Vorkurs Mathematik im WiSe 2020/2021 (Variante A)
Dr. Regula Krapf Übungsblatt 4
Aufgabe 1. Gegeben seien die folgenden Mengen:
M={n∈N|n−1 ist teilbar durch 5∧n <32} N ={n∈N| ∃k∈N:n+ 1 = 4k∧n <32}
P ={n∈N|n4−13n2+ 36 = 0} Q={n2|n∈N∧n≤5}.
(a) Geben Sie die Mengen in aufzählender Schreibweise an.
(b) Bestimmen Sie (M∪P)\Q,(M∩P)∪Qund (M\N)\P.
Aufgabe 2. Geben Sie die folgenden Mengen entweder in beschreibender Darstellung oder in der Darstellung{f(x)|x∈M}an:
(a) {1,2,3,4,6,9,12,18,36}; (b) {5,10,17,26,37,50, . . .};
(c) {1
3,15,17,19, . . .};
(d) {1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24, . . .}.
Aufgabe 3. Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln für Mengenoperationen für Mengen M, N undP:
(a) M\(N∩P) = (M\N)∪(M\P)
(b) (M∪N)\(M∩N) = (M\N)∪(N\M).
Geben Sie bei (a) einen Äquivalenzbeweis an und bei (b) einen Beweis durch Nachweis zweier Inklusionen („⊆“ und „⊇“).
Aufgabe 4. Gilt die Gleichheit (M∩N)\P = (M\P)∪(N\P) für alle Mengen M, N undP? Überlegen Sie sich dies zuerst anhand eines Venn-Diagramms und geben Sie danach einen Beweis bzw. ein Gegenbeispiel an.
Aufgabe 5 (1+2 Punkte). Die symmetrische Differenz zweier Mengen M undN ist definiert als die MengeM4N := (M\N)∪(N\M).
(a) Geben Sie das Venn-Diagramm und die Elementetafel vonM4N an.
(b) Gilt das AssoziativgesetzM4(N4P) = (M4N)4P für alle MengenM, NundP? Überlegen Sie dies, indem Sie die Venn-Diagramme beider Mengen angeben und beweisen Sie Ihre Vermutung mit einer Elementetafel.
