MATHEMATISCHESINSTITUT
PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL
DAVIDKERKMANN
10. JULI2017
Numerik gew¨ohnlicher Differentialgleichungen – 11. ¨Ubungsblatt
Aufgabe 39: Untersuchen Sie die folgenden linearen MSV auf Konvergenz.
(a) Un+2= 12Un+1+12Un+ 2kf(Un+1) (b) Un+1=Un
(c) Un+4=Un+43k(f(Un+3) +f(Un+2) +f(Un+1)) (d) Un+3=−Un+2+Un+1+Un+ 2k(f(Un+2) +f(Un+1)).
Aufgabe 40: Zeigen Sie, dass das Gebiet absoluter Stabilit¨at f¨ur die Mittelpunktregel Un+1 =Un−1+ 2kf(Un)
das offene Intervall (−i, i) ist.
Aufgabe 41: Beweisen Sie Lemma 5.8 der Vorlesung!
Hinweis: SeiλNullstelle vonρ(ζ), dann ist (λr−1, λr−2, . . . ,1) Eigenvektor der MatrixAzum Eigenwert λ. D.h. die Eigenwerte vonA sind Nullstellen vonρ(ζ) und erf¨ullen die Wurzelbedingung.
Transformation in Jordansche Normalform liefert:
T−1AT =J = diag
λ1, . . . , λl,
λl+1 εl+1
. .. εr−1
λr
,
wobei λ1, . . . , λl einfache Eigenwerte mit Betrag 1 sind. Es giltkJ⊗Idk∞≤1.
Unter Verwendung der Transformation T definieren wir die Vektornorm kxk:=k(T−1⊗Id)xk∞,T ∈Rr×r,Id∈Rs×s.
b.w.
Aufgabe 42: Betrachten Sie die gew¨ohnliche Differentialgleichung
(1) u0(t) =λ(u(t)−cos(t))−sin(t)
mit Anfangswert u(0) = 1.5 und λ=−106. Die exakte L¨osung lautet:
(2) u(t) = 1
2eλt+ cos(t)
(a) Verwenden Sie das explizite Euler-Verfahren, um die L¨osung bis zum ZeitpunktT = 3 zu bestim- men. Welche ungef¨ahre maximale Schrittweite k¨onnen Sie w¨ahlen, damit das Verfahren stabil bleibt?
(b) Verwenden Sie nun das implizite Euler-Verfahren sowie die Trapezregel. Was stellen Sie fest?
Begr¨unden Sie Ihre Beobachtungen.
(c) Das TR-BDF2 Verfahren lautet:
U∗ =Un+k
4(f(Un) +f(U∗)), Un+1 = 1
3(4U∗−Un+kf(Un+1)).
(3)
Implementieren Sie auch dieses Verfahren. Was ist der Vorteil gegen¨uber dem impliziten Euler- Verfahren?
Aufgabe 43: Wir betrachten zun¨achst den Reaktionsmechanismus
(4) A−→K1 B −→K2 C.
Dieser Reaktionsmechanismus wird durch das lineare System gew¨ohnlicher Differentialgleichungen u01(t) =−K1u1(t)
u02(t) =K1u1(t)−K2u2(t) u03(t) =K2u2(t)
modelliert. Dabei bezeichnet u1 = [A] die Konzentration der Spezies A, und u2 = [B], u3 = [C] die Konzentrationen vonB und C.
Das Filedecay1.mapproximiert diese lineare System f¨urK1 = 1,K2 = 2 mit Anfangsdatenu1(0) = 1, u2(0) = 0, u3(0) = 0.
(a) Verwenden Sie decaytest.m (http://faculty.washington.edu/rjl/fdmbook/matlab/) um festzu- stellen, wieviele Funktionsauswertungen f¨ur die vier verschiedene im Programm verwendeten Fehlertoleranzen ben¨otigt werden.
(b) Betrachten Sie nun den Reaktionsmechanismus
A−→K1 D−→K3 B −→K2 C.
Modifizieren Siedecay1.mum diesen Reaktionsmechanismus zu approximieren. Setzen Sie dazu u4= [D] und verwenden Sie u4(0) = 0. Testen Sie Ihr Programm f¨urK3= 3.
(c) F¨urK3 K1, K2 erwarten wir, dass die L¨osungskurven f¨ur u1, u2,u3 den L¨osungskurven aus (a) ¨ahneln. Warum?
(d) Testen Sie ode113 mitK3 = 1000 und den indecaytest.mangegebenen Toleranzen. Sie sollten dabei die folgenden Beobachtungen machen:
(i) Die Zahl der Funktionsauswertungen ist viel gr¨oßer als bei der Approximation von (1) (vergl. mit Teil (a)), obwohl die L¨osungen nahezu identisch sind.
(ii) Die Anzahl der Funktionsauswertungen ver¨andert sich kaum wenn man die Toleranz redu- ziert.
Begr¨unden Sie diese Beobachtungen.
(e) Zeichnen Sie die L¨osungen f¨ur Teil (d) mit tol=1e-2 und tol=1e-4.
(f) Testen Sie Ihr Programm f¨ur verschiedene Werte von K3 (K3 = 500, 1000 und 2000) und tol
= 1e-6. Sie sollten dabei beobachten, dass die Anzahl der ben¨otigten Funktionsauswertungen linear mit K3 anw¨achst. Beg¨unden Sie, warum man dieses Verhalten erwarten kann. Wieviele Funktionsauswertungen w¨urde man f¨urK3= 107 ben¨otigen?
(g) Wiederholen Sie Teil (f) unter Verwendung der Matlab-Routine ode15s statt ode113. Erkl¨aren Sie, warum die Zahl der Funktionsauswertungen nun viel kleiner ist und etwa konstant f¨ur große Werte vonK3. Testen Sie auch K3= 107.
Abgabe am 17. Juli 2017 am Beginn der Vorlesung.
Besprechung in den ¨Ubungen ab 24. Juli 2017.
