q ˙ − =0 . ddt∂L∂ ∂L∂q L = T − V alsFunktiondergeneralisiertenKoordinatenundGeschwindigkeiten.d)StellenSiedieLagrangegleichungenauf: q auf.b)W¨ahlenSieunabh¨angigeKoordinatenausindemSiesichdieZwangsbedingungen¨uberlegenundKoordinatendurchAndereausdr¨ucken

Ubung Grundlagen Mechanik ¨ (WiSe 13/14) Vorlesung: Prof. Dr. J. Tjus

Gruppe I (Matthias Mandelartz, Marcio Keßler): Di, 8-10h, NB 7/173 Gruppe II (Sebastian Sch¨ oneberg, Lukas Merten): Do, 14-16h, NC 5/99 Ubungszettel im Netz unter: ¨ http://www.pat.rub.de/

Ubungsblatt 5 ¨ [Ausgabe: 17.12.13; Abgabe: 07.01.14]

Aufgabe 14:

Eine Punktmasse rollt reibungsfrei auf der Innenseite eines Kreiskegels, wie in der Ab- bildung dargestellt.

a) Schreiben Sie die kinetische Energie T und die potentielle Energie V in Abh¨ angigkeit von geeigneten generalisierten Koordinaten q

und ihren entsprechenden Geschwin- digkeiten ˙ q

auf.

b) W¨ ahlen Sie unabh¨ angige Koordinaten aus indem Sie sich die Zwangsbedingungen uberlegen und Koordinaten durch Andere ausdr¨ ¨ ucken.

c) Bestimmen Sie die Lagrangefunktion L = T − V als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten.

d) Stellen Sie die Lagrangegleichungen auf:

d dt

∂L

∂ q ˙

− ∂L

∂q

= 0.

Aufgabe 15:

Eine Hantel, bestehend aus zwei punktf¨ ormigen Gewichten der Masse m und einer Stange der L¨ ange l mit vernachl¨ assigbarer Masse, sei so montiert, dass sich das eine Gewicht nur entlang der x-Achse und das andere Gewicht nur entlang der y-Achse bewegen kann (siehe Abbildung). Die Schwerkraft zeige in y-Richtung.

a) ¨ Uberlegen Sie, warum die m¨ ogliche Bewegung auf x ∈ [−l; l] und y ∈ [−l; l]

beschr¨ ankt ist und bestimmen Sie die Anzahl der Freiheitsgerade.

b) Berechnen Sie die Lagrangefunktion L.

c) Zeigen Sie, dass sich mit Hilfe der Lagrangegleichungen die Bewegungsgleichung

¨ α = g

l sin(α) ergibt, wobei g die Erdbeschleunigung bezeichnet.

d) Welche Bahn beschreibt der Schwerpunkt der Hantel?

Aufgabe 16:

Zwei gleiche Massen m seien durch eine masselose Feder mit der Federkonstanten k verbunden und k¨ onnen reibungsfrei l¨ angs einer F¨ uhrungsschiene gleiten. Der Abstand der Massen bei nicht gespannter Feder sei l.

a) Stellen Sie die Lagrangefunktion auf. Verwenden Sie dabei die folgen generalisieren Koordinaten:

q

= x

+ x

und q

= x

− x

b) Gesucht sind nun die Auslenkungen aus der Ruhelage x

(t) und x

(t). L¨ osen Sie die Bewegungsgleichungen die Sie aus den Lagrangegleichungen 2. Art. Dabei sind folgende Anfangsbedingungen vorgegeben:

x

(0) = 0, x

(0) = l, x ˙

(0) = v

x ˙

(0) = 0.