• Reynoldszahl in Wasser: Re

Aufgabe 1

Experimentelle Daten aus einem Wasserkanal f ¨ur die Umstr ¨omung von Kugeln und Ellipsoiden sind gegeben. Die Experimente werden verwendet, um die Kr ¨afte auf Kugeln und Ellipsoiden in Luft vor- herzusagen. Die folgenden Werte sind gegeben:

Dichte [kg

m³] Viskosit ¨at [ Pas ] Durchmesser [m]

Wasserkanal 1000 1.5· 10⁻³ 1

Luft 1.225 17 ·10⁻⁶ 5

Die Str ¨omungsgeschwindigkeit im Wasserkanal betr ¨agt u = 15 m/s. 5 Modelle mit unterschiedlichen L ¨angen wurden getestet. Die gemessenen Kr ¨afte stehen in folgender Tabelle:

L ¨ange [m] F_D [N]

1 17670 ⋆ 2 8390 3 8217 ⋆ 6 11194 10 17670 ⋆

Aufgabe 1

a) Berechnen Sie die Kraft in Luft auf einen Ellipsoiden mit dem Durchmesser D = 5 m und einer L ¨ange L = 15 m bei einer Geschwindigkeit u¹ = 100 km/h und bei u² = 180 km/h.

b) Berechnen Sie den Widerstandskoeffizienten der experimentellen Daten als Funktion der Stirn- fl ¨ache und als Funktion der Referenzfl ¨ache A_ref = V^2/3. Das Volumen eines Ellipsoiden wird mit den Halbachsen V = ⁴₃πabc berechnet. Zeichnen Sie ihr Ergebnis in ein Diagramm.

c) Die Messergebnisse werden verwendet, um das Minimum f ¨ur den Widerstandsbeiwert zu bestim- men. Nehmen Sie an, dass die Beziehung zwischen der Schlankheit und dem Widerstandsbei- wert, basierend auf der Stirnfl ¨ache durch eine Parabel zweiten Grades beschrieben werden kann und berechnen Sie aus den Messwerten das Minimum.

d) Die Messergebnisse werden verwendet, um das Minimum f ¨ur den Widerstandsbeiwert zu bestim- men. Nehmen Sie an, dass die Beziehung zwischen der Schlankheit und dem Widerstandsbei- wert, basierend auf der Referenzfl ¨ache A_ref = V^2/3 durch eine Parabel zweiten Grades beschrie- ben werden kann und berechnen Sie aus den Messwerten das Minimum.

e) Drei der gemessenen Werte (markiert mit ⋆) werden verwendet, um eine exakte Parabel zweiten Grades zu bestimmen. Bestimmen Sie die n ¨otigen Koeffizienten und berechnen Sie das Minimum.

Aufgabe 1

a) • Schlankheitsgrad: L/D = 3

• Reynoldszahl in Wasser: Re

=

W

=

= 10

• Reynoldszahl in Luft: Re

=

A

=

≈ 10

• Reynoldszahl in Luft: Re

=

A

=

≈ 1.8 · 10

= ⇒ ZU GROSS c

= F

1

2

̺u

D

= 8217

1

2

· 1000 · 15

1

= 0.093 F

= c

· 1

2 ̺u

π

4 D

= 0.093 · 1

2 1.225 · 27.8

π

4 5

= 864.4N

Aufgabe 1

b)

c

= F

1

2

̺u

A

c

= F

1

2

̺u

A

A

= π

4 D

A

=







1

6 πD

· L







2/3

L ¨ange [m] F

[N] A

[m]

c

Vol [m]

A

[m]

c

1 17670 0.785 0.2 0.52360 0.64963 0.24178

2 8390 0.785 0.095 1.04720 1.03122 0.07232

3 8217 0.785 0.093 1.57080 1.35128 0.05405

6 11194 0.785 0.127 3.14159 2.14503 0.04639

10 17670 0.785 0.2 5.23599 3.01531 0.05209

Aufgabe 1

0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c_d

slenderness

front surface reference area

Aufgabe 1

c) Methode der kleinsten Fehlerquadrate

• Minimiere den Fehler der Ansatzfunktion S =

i=1

r

mit r

= y

− f (x

)

• In diesem Fall

f (x

) = a · x

+ b · x

+ c mit n = 5 – x

: Schlankheitsgrad

– y

: Widerstandskraft oder -beiwert

– x

und y

sind bekannte Gr ¨oßen −→ 3 Unbekante: a, b, c

• Berechnung der Unbekannten, sodass S ein Minimum hat.

