in der Diskreten Optimierung – Blatt 10

Prof. Dr. Volker Kaibel Dipl.-Math. Stefan Weltge Wintersemester 2013/2014

Geometrische Methoden

in der Diskreten Optimierung – Blatt 10

www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/wise13/gmdo/

Besprechung: 30. Januar 2014

Definition

F¨ur eine nichtnegative Matrix S ∈ R^m×k+ sei der nichtnegative Rang r+(S) von S das kleinste r≥1, so dass nichtnegative Matrizen L∈R^m×r+ , L∈R^r×k+ mit S=L⋅R existieren.

Faktorisierungs-Theorem (Yannakakis ’91) Ist P ein Polytop mit Slack-Matrix S, so gilt

xc(P) =r+(S).

Aufgabe 1

Sei P =P^≤(A, b) ein Polytop mit A ∈ R^m×n, b ∈ Rⁿ, wobei jede Ungleichung in Ax ≤b f¨ur mindestens einen Punkt aus P mit Gleichheit erf¨ullt werde. Sei weiterhin S ∈R^m×k+

eine Slack-Matrix von P. Zeigen Sie, dass das Faktorisierungs-Theorem gilt. Gehen Sie folgendermaßen vor:

a) Es gelteS=L⋅Rf¨ur MatrizenL∈R^m×r+ ,L∈R^r×k+ . Zeigen Sie, dass dannQ= {(x, y) ∈ R^n+r ∶ Ax+Ly = b, y ≥ Or} zusammen mit der Projektion auf die x-Koordinaten eine Erweiterung f¨urP ist.

b) Sei Q = {(x, y) ∈ R^n+l ∶ Bx+Cy ≤ d} mit B ∈ R^r×n, C ∈ R^r×l zusammen mit der Projektion auf die x-Koordinaten eine Erweiterung f¨ur P. Nach dem Farkas- Lemma existiert nun f¨ur jedes i ∈ [m] ein µi ∈R^r+, so dass µ^T_i B =Ai,∗, µ^T_i C =O^Tr

und ⟨µ_i, d⟩ =b_i gilt (Warum?). Sei L∈R^m×r+ die Matrix, deren Zeilen die Vektoren µ^T_i sind. Wie kann man R∈R^r×k+ w¨ahlen, so dassS =L⋅R gilt?

Aufgabe 2

Sei P ein Polytop mit O∈int(P). Zeigen Sie, dass xc(P) =xc(P^∗) gilt. (Erinnerung: P^∗ ist das Polare vonP, vgl. Blatt 1) Aufgabe 3

Sei Λ⊆R^d ein Gitter¹ und K ⊆R^d eine kompakte, konvexe, zentralsymmetrische Menge mit vol_n(K) ≥2^d⋅det(Λ). Zeigen Sie, dass (K∩Λ) ∖ {On} ≠ ∅ gilt.

Bitte wenden!

1Erinnerung: Ein Gitter ist das additive Erzeugnis einer Basisb1, . . . , bd⊆R^d des R^d. Die Gitterde- terminante det(Λ)ist der Betrag der Determinante der Matrix, die b1, . . . , bd als Spalten hat.

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Aufgabe 4

Sei K = {(x, y) ∈R² ∶38y ≥ −15x+60, x ≥0.2} ein Kegel. Nach Satz 3.7 der Vorlesung erh¨alt man K_I, indem man zur ¨außeren Beschreibung von K einige Intersection Cuts hinzuf¨ugt. Skizzieren Sie diese Ungleichungen und zugeh¨orige gitterpunktfreie konvexe Mengen.

Aufgabe 5

Zeigen oder widerlegen Sie: Die ganzzahlige H¨ulle eines Polytops ist der Schnitt seiner Corner-Polyeder.