¹

8

<

:

(x1;x2;x1;x2)^{T 2R4} : ^X

i^2f1;2^g

jxj^j2gihji<¹

9

=

;

= span(1;0;1;0)^T;(0;1;0;1)^T : Das Zielraum wird gegeben durch:

U := span(1;1;0;0)^T;(0;0;1;1)^T : Das Skalarprodukt wird aufV deniert und ist gegeben durch

V V ^3fv;w^g7!hv;wⁱ:=

Z

v(!;)w(!;)g(!)h(^j!)dd!

X

i;j^2f1;2^gv(!i;j)w(!i;j)g(!i)h(j^j!i)

= ^X

i;j^2f1;2^gvijwijgihji

=v^TBw;

wobei

B:= diag(;(1^;);(1^;)(1^;);(1^;)): D.h. die zu minimierende Funktion betragt:

f(x_{) = 12}^kx^;u^k2_{= 12(}x^;u)^TB(x^;u):

Beispiel B:

und sind die reelle Menge und g und h sind die normale Dichte. Emilio mu folgendes Entscheidungsproblem losen:

1. Er mu den Potentialverkauf der Firma schatzen. Nach einer statistisch historischen Untersuchung hat er berechnet, da die Verkaufe, !, eine normale (gausische) Dichte mit Parametern!und²_!(mit_!>0) haben, dies setzt voraus, da die Menge der Naturereignisse als :=]^;1;¹[ deniert wird. Er nimmt solche Verteilung als die a priori Dichte von ! an, d.h.

³!^7!g(!) := 1^p2!e^;(!2;!2!)2:

2. Die letzten Resultate eines Marketingsberaters geben an, da der Total- verkauf, der durch seine Untersuchung beobachtet wird, , eine normale Dichte mit Parameter⁸! und₂₁ haben, d.h.

^3f!;^g7!h(^j!) := 1^p21e^;(;2!21)2; wobei :=]^;1;¹[ und1>0.

2.2.2 Das Problem

^(Q1r⁾

Beispiel A, Restringiertes Deterministisch Monopol

Wir nehmen hier an, da die variablen Kosten dem Monopol bekannt sind, und sie ¹₃ betragen, so dau=¹₃ gilt.

Nehmen wir der allgemeinen Fall an, da ein HerstellernGuter erzeugt.

Dafur braucht ermverschiedene Ressourcen. Jedes Element der technolo- gischen Matrix, (A)ij, zeigt an, wieviele Ressourcenizur Herstellung des Produktsjgebraucht werden. Oensichtlich gilt (A)ij0. Auerdem ist die verfugte Ressourcenmenge von i b_i 0 ist, so da durch den Vektor (m-dimensional),b, alle verfugbaren Ressourcen dargestellt werden. xisei die Produktionsmenge des Produktsi, so da der Vektor (n-dimensional) x die Menge aller herzustellenden Guter darstellt. Die Ressourcenrestrik- tion wird dargestellt durch:

Ax=b:

Weil das Monopol nur ein Produkt herstellt und nur uber eine Ressource verfugt, istA als ein 11-Matrix, d.h.

A:= [!];! >0:

Die partiell bekannte Variable haben wir generell als ! bezeichnen⁹. In diesem Problem stellt ! die Technologie (in Hektar pro Produktion [H=CMKg]) dar. Das Monopol wei, da die Meerestemperatur 8 Grad Celcius betragt, dann braucht man 3 [H] zur Herstellung von 100:000 [T]

Lachs jahrlich (d.h.,!= 3 [H=CMKg]). Anderseits, betragt die Meertem- peratur 10 Grad Celcius, dann ist!= 6 [H=CMKg]. Das Monopol besitzt 1 [H] der fur die Produktion bereit steht.

8Durch eine unabhangige Stichprobe mit der Realisierung von !, kann man (x¹;::: ;xn) erlangen. Dann ist =_n^1P_ni⁼¹xiund¹²= _n;1¹

Pni⁼¹(xi^;)².

9Erinneren wir uns, da! die variablen Kosten im letzten Problem bezeichnet hat.

28 Das Entscheidungsmodell

Es ist klar, da das Monopol in der restringierten Situation x = _b! her- stellen wird. Gilt b := 1, dann wird sich die Produktion des Monopols

auf: x= 1!:

Der Nutzen betragt sich auf:

U(x) = (1^;x)x^;1₃x_{= 23}! ^;!¹²:

Die folgende Tabelle zeigt die Entscheidung und Nutzen fur zwei verscie- dene Produktivitaten:

Productivitat (!) [H=CMKg] Entscheidungx[T] NutzenU(x) [K$]

3 33:333 11:111

6 16:667 8:333

Tabelle 2.5: Entscheidung und Nutzen Gema der Produktivitat.

Denition des Problems

(Q1r)

:

Denition 2.2.5 (Problema

^(Q1r)

)

Seien die Komponenten^{10 f}V;E;u;K^g. Das (quadratisches)

restringiertes 1-ET-Problem

^(Q1r) wird deniert durch:

Findenx²V, so da

f(x) = min

1

2^kx^;u^k2:x²E^\K

:

Wir interessieren uns fur Operatoren, die im allgemeinen stochastisch sind.

Andererseits wollen wir die Menge von Ressourcen deterministisch betrachten, d.h. R := ^R. Damit vereinfachen wir das Problem einerseits, andererseits lassen sich noch eine groe Zahl von Anwendungen betrachten¹¹. Mit dieser Betrachtungen modellieren wir den technologischen Operator durch:

y:=Ax=^Z

^A(!)x(!;)g(!)h(^j!)dd!fur allex²V;

wobei^12Aerfullt:

Z

^jA(!)^j2g(!)h(^j!)dd!=

Z

^jA(!)^j2g(!)d! <¹: Sei

C:=

Z

^jA(!)^j2g(!)d!

1

2:

10Die MengeKV wird deniert durch einen surjektiven linearen Operator A²L(V;R), wobeiR, der Raum der Ressourcen, ein Hilbertraum ist, und ein Element b²R, so da

K :=^fx²V : Ax = b^g:

11Die auf das abstrakte Niveau bekommende Resultate gelten jedoch auf einen allgemeineren Fall.

12

Aheit^Kerndes OperatorsA.