• Minimum einer Funktion mehrere Ver ¨anderlicher −→ Die erste Ableitung muss

f ¨ur alle Variablen Null sein.

Aufgabe 1

S (a, b, c) =

i=1

y

−

a · x

+ b · x

+ c

∂S (a, b, c)

∂a =

i=1

− 2x

y

−

a · x

+ b · x

+ c

= 0

∂S (a, b, c)

∂b =

i=1

− 2x

y

−

a · x

+ b · x

+ c

= 0

∂S (a, b, c)

∂c =

i=1

− 2

y

−

a · x

+ b · x

+ c

= 0

5

P

i=1

x

y

−

a · x

+ b · x

+ c

= 0 a

i=1

x

+ b

i=1

x

+ c

i=1

x

=

i=1

x

y

5

P

i=1

x

y

−

a · x

+ b · x

+ c

= 0 = ⇒ a

i=1

x

+ b

i=1

x

+ c

i=1

x

=

i=1

x

y

5

P

i=1

y

−

a · x

+ b · x

+ c

= 0 a

i=1

x

+ b

i=1

x

+ 5 · c =

i=1

y

Aufgabe 1

lineares Gleichungssystem











































5

P

i=1

x

i=1

x

i=1

x

5

P

i=1

x

i=1

x

i=1

x

5

P

i=1

x

i=1

x

5



























































a b c

















=











































5

P

i=1

x

y

5

P

i=1

x

y

5

P

i=1

y











































x y

1 0.2 2 0.095 3 0.093 6 0.127 10 0.2

L ¨osung mit Cramer’sche Regel

Aufgabe 1

5

X

i=1

x

= 22.

i=1

x

= 150.

i=1

x

= 1252

i=1

x

= 11394

5

X

i=1

y

= 0.7146099

i=1

x

y

= 3.4288622

i=1

x

y

= 25.975976 a = 4.475353E − 003

b = − 4.445169E − 002 c = 0.204248

f (x) = 4.475353E − 003 · x

− 4.445169E − 002 · x + 0.204248

df

dx = 0 = ⇒ x = 4.445169E − 002

2 · 4.475353E − 003 = 4.966278

f (x) = 9.3869E − 002

Aufgabe 1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c_d

slenderness

front surface reference area 0.004475353*x**2-0.04445169*x+0.20424886 0.0057023215*x**2-0.076713179*x+0.25979392265

Aufgabe 1

d)

a = 5.7023215E − 003 b = − 7.671317E − 002 c = 0.2597939

f (x) = 5.7023215E − 003 · x

− 7.6713179E − 002 · x + 0.2597939

df

dx = 0 = ⇒ x = 7.671317E − 002

2 · 5.7023215E − 003 = 6.7264866 f (x) = 1.7888355E − 003

Hinweis zu e: exakte L ¨osung an Stelle der Methode der kleinsten Quadrate

Aufgabe 1

Experimentelle Daten aus einem Wasserkanal f ¨ur die Umstr ¨omung von Kugeln und Ellipsoiden sind gegeben. Die Experimente werden verwendet, um die Kr ¨afte auf Kugeln und Ellipsoiden in Luft vor- herzusagen. Die folgenden Werte sind gegeben:

Dichte [kg

m³] Viskosit ¨at [ Pas ] Durchmesser [m]

Wasserkanal 1000 1.5· 10⁻³ 1

Luft 1.225 17 ·10⁻⁶ 5

Die Str ¨omungsgeschwindigkeit im Wasserkanal betr ¨agt u = 15 m/s. 5 Modelle mit unterschiedlichen L ¨angen wurden getestet. Die gemessenen Kr ¨afte stehen in folgender Tabelle:

L ¨ange [m] F_D [N]

1 17670 ⋆ 2 8390 3 8217 ⋆ 6 11194 10 17670 ⋆

Aufgabe 1

a) Berechnen Sie die Kraft in Luft auf einen Ellipsoiden mit dem Durchmesser D = 5 m und einer L ¨ange L = 15 m bei einer Geschwindigkeit u¹ = 100 km/h und bei u² = 180 km/h.

b) Berechnen Sie den Widerstandskoeffizienten der experimentellen Daten als Funktion der Stirn- fl ¨ache und als Funktion der Referenzfl ¨ache A_ref = V^2/3. Das Volumen eines Ellipsoiden wird mit den Halbachsen V = ⁴₃πabc berechnet. Zeichnen Sie ihr Ergebnis in ein Diagramm.

