Klaus Graebig
Formelsammlung
zu den statistischen Methoden des Qualitätsmanagements
Zusammengestellt und bearbeitet von
Dipl.-Ing. Klaus Graebig im Auftrag des Lenkungsausschusses (LAG) der
Deutschen Gesellschaft für Qualität e.V. (DGQ), August-Schanz-Straße 21A, D-60433 Frankfurt am Main
Detailliertes Inhaltsverzeichnis Seite
Vorwort 12 A Einführung 13
B Formeln und Verfahren 15 1 Grundlagen 15 1.1. A d d i t i o n s s a t z und Multiplikationssatz für
Wahrscheinlichkeiten 15 1.2 Aussagen zur Wahrscheinlichkeit bei
abzählbarer Grundgesamtheit 16 1.2.1 Definition der Wahrscheinlichkeit 16
1.2.2 Permutation (n-Fakultät) 16 1.2.3 Kombination (Binomialkoeffizient , N-über-n) 16
1.2.4 Variation 17 1.3 S t i c h p r o b e n k e n n w e r t e und Zusammenfassung
von Stichprobenergebnissen 17 1.3.1 Verfahren bei einer S t i c h p r o b e 17 1.3.2 Verfahren bei mehreren Stichproben 18 1.4 Ausgewählte Wahrscheinlichkeitsverteilungen 20
1.4.1 Hypergeometrische Verteilung 20
1.4.2 Binomialverteilung 21 1.4.3 Poisson-Verteilung 26 1.4.4 Normalverteilung und Standardisierte
Normalverteilung 27 1.4.5 Logarithmische Normalverteilung 29
1.4.6 t-Verteilung 30
1.4.7 £2- V e r t e i l u n g 30
1.4.8 F-Verteilung 30 1.4.9 w-Verteilung 31 1.4.10 Exponentialverteilung 31
1.4.11 Weibull-Verteilung 31 1.4.12 Rayleigh-Verteilung 33 1.5 Parameter der Verteilung von (Stichproben-)
Mittelwerten x bei bekannten Parametern der
Verteilung der Einzelwerte ji , a , y, und y2 34
Seite
2 A n n a h m e - S t i c h p r o b e n p r ü f u n g 35 2.1 S t i c h p r o b e n p r ü f u n g anhand qualitativer
Merkmale 35 2.1.1 S t i c h p r o b e n p r ü f u n g für den Anteil fehlerhafter
Einheiten in der Grundgesamtheit p 35
E i n f a c h - S t i c h p r o b e n p r ü f u n g 35 D o p p e l - S t i c h p r o b e n p r ü f u n g 37 Sequentielle S t i c h p r o b e n p r ü f u n g 41 S t i c h p r o b e n p r ü f u n g für die mittlere Anzahl
Fehler je Einheit in der Grundgesamtheit p 43
E i n f a c h - S t i c h p r o b e n p r ü f u n g 43 D o p p e l - S t i c h p r o b e n p r ü f u n g 43 Sequentielle S t i c h p r o b e n p r ü f u n g 44 S t i c h p r o b e n p r ü f u n g anhand normalverteilter
Merkmale 45 Verfahren bei bekannter Standardabweichung a 45
Verfahren bei unbekannter Standardabweichung a 48
Qualitätsregelkarten , SPC 51 Shewhart-Qualitätsregelkarten ; Abgrenzung mit
Hilfe von Zufallsstreubereichen 51 3.1.1 Überwachung des Anteils fehlerhafter Einheiten
in der Grundgesamtheit p (Verfahren bei
Binomialverteilung) 51 3.1.2 Überwachung der mittleren Anzahl Fehler je
Einheit in der Grundgesamtheit p (Verfahren bei
Poisson-Verteilung) 52 3.1.3 Überwachung einer normalverteilten
Grundgesamtheit, Standardfall
(ß = const. ; o - const. ; n ä 2) 53 3.1.4 Überwachung einer normalverteilten
Grundgesamtheit bei zusätzlicher Streuung des kurzfristigen Erwartungswertes ß, mit Hilfe des
Mittelwertes x 57 3.1.5 Überwachung einer normalverteilten G r u n d -
gesamtheit bei n=1 58 2 . 1 .
2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.2 2.2
. 1 , . 1 . . 1 . .2 .2.
