Ubungen zur¨ Blatt 4
Elementaren Zahlentheorie 29.04.2013
Falko Lorenz, Karin Halupczok SoSe 2013
Abgabetermin: Mittwoch, 8. Mai 2013, bis 16:10 Uhr in die Briefk¨asten Aufgabe 13:
(a) Mit dem Euklidischen Algorithmus bestimme d := (4081,2585) sowie x, y ∈ Z mit d= 2585x+ 4081y.
(b) Man bestimme die Kettenbruchentwicklung von 12592. Man stelle Z¨ahler und Nenner der N¨aherungsbr¨uche in einer Tabelle
qk q0 q1 . . . qn−1 qn ck 0 1 q0 c1 . . . cn−1 125 dk 1 0 1 d1 . . . dn−1 92
zusammen und lese ein Paar (x, y) ab mit 92x+ 125y= 1.
Aufgabe 14:
(a) Man gebe die Primfaktorzerlegung von 34.411.014.000 an.
(b) Bestimme den ggT von 1457, 3751, 10013, 50375 und stelle ihn als ganzzahlige Linear- kombination dieser Zahlen dar.
(c) Man bestimme das kgV der in (b) genannten Zahlen.
Aufgabe 15:
Bestimme die Kettenbruchentwicklung von√ 5, √
6,√
7, 1 +√ 3.
Aufgabe 16:
F¨ur die Approximation einer reellen Zahlαdurch rationale Zahlen sind die N¨aherungsbr¨uche
ck
dk,k ≥1, der Kettenbruchentwicklung vonαin folgendem Sinne optimal: Ist f¨ur teilerfremde ganze Zahlen a, b mit b >0 die Ungleichung
a b −α
≤
ck dk −α
erf¨ullt und ist ab 6= cdk
k, so folgt b > dk.
(Hinweis: Es gilt |ab − cd| ≥ bd1, falls ab 6= dc. Man betrachte zuerst den Fall, daß ab und cdk
k auf der gleichen Seite von α liegen.)