c) Die Messergebnisse werden verwendet, um das Minimum f ¨ur den Widerstandsbeiwert zu bestim- men. Nehmen Sie an, dass die Beziehung zwischen der Schlankheit und dem Widerstandsbei- wert, basierend auf der Stirnfl ¨ache durch eine Parabel zweiten Grades beschrieben werden kann und berechnen Sie aus den Messwerten das Minimum.

d) Die Messergebnisse werden verwendet, um das Minimum f ¨ur den Widerstandsbeiwert zu bestim- men. Nehmen Sie an, dass die Beziehung zwischen der Schlankheit und dem Widerstandsbei- wert, basierend auf der Referenzfl ¨ache A_ref = V^2/3 durch eine Parabel zweiten Grades beschrie- ben werden kann und berechnen Sie aus den Messwerten das Minimum.

e) Drei der gemessenen Werte (markiert mit ⋆) werden verwendet, um eine exakte Parabel zweiten Grades zu bestimmen. Bestimmen Sie die n ¨otigen Koeffizienten und berechnen Sie das Minimum.

Aufgabe 1

a) • Schlankheitsgrad: L/D = 3

• Reynoldszahl in Wasser: Re

=

W

=

= 10

• Reynoldszahl in Luft: Re

=

A

=

≈ 10

• Reynoldszahl in Luft: Re

=

A

=

≈ 1.8 · 10

= ⇒ ZU GROSS c

= F

1

2

̺u

D

= 8217

1

2

· 1000 · 15

1

= 0.093 F

= c

· 1

2 ̺u

π

4 D

= 0.093 · 1

2 1.225 · 27.8

π

4 5

= 864.4N

Aufgabe 1

b)

c

= F

1

2

̺u

A

c

= F

1

2

̺u

A

A

= π

4 D

A

=







1

6 πD

· L







2/3

L ¨ange [m] F

[N] A

[m]

c

Vol [m]

A

[m]

c

1 17670 0.785 0.2 0.52360 0.64963 0.24178

2 8390 0.785 0.095 1.04720 1.03122 0.07232

3 8217 0.785 0.093 1.57080 1.35128 0.05405

6 11194 0.785 0.127 3.14159 2.14503 0.04639

10 17670 0.785 0.2 5.23599 3.01531 0.05209

Aufgabe 1

0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c_d

slenderness

front surface reference area

Aufgabe 1

c) Methode der kleinsten Fehlerquadrate

• Minimiere den Fehler der Ansatzfunktion S =

i=1

r

mit r

= y

− f (x

)

• In diesem Fall

f (x

) = a · x

+ b · x

+ c mit n = 5 – x

: Schlankheitsgrad

– y

: Widerstandskraft oder -beiwert

– x

und y

sind bekannte Gr ¨oßen −→ 3 Unbekante: a, b, c

• Berechnung der Unbekannten, sodass S ein Minimum hat.

• Minimum einer Funktion mehrere Ver ¨anderlicher −→ Die erste Ableitung muss

f ¨ur alle Variablen Null sein.

Aufgabe 1

S (a, b, c) =

i=1

y

−

a · x

+ b · x

+ c

∂S (a, b, c)

∂a =

i=1

− 2x

y

−

a · x

+ b · x

+ c

= 0

∂S (a, b, c)

∂b =

i=1

− 2x

y

−

a · x

+ b · x

+ c

= 0

∂S (a, b, c)

∂c =

i=1

− 2

y

−

a · x

+ b · x

+ c

= 0

5

P

i=1

x

y

−

a · x

+ b · x

+ c

= 0 a

i=1

x

+ b

i=1

x

+ c

i=1

x

=

i=1

x

y

5

P

i=1

x

y

−

a · x

+ b · x

+ c

= 0 = ⇒ a

i=1

x

+ b

i=1

x

+ c

i=1

x

=

i=1

x

y

5

P

i=1

y

−

a · x

+ b · x

+ c

= 0 a

i=1

x

+ b

i=1

x

+ 5 · c =

i=1

y

Aufgabe 1

lineares Gleichungssystem











































5

P

i=1

x

i=1

x

i=1

x

5

P

i=1

x

i=1

x

i=1

x

5

P

i=1

x

i=1

x

5



























































a b c

















=











































5

P

i=1

x

y

5

P

i=1

x

y

5

P

i=1

y











































x y

1 0.2 2 0.095 3 0.093 6 0.127 10 0.2

L ¨osung mit Cramer’sche Regel

Aufgabe 1

5

X

i=1

x

= 22.