.1 .2 ,3
.1 .2.2 . 2 . 3
.1 2 . 2 . 2 3 3.1
5
Seite 3.1.6 Überwachung des Erwartungswertes /J. bei
logarithmischer Normalverteilung mit Hilfe des
Mittelwertes x für n > 2 60 3.1.7 Überwachung des Erwartungswertes ßr bei
Rayleigh-Verteilung mit Hilfe des Mittelwertes F 60 3.2 Shewhart-Qualitätsregelkarten ; Abgrenzung
mit Hilfe der dreifachen S t a n d a r d a b w e i c h u n g
des S t i c h p r o b e n k e n n w e r t e s 61 3.2.1 Überwachung des Anteils fehlerhafter Einheiten
in der Grundgesamtheit p (Verfahren bei
Binomialverteilung) 61 3.2.2 Überwachung der mittleren Anzahl Fehler je
Einheit in der Grundgesamtheit p (Verfahren bei
Poisson-Verteilung) 61 3.2.3 Überwachung einer normalverteilten G r u n d -
gesamtheit 61 3.3 Annahme-Qualitätsregelkarten bei Grenzwerten
für normalverteilte Einzelwerte 62 3.3.1 Urwert-Qualitätsregelkarten (x-Karten) 63
3.3.2 Mittelwert-Qualitätsregelkarten (x-Karten) 67 3.3.3 Median-Qualitätsregelkarten (x-Karten) 71
3.4 Prozessfähigkeitskennzahlen 75 3.4.1 Prozessfähigkeitskennzahlen bei Normal-
verteilung, Standardfall (ß = const. ;
a = const. ; n > 2) 75 3.4.2 Prozessfähigkeitskennzahlen bei Normal-
verteilung bei zusätzlicher Streuung des
kurzfristigen Erwartungswertes fit 76 3.4.3 Prozessfähigkeitskennzahlen bei logarithmischer
Normalverteilung 76 3.4.4 Prozessfähigkeitskennzahlen bei Rayleigh-
Verteilung 77 3.4.5 Prozessfähigkeitskennzahlen bei unmittelbarer
Beurteilung durch den Anteil fehlerhafter
Einheiten in der Grundgesamtheit p 77 3.4.6 Prozessfähigkeitskennzahlen nach der
Quantiismethode (Perzentilsmethode) 78
Seite
3.5 Vorlauf 79 3.5.1 Vorlauf für den Anteil fehlerhafter Einheiten
in der Grundgesamtheit p (Verfahren bei
Binomialverteilung) 79 3.5.2 Vorlauf für die mittlere Anzahl Fehler je
Einheit in der Grundgesamtheit p (Verfahren
bei Poisson-Verteilung) 82 3.5.3 Vorlauf für die Parameter einer normalverteilten
Grundgesamtheit 85 3.5.3.1 Vorlauf für die S t a n d a r d a b w e i c h u n g a 85
3.5.3.2 Vorlauf für den Erwartungswert fj. 89 3.6 Ersatz des Erwartungswertes ß durch einen
Sollwert 93 4 Auswertungsverfahren 95
4.1 Verfahren für die Anzahl fehlerhafter Einheiten in der S t i c h p r o b e x und für den Anteil fehler- hafter Einheiten in der Grundgesamtheit p
(Binomialverteilung) 95 4.1.1 Zufallsstreubereiche für die Anzahl fehlerhafter
Einheiten in der S t i c h p r o b e x 95 4.1.2 Punktschätzer für den Anteil fehlerhafter
Einheiten in der Grundgesamtheit p 104 4.1.3 Vertrauensbereiche für den Anteil fehlerhafter
Einheiten in der Grundgesamtheit p 104
4.1.3.1 Definitionsgleichungen 104 4.1.3.2 Ermittlung der Vertrauensbereiche mit Hilfe
von Tabellen und N o m o g r a m m e n 105 4.1.3.3 Rechnerische Ermittlung der Vertrauensbereiche 114
4.1.4 Vergleich einer Grundgesamtheit mit einer
Vorgabe ; p<-> p0 117
4.1.5 Vergleich von zwei Grundgesamtheiten ;
P\ <-> P2 1 19
4.1.6 Vergleich von mehr als zwei Grundgesamtheiten ;
Pl<-> P2<^---Pk 1 2 4
4.2 Verfahren für die Anzahl Fehler in der
