Ubungen zu Analyis II¨ Blatt 11
1 Sei I = [a, b], E ein Banachraum, dann l¨aßt sich jede Riemann integrable Funktion f ∈R(I, E) in einer beliebigenLp-Norm, 1≤p <∞, durch Treppenfunktionen appro- ximieren, vgl. Definition 5.3.3 on page 234, und jede Treppenfunktion wiederum durch stetige Funktionen, d.h. C0(I, E) liegt bez. einer jeden endlichen Lp-Norm dicht in R(I, E).
2 Sei 0≤η∈Cc∞((−1,1)) undR1
−1η= 1. Setzeη(t) =−1η(t) mit >0, dann gilt 0≤η∈Cc∞((−, )) und
Z
−
ηe= 1.
Wir nennenηeine Diracfolge, da aus der Behauptung in der Teilaufgabe (ii) folgt, daß η(x0− ·) imDistributionssinnenach demDiracmaß δx0 konvergiert; eine eingehendere Erkl¨arung k¨onnen wir allerdings erst in Band II geben.1
Sei nunEein Banachraum und I= [a, b] ein Intervall. Definiere dann f¨urf ∈R(I, E) f(x) =
Z b
a
η(x−t)f(t)dt, so gilt
(i) f∈C∞(I, E).
(ii) f stetig in x0 =⇒ lim→0f(x0) =f(x0).
(iii) SeiJ b(a, b) ein offenes Intervall undf ∈Ck(I, E),k≥0, so konvergiertf in Ck( ¯J , E) nachf.
(iv) F¨ur allef ∈R(I, E),J b(a, b) und 1≤p <∞gilt
→0limkf−fkp,J¯= 0.
(v) Cc∞(I , E) liegt bez¨◦ uglich jederLp-Norm, 1≤p <∞, dicht inR(I, E).
(vi) Seif ∈C0(I) und gelte Z b
a
f η= 0 ∀η∈Cc∞(I◦), so istf ≡0.
(vii) Man zeige, daß eine Funktionη mit den verlangten Eigenschaften existiert.
Hinweis: Beachte Note 4.4.17 on page 220.
Man nenntf eineMollifizierung (Gl¨attung) vonf—wegen (i);ηheißtMollifizierungs- kern oder auchFriedrichsscher Mollifier.
1Das Diracmaßδx0 l¨aßt sich als lineares stetiges Funktional aufC0(I, E) definieren durch die Festset- zunghδx0, fi=f(x0).