i=1

x

= 150.

i=1

x

= 1252

i=1

x

= 11394

5

X

i=1

y

= 0.7146099

i=1

x

y

= 3.4288622

i=1

x

y

= 25.975976 a = 4.475353E − 003

b = − 4.445169E − 002 c = 0.204248

f (x) = 4.475353E − 003 · x

− 4.445169E − 002 · x + 0.204248

df

dx = 0 = ⇒ x = 4.445169E − 002

2 · 4.475353E − 003 = 4.966278

f (x) = 9.3869E − 002

Aufgabe 1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c_d

slenderness

front surface reference area 0.004475353*x**2-0.04445169*x+0.20424886 0.0057023215*x**2-0.076713179*x+0.25979392265

Aufgabe 1

d)

a = 5.7023215E − 003 b = − 7.671317E − 002 c = 0.2597939

f (x) = 5.7023215E − 003 · x

− 7.6713179E − 002 · x + 0.2597939

df

dx = 0 = ⇒ x = 7.671317E − 002

2 · 5.7023215E − 003 = 6.7264866

f (x) = 1.7888355E − 003

Aufgabe 1

e)

Hinweis zu e: exakte L ¨osung an Stelle der Methode der kleinsten Quadrate

•

f (x

) = a · x

+ b · x

+ c mit n = 3 – x

: Schlankheitsgrad oder L ¨ange

– F : Widerstandskraft

– x

und F sind bekannte Gr ¨oßen −→ 3 Unbekannte: a, b, c

• lineares Gleichungssystem

F (x

= 1) = a ∗ x

+ b ∗ x

+ c = 17670

F (x

= 3) = a ∗ x

+ b ∗ x

+ c = 8217

F (x

= 10) = a ∗ x

+ b ∗ x

+ c = 17670

Aufgabe 1

F (x

= 1) = 1 · a + 1 · b + c = 17670 (1) F (x

= 3) = 9 · a + 3 · b + c = 8217 (2) F (x

= 10) = 100 · a + 10 · b + c = 17670 (3)

(2) − (1) : 8 · a + 2 · b = − 9453 (4) (3) − (2) : 91 · a + 7 · b = 9453 (5) 2 ∗ (5) − 7 ∗ (4) : 126 · a = 85077 (6)

a = 85077/126 = 675.214 (7)

b = (9453 − 91 · 675.214)/7 = − 7427.357 (8)

c = 17670 − 675.214 − ( − 7427.357) = 24422.143 (9)

Aufgabe 1

F = 675.214 ∗ x

− 7427.357 ∗ x + 24422.143 (10)

dF

dx = 2 · 675.214 · x − 7427.357 = 0 = ⇒ x = 7427.357

2 · 675.214 = 5.5 (11)

= ⇒ F (x) = 675.214 · 5.5

− 7427.357 · 5.5 + 24422.143 = 3996.903 (12)

0 5000 10000 15000 20000 25000

0 2 4 6 8 10

675.214*x**2 - 7427.357*x+24422.143

"DATA"

Aufgabe 2

Die Geschwindigkeitsverteilung im Str ¨omungsfeld um einen stumpfen K ¨orper wurde vermessen. Aus den Daten wurde analysiert, dass sich das symmetrische Feld in der folgenden Form schreiben l ¨asst:

u(y)

U^∞ = − 1

2500 × y d

!3

+ 3

500 × y d

!2

+ 0.8 (1)

f ¨ur alle Werte 0 < y/d < 10 zwischen den Punkten B und C.

Berechnen Sie den Volumenstrom und die Impulsfl ¨usse f ¨ur die Fl ¨achen AD, AB, CD und BC.

Bestimmen Sie die Widerstandskraft und den Widerstandsbeiwert.

Aufgabe 2

• Volumenstrom :

Q˙ = ^Z_A~v ·~n dA

• Impulsfluss :

I˙ = ̺^Z_A~v(~v · ~n)dA

Aufgabe 2

AD

• Volumenstrom:

Q˙ = −b

10d

Z

−10d

U^∞dy = −20bdU^∞

• X-Impuls:

I˙ = −b̺

10d

Z

−10d

U∞² dy = −20̺bdU∞²

Aufgabe 2

BC

• Volumenstrom:

Q˙ = b

10_Z d

−10d

u(y)dy = 2bU^∞

10_Z d 0



− 1

2500 × y d

!3

+ 3

500 × y d

!2

+ 0.8



 dy =

= 2bdU^∞



− 1 10000

y d

!4

+ 1

500 × y d

!3

+ 0.8 y d

!