S t i c h p r o b e x und für die mittlere Anzahl Fehler je Einheit in der Grundgesamtheit p (Poisson-
Verteilung) 126 7
Seite 4.2.1 Zufallsstreubereiche für die Anzahl Fehler in
der Stichprobe x 126 4.2.2 Punktschätzer für den Erwartungswert der
Anzahl Fehler in der S t i c h p r o b e p und für die mittlere Anzahl Fehler je Einheit in der
Grundgesamtheit p 133 4.2.3 Vertrauensbereiche für den Erwartungswert der
Anzahl Fehler in der S t i c h p r o b e p und für die mittlere Anzahl Fehler je Einheit in der
Grundgesamtheit p 133 4.2.3.1 Definitionsgleichungen 133 4.2.3.2 Ermittlung der Vertrauensbereiche mit Hilfe
von Tabellen und dem T h o r n d i k e - N o m o g r a m m 134 4.2.3.3 Rechnerische Ermittlung der Vertrauensbereiche 139 4.2.4 Vergleich einer Grundgesamtheit mit einer
V o r g a b e ; p<-+ p0 141
4.2.5 Vergleich von zwei Grundgesamtheiten ; px <-> p2 144 4.2.6 Vergleich von mehr als zwei G r u n d g e s a m t -
heiten ; p, <-> p2 «-»...pk 149 4.3 Verfahren bei normalverteilter Grundgesamtheit 151
4.3.1 Zufallsstreubereiche für die S t a n d a r d a b w e i c h u n g
s und den Mittelwert x der S t i c h p r o b e 151 4.3.1.1 Zufallsstreubereiche für die S t a n d a r d -
abweichung s 151 4.3.1.2 Zufallsstreubereiche für den Mittelwert x 151
4.3.2 Punktschätzer für die S t a n d a r d a b w e i c h u n g o , den Erwartungswert p und den Anteil fehlerhafter
Einheiten p der Grundgesamtheit 152 4.3.3 Vertrauensbereiche für die S t a n d a r d a b w e i c h u n g
CT , den Erwartungswert p und den Anteil
fehlerhafter Einheiten p der Grundgesamtheit 155 4.3.3.1 Vertrauensbereiche für die S t a n d a r d -
a b w e i c h u n g er 155 4.3.3.2 Vertrauensbereiche für den Erwartungswert p 156
4.3.3.2.1 er bekannt 156 4.3.3.2.2 CT unbekannt 156 4.3.3.3 Vertrauensbereiche für den Anteil fehlerhafter
Einheiten p 157
Seite 4.3.4 Vergleich einer Grundgesamtheit mit einer
Vorgabe 162 4.3.4.1 Vergleich der S t a n d a r d a b w e i c h u n g mit einem
v o r g e g e b e n e n Wert ; CT<-><70 162 4.3.4.2 Vergleich d e s Erwartungswertes mit einem
vorgegebenen Wert ; ß<r^ßQ 164
4.3.4.2.1 a bekannt 164 4.3.4.2.2 a unbekannt 166 4.3.5 Vergleich v o n zwei Grundgesamtheiten 168
4.3.5.1 Vergleich der S t a n d a r d a b w e i c h u n g e n ; ol<^>&2 168 4.3.5.2 Vergleich der Erwartungswerte bei nicht
gepaarten Beobachtungen ; ßx <H> ß2 172
4.3.5.2.1 ax=o2=o bekannt 172
4.3.5.2.2 a1= < T2=< T unbekannt 175 4.3.5.2.3 al*a2,0] und a2 bekannt 177 4.3.5.2.4 CTJ ^a2 ,CTJ und a2 unbekannt , Näherungs-
verfahren (modifizierter t-Test) 180 4.3.5.3 Vergleich der Erwartungswerte bei gepaarten
Beobachtungen ; ßx<r^ß2 163
4.3.5.3.1 ad bekannt 183
4.3.5.3.2 od unbekannt 185
4.3.6 Vergleich v o n mehr als zwei Grundgesamtheiten 188 4.3.6.1 Vergleich der S t a n d a r d a b w e i c h u n g e n ;
0\ <-><72 <r+ ...<Jk 1 8 8
4.3.6.1.1 Hypothesen 188 4.3.6.1.2 Bartlett-Test 189 4.3.6.1.3 Hartley-Test für konstanten Stichprobenumfang n 190
4.3.6.2 Vergleich der Erwartungswerte anhand von S t i c h p r o b e n gleichen Umfangs; ßx <->jU2 **•••/** >
balancierte einfache Varianzanalyse 190 4.3.7 Ausreißertests bei Normalverteilung 192 4.3.7.1 Test bei bekannter S t a n d a r d a b w e i c h u n g o und
Verdacht auf einen Ausreißer 192 4.3.7.2 Test bei unbekannter S t a n d a r d a b w e i c h u n g a
und Verdacht auf einen Ausreißer (nach Grubbs) 192 4.3.7.3 Test bei unbekannter S t a n d a r d a b w e i c h u n g a
und Verdacht auf einen oder mehrere Ausreißer 193
4.3.8 Tests auf Normalverteilung 195 4.3.8.1 Allgemeines und Hypothesen 195
Sei 4.3.8.2 Shapiro-Wilk-Test für eine S t i c h p r o b e
mit 7 < « < 5 0 195 4.3.8.3 Shapiro-Wilk-Test für mehrere Stichproben
mit 7 < n,- < 50; nt = n für alle n{ 196 4.3.8.4 £2- T e s t für eine S t i c h p r o b e mit «>50 198
4.3.8.5 #2- T e s t für mehrere Stichproben mit nt >50
für alle «, 201 4.3.9 Regression und Korrelation 202
4.3.9.1 Allgemeines und Hilfsgrößen 202 4.3.9.2 Regression mit der Methode der kleinsten
Quadrate 202 4.3.9.3 Bestimmtheitsmaß 203
4.3.9.4 Korrelationskoeffizient 204 4.4 Verfahren bei logarithmischer Normalverteilung 204
4.5 Verteilungsfreie Verfahren 206 4.5.1 Schätzverfahren für den Median g 206
4.5.2 Vorzeichentest für gepaarte Beobachtungen 206 4.5.3 Vorzeichen-Rangtest von Wilcoxon für gepaarte
Beobachtungen 207 4.5.4 Vergleich der Mediane g zweier Grundgesamt-
heiten mittels ungepaarter Beobachtungen
( M a n n - W h i t n e y - W i l c o x o n - T e s t ; U-Test) 207 4.5.5 Spearman'scher Rangkorrelationstest für
gepaarte Beobachtungen x und y 208
5 Zuverlässigkeit 211 5.1 Allgemeines 211 5.1.1 Umstellungen der Verteilungsfunktion G bei
Exponentialverteilung 211 5.1.2 Umstellungen der Verteilungsfunktion G bei
Weibull-Verteilung 211 5.1.3 MTTF und MTBF 212 5.2 S t i c h p r o b e n p r ü f u n g 213 5.2.1 Verfahren bei Exonentialverteilung 213
5.2.2 Verfahren bei Weibull-Verteilung 214
5.3 Auswertungsverfahren 215 5.3.1 Verfahren bei Exponentialverteilung 215
5.3.1.1 Graphisches Verfahren 215
Seite
5.3.1.2 Rechnerisches Verfahren 215 5.3.1.2.1 Punktschätzer für die charakteristische
Lebensdauer (Skalenparameter) T und die
A u s f a l l r a t e ! 215 5.3.1.2.2 Vertrauensbereiche für die charakteristische
Lebensdauer (Skalenparameter) T und die
Ausfallrate X 216 5.3.2 Verfahren bei Weibull-Verteilung 217
5.3.2.1 Graphisches Verfahren 217 5.3.2.2 Rechnerisches Verfahren 226 5.3.2.2.1 Punktschätzer für den Skalenparameter
(charakteristische Lebensdauer) T und den
Formparameter (Ausfallsteilheit) b 226 5.3.2.2.2 Vertrauensbereiche für den Skalenparameter
(charakteristische Lebensdauer) T und den Formparameter (Ausfallsteilheit) b ;
Näherungsverfahren für n> 50 226 5.4 Zuverlässigkeitsplanung 227
C Formelzeichen 229 C.1 Primäre Formelzeichen 229
C.2 Indizes und Hilfszeichen 245
D Literaturhinweise 247 D.1 Normen 247 D.2 DGQ-Bände 250 D.3 Weitere Literatur 251
Tabellen, N o m o g r a m m e und Auswerteblätter
Die Tabellen, N o m o g r a m m e und Auswerteblätter, auf die in diesem Band verwiesen w i r d , befinden sich im DGQ-Arbeitsmittel 18-105.