10d

0

= 2bdU^∞(−1 + 2 + 0.8∗ 10) = 18bdU^∞

• X-Impuls:

I˙ = ̺b

10d

Z

−10d

u(y)²∞dy = 2̺bU∞² 10d

Z

0



− 1

2500 × y d

!3

+ 3

500 × y d

!2

+ 0.8





2

dy =

= 2̺bU∞² 10d

Z

0





1 6.25 ×10⁶

y d

!6

+ 36 10⁶

y d

!4

+ 0.64− 6 1.25× 10⁶

y d

!5

− 1.6 2500

y d

!3

+ 4.8 500

y d

!2^

dy =

= 2̺bdU∞²





1

7× 6.25· 10⁶ y d

!7

+ 36 5 · 10⁶

y d

!5

+ 0.64 y d

!

− 1

1.25· 10⁶ y d

!6

− 1.6 10⁴

y d

!4

+ 1.6 500

y d

!3^



10d

0

=

= 2̺bdU∞²







10⁷

7× 6.25· 10⁶ + 36 · 10⁵

5 · 10⁶ + 6.4 − 1 · 10⁶

1.25· 10⁶ − 1.6 · 10⁴

10⁴ + 1.6 · 10³ 500





 = 16.297 ̺bdU∞²

Aufgabe 2

AB + DC

• Volumenstrom:

Q˙ = −Q˙_AD − Q˙_BC = 2bdU^∞

• X-Impuls:

I˙ = ˙Q· U^∞ = 2̺bdU∞²

Widerstandskraft:

D = ̺b

10d

Z

−10d

u(y) (U^∞ − u(y)) dy = −^XI˙ = 1.703̺bdU∞²

Kraftbeiwert:

c_D = D

1

2̺bdU∞²

= 3.406

Aufgabe 4

1. Auf dem Dach eines Lieferwagens soll ein Werbeschild angebracht werden. Wie groß ist der zus ¨atzliche Widerstand und die ben ¨otigte Leistung, wenn bei 50 km/h die Platte

• parallel zur Fahrtrichtung (turbulent, ohne Wandrauigkeit)

• normal zur Fahrtrichtung

auf dem Dach befestigt wird. Das Schild ist rechteckig und hat eine L ¨ange von 1,5 m und eine H ¨ohe von 0,5 m. Die Luftdichte betr ¨agt % = 1.225kg/m³ und die Viskosit ¨at von Luft betr ¨agt η = 0.179 ·10⁻⁴N s/m². Verwenden Sie das Diagramm bzw. die Gleichung

c_w = 1.1 + 0.02(L/H + H/L)

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2. Die maximale Sinkgeschwindigkeit eines Fallschirmes soll am Boden nicht mehr als 5,4 m/s betra- gen. Der Fallschirm kann n ¨aherungsweise als eine ge ¨offnete Halbkugel mit einem Widerstands- beiwert von c_w = 2.2 gesehen werden. Welchen Durchmesser muss der Fallschirm haben, wenn der Fallschirmspringer inklusive der Ausr ¨ustung maximal m = 150kg wiegt? Die Dichte der Luft ist

% = 1.225kg/m³ und die Erdbeschleunigung betr ¨agt g = 9,81m/s².

Aufgabe 4

Widerstandsbeiwert f ¨ur die l ¨angsangestr ¨omte ebene Platte

Aufgabe 3

• parallel zur Fahrtrichtung

Re = %· u · L

η = 1.43 · 10⁶ =⇒ turbulent

aus Diagramm: c_w ≈ 4 · 10⁻³

c_w = F_w

1

2%u² · L · H =⇒ F_w = c_w · 1

2%u² · L · H = 0.35N =⇒ P = F_w · v = 4.9W

Umstr ¨omung von beiden Seiten

F_w = 0.71N undP = 9.8W

• senkrecht zur Fahrtrichtung

L/H = 3 =⇒ c_w = 1.167

c_w = F_w

1

2%u² · L · H =⇒ F_w = c_w · 1

2%u² · L · H = 103.4N P = F · v = 1436W

146-mal soviel

Aufgabe 3

• konstante Fallgeschwindigkeit =⇒ Kr ¨aftegleichgewicht:

G = F_w f ¨ur die Widerstandskraft gilt:

F_w = c_w · 1

2%v² · A = c_w · 1

2%v² · π

4 · D² Damit ergibt sich f ¨ur den Durchmesser

D =

v u u u u t

G

c_w · ¹₂%v² · ^π₄ =

v u u u t

m · g

c_w · ¹₂%v² · ^π₄ = 6.9m

Ubung 4 ¨

Die L ¨ange eines Fahrzeuges ist l ¨anger als erlaubt. Es muss um 33 mm gek ¨urzt werden. Um den selben Widerstand f ¨ur das k ¨urzere Fahrzeug zu erhalten, gibt es verschiedene M ¨oglichkeiten (siehe Skizze). Das gegebene Fahrzeug ist durch die Pfeile in der Skizze gekennzeichnet.

• Geben Sie verschiedene M ¨oglichkeiten an, um denselben Widerstand zu erhalten

• Versuchen Sie dabei, das Volumen des Kofferraumes beizubehalten

• Erl ¨autern Sie das asymptotische Verhalten

• Z ¨ahlen Sie andere Verhaltensweisen auf, mit denen der Einfluss auf den c_W-Wert beschrieben werden kann

Ubung 4 ¨

∆ϕ: ∆c_D = −0.00472 × ∆ϕ^0.36

∆x : ∆c_D = −0.001822 × ∆x^0.397

∆z : ∆c_D = −0.00851 × ∆z^0.167

∆γ : ∆c_D = −0.01575 × ∆γ^0.1378

Ubung 4 ¨

L

H h l

Gegeben: B = 2m, L = 1m, H = 0.3m, h = 0.5 m, γ = 45^◦

∆x_ref = 73mm,∆z_ref = 50mm,∆ϕ_ref = 5.33^◦,∆γ = 7^◦

∆x = 73mm ⇒ ∆c_D = −0.01

∆z = 50mm ⇒ ∆c_D = −0.01635

∆ϕ = 5.33^◦ ⇒ ∆c_D = −0.00862

∆γ = 7^◦ ⇒ ∆c_D = −0.02059

V = B · L · H = 0.6m³

∆L = 33mm ⇒ L_neu = 0.967m ⇒ ∆x_neu = 40mm ⇒ ∆c_D,neu = −0.0788 ⇒ 2.11· 10⁻³ Verlust

Ubung 4 ¨

m ¨ogliche L ¨osungen f ¨ur ∆z

H_neu = V

B · L_neu = 0.31024m ⇒ ∆z_neu = ∆z_ref +H_neu − H = 60.23mm

∆c_d(|Deltaz = 60.23mm) = −0.01687 ⇒ d∆c_d = 5.2 · 10⁻⁴ zu wenig

h_neu = 48.977cm ⇒ γ_neu = atan(_h^l

neu) = atan(_h^h

neu) = 45.6^◦

∆γ_new = 7.6^◦

∆c_d(∆γ = 7.6^◦) = −0.0208 ⇒ d∆c_d = 2.4· 10⁻⁴ auch zu klein. Es fehlen 1.35 · 10⁻³. ⇒ Modifikation von ϕ ist erforderlich

∆c_d = 9.97· 10⁻³ ⇒ ∆ϕ = 9.97· 10⁻³/0.00472^1/0.36 = 8^◦ Frontscheibe muss 2.65^◦ st ¨arker geneigt werden.

• kein klares Optimum

• Design ⇐⇒ Aerodynamik

• S ¨attigung, Minimum, Sprung

Ubung 5 ¨

1. Die Leistung eines Motors kann erh ¨oht werden, wenn er bei niedrigeren Tempe- raturen betrieben wird. Die K ¨uhlung eines Motors mit 600 PS bei einem Wider- standsbeiwert c

= 0.5 wird verst ¨arkt. Dabei erh ¨oht sich der Widerstandsbeiwert um ∆c

= 0.01. Wieviel zus ¨atzliche Leistung muss erreicht werden, um die ma- ximal m ¨ogliche Geschwindigkeit v

auf einer generischen Rennstrecke und in Hockenheim zu erh ¨ohen?

2. Um wieviel wird die Rundenzeit in Hockenheim und in Le Mans erh ¨oht bzw. ab- gesenkt, wenn der Widerstandsbeiwert bei konstanter Effizienz von 0.5 auf 0.55 erh ¨oht wird.

3. Erl ¨autern Sie:

• Boat/Bob-tailing

• Kamm-Heck

• Gurney flap

Ubung 5 ¨

generic race track

Ubung 5 ¨

Hockenheim

Ubung 6 ¨

Hockenheim

Ubung 5 ¨

Le Mans

Ubung 5 ¨

generic race track (∆P ≈ 15hP )

Ubung 5 ¨

Hockenheim (∆P ≈ 8hP )

Ubung 5 ¨

Hockenheim (∆t = −0.05sec)

Ubung 5 ¨

Le Mans (∆t = +0.9sec)

Ubung 6 ¨

Am Unterboden eines Rennfahrzeuges ist ein Diffusor angebracht. Die Str ¨omung sei reibungsfrei und der Winkel γ_D sei klein.

1. Berechnen Sie die Druckverteilung p(x) auf der Unterseite der oben dargestellten Konfiguration.

Der Umgebungsdruck ist p_a. Die Dichte der Luft sei % und die Anstr ¨omgeschwindigkeit u_∞. Der Volumenstrom/Breite zwischen Boden und Strasse ist V /B˙ = u_∞ · (e+ h_D). Skizzieren Sie p(x).

2. Berechnen Sie die Abtriebskraft unter der Annahme, dass auf der Oberseite des Fahrzeugs Um- gebungsdruck herrscht. Skizzieren Sie die Abtriebskraft als Funktion von e/h_D.

Ubung 6 ¨

Kontinuit ¨at f ¨ur x < 0 :

%u _∞ (e + h _D ) = %u ₀ e ⇒ u ₀ = u _∞ e + h _D e Kontinuit ¨at f ¨ur 0 < x < l _D :

%u _∞ (e + h _D ) = %u(x)(e + h(x)) ⇒ u(x) = u _∞ e + h _D

e + h(x) = u _∞ e + h _D e + h _D · _l ^x

D

Bernoulli Unterboden:

p _a + 1

2 %u ² _∞ = p _u + 1 2 u ² ₀

⇒ p _u = p _a + 1

2 %u ² _∞

"

1 ² −

e + h _D e

₂ #

= p _a + 1

2 %u ² _∞

"

1 −

e/h _D + 1 e/h _D

₂ #

Ubung 6 ¨

Bernoulli im Diffusor:

p _a + 1

2 %u ² _∞ = p(x) + 1

2 %u ² _∞ e + h _D e + h _D · _l ^x

D

! ₂

⇒ p(x) = p _a + 1

2 %u ² _∞



1 − e + h _D e + h _D · _l ^x

D

! ₂ 

 =

= p _a + 1

2 %u ² _∞



1 − e/h _D + 1 e/h _D + _l ^x

D

! ₂ 



Ubung 6 ¨

-7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

h_d = 0.07, ld = 0.5, e = 0.08 h_d = 0.07, ld = 0.5, e = 0.04

Druckverteilung am Unterboden

Ubung 6 ¨

Abtriebskraft:

F _A = 1

2 %u ² _∞

"

1 ² −

e + h _D e

₂ #

B(L − l _d )+

+ 1

2 %u ² _∞ B

Z _l

0

1 − e + h _D e + h _D · _l ^x

D

! ₂ dx

⇒ F _A = 1

2 %u ² _∞

"

1 ² −

e + h _D e

₂ #

B(L − l _d )+

+ 1

2 %u ² _∞ B

"

x + l _D

h _D · (e + h _D ) ² e + h _D · _l ^x

D

# _l

0

Ubung 6 ¨

Abtriebskraft:

F _A = 1

2 %u ² _∞

"

1 −

e + h _D e

₂ #

B (L − l _d )+

+ 1

2 %u ² _∞ B

"

l _D + l _D

h _D · (e + h _D ) − l _D

h _D · (e + h _D ) ² e

#

= 1

2 %u ² _∞

"

1 −

e/h _D + 1 e/h _d

₂ #

B (L − l _d )+

+ 1

2 %u ² _∞ B

"

l _D + l _D · (e/h _D + 1) − l _D · (e/h _D + 1) ² e/h _D

#

Ubung 6 ¨

-200000 -150000 -100000 -50000 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Abtriebskraft

e/h_D

l=3, Unterboden ld=0.5, Diffusor

Abtriebskraft / [m] als Funktion vone/h_D

Ubung 7 ¨

1. Eine einfache Theorie zur Beschreibung des Str ¨omungsfeldes um eine Windturbine ist von Betz.

Was sind die Annahmen f ¨ur diese Theorie?

2. Berechnen Sie die Geschwindigkeit in der Rotorebene!

Ubung 7 ¨

Bernoulli von 1 nach 1’ : p

+

%v

= p

+

%v

Bernoulli von 2’ nach 2 : p

+

%v

= p

+

%v

Impuls K.F.1: 0 = (p

− p

)A

+ F

Impuls K.F.2: −%v

A

+ %v

A

+ ∆ ˙ mv

= F

Kontinuit ¨at: ∆ ˙ m = %v

A

− %v

A

Kontinuit ¨at: v

A

= v

A

= v

A

−%v

A

+ %v

A

+ %v

A

− %v

v

A

= (p

− p

)A

p

− p

= %(v

− v

)v

=

%(v

− v

)

v

=

(v

+v

)

∆m

Blattelementtheorie

Ωr = V_sx V_r=

v_res v’

dA dW

dF dQ

Rotorebene

Nullauftriebsrichtung R

r=x R v_r

v

ϕ

α

θ

Kr ¨afte und Geschwindigkeiten am Blattelement

Blattelementtheorie Bezeichnungen

r Abstand von der Rotorachse

θ Winkel zwischen der Rotorebene und der Nullauftriebsrichtung

ϕ Winkel zw. der Rotorebene und der res.

Anstr ¨omgeschw.

l Blatttiefe

V _r = Ω · r Umfangsgeschw. am Element

V _S = Ω · R Umfangsgeschw. an der Blattspitze

V ₁ Windgeschwindigkeit

Blattelementtheorie

• F ¨ur große Schnelllaufzahlen ist der Winkel ϕ der resultierenden Ge- schwindigkeit relativ zur Rotorebene ϕ = _Ω·r ^V

und die Anstr ¨omge- schwindigkeit des Rotors ist V res = Ω · r. Der effektive Anstellwinkel α _e des Rotorprofiles ergibt sich aus der Differenz zwischen ϕ und dem Blatteinstellwinkel θ.

Wie groß ist die Schubkraft von k Rotorbl ¨attern auf ein Blattelement der Tiefe l und der spannweitigen Ausdehnung dr ? Nehmen Sie an, dass sich der Auftriebsbeiwert linear mit dem effektiven Anstellwin- kel ¨andert.

• Wie groß ist die Schubkraft auf ein ringf ¨ormiges Element der spann-

weitigen Ausdehnung dr unter Anwendung der Strahltheorie?

Blattelementtheorie

effektiver Anstr ¨omwinkel

α _e = ϕ − θ (1)

resultierende Anstr ¨omgeschwindigkeit V _res V _res =

q

(Ω · r) ² + V ⁰² (2)

Winkel der resultierenden Geschwindigkeit relativ zur Drehebene des Rotors

ϕ ≈ tan ϕ = V ⁰

Ω · r (3)

Kr ¨afte am Element:

Auftrieb: dA = ^ρ ₂ V _res ² · c _a · l · dr Widerstand: dW _p = ^ρ ₂ V _res ² · c _w · l · dr mit c _a (α _e ); c _w (α _e )

(4)

Blattelementtheorie

Zerlegung der Kr ¨afte senkrecht und parallel zur Rotorebene Schub: dF = dA · cos ϕ + dW _p · sin ϕ

Querkraft: dQ = dA · sin ϕ − dW _p · cos ϕ (5) F ¨ur kleine ϕ (große Schnelllaufzahl)

V _res = Ω · r = V _s · x (6)

dF = dA (7)

dQ = ϕ · dA − dW _p (8)

Mit c _a = c ⁰ _a · α _e = c ⁰ _a · (ϕ − θ) Man erh ¨alt bei k Rotorbl ¨attern:

dF = 1

2 · ρ · (Ω · r) ² · c ⁰ _a · (ϕ − θ) · k · l · dr (9)

Blattelementtheorie

ringf ¨ormiges Element: dS _R = 2π · r · dr aus der Strahltheorie

dF = ρV ⁰ · (V ₁ − V ₂ )dS _R (10) V ⁰ = ϕ · Ω · r = 1

2 (V ₁ + V ₂ ) (11) 1

2 · (V ₁ − V ₂ ) = V ⁰ − V ₂ = V ₁ − V ⁰ = V ₁ − ϕ · Ω · r (12)

dF = 4πρ · ϕ · Ω · r(V ₁ − ϕ · Ω · r )r · dr (13)