Wirtschafts- und Finanzmathematik für Betriebswirtschaft und International Management

Volltext

(1)Wirtschafts- und Finanzmathematik für Betriebswirtschaft und International Management. Wintersemester 2017/18 04.10.2017 11.10.2017 18.10.2017 25.10.2017 01.11.2017 08.11.2017 15.11.2017 22.11.2017 29.11.2017 06.12.2017 13.12.2017 20.12.2017 29.12.2017 05.01.2018 10.01.2018 19.01.2018. Einführung, R, Grundlagen Grundlagen, Aussagen Aussagen Mengen, Folgen, Reihen Allerheiligen Reelle Funktionen einer Variablen, Stetigkeit Differentialrechnung Differentialrechnung Integration Finanzmathematik Matrizen, Vektoren, Lineare Gleichungssysteme Determinanten, Eigenwerte Weihnachten Weihnachten Puffer, Wiederholung Beginn der Prüfungszeit. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA.

(2) Grundlagentest Gleichungen!.

(3) Testfrage: Gleichungen 1 Quadratische Gleichung Falls a, x ̸= 0 sind für die Gleichung 2a2 x−a= x. in Abhängigkeit von a folgende x ∈ R eine Lösung:.

(4) Testfrage: Gleichungen 1 Quadratische Gleichung Falls a, x ̸= 0 sind für die Gleichung 2a2 x−a= x. in Abhängigkeit von a folgende x ∈ R eine Lösung: A. a. B. 2a und −a. C. 3,5a und −2,5a. D. es gibt keine Lösung. E. Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis..

(5) Testfrage: Gleichungen 1 Quadratische Gleichung Falls a, x ̸= 0 sind für die Gleichung 2a2 x−a= x. in Abhängigkeit von a folgende x ∈ R eine Lösung: A. a. B. 2a und −a. C. 3,5a und −2,5a. D. es gibt keine Lösung. E. Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis.. Richtig: B.

(6) Testfrage: Gleichungen 2. Die Gleichung x−6 5 x−7 + = 1 − x (1 − x)(x − 6) x−6. hat folgende Lösungsmenge L:.

(7) Testfrage: Gleichungen 2. Die Gleichung x−6 5 x−7 + = 1 − x (1 − x)(x − 6) x−6. hat folgende Lösungsmenge L: A. L = {6, 4}. B. L = {6, 1}. C. L = {1}. D. L = {4}. E. Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis..

(8) Testfrage: Gleichungen 2. Die Gleichung x−6 5 x−7 + = 1 − x (1 − x)(x − 6) x−6. hat folgende Lösungsmenge L: A. L = {6, 4}. B. L = {6, 1}. C. L = {1}. D. L = {4}. E. Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis.. Richtig: D.

(9) Testfrage: Gleichungen 3. Betragsgleichung Die Gleichung |x − 3| − |2x + 4| = 0. hat folgende Lösungsmenge L:.

(10) Testfrage: Gleichungen 3. Betragsgleichung Die Gleichung |x − 3| − |2x + 4| = 0. hat folgende Lösungsmenge L: A. L = {3, −2}. B. L = {−7}. C. L = {−7, − 31 }. D. L = {3}. E. Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis..

(11) Testfrage: Gleichungen 3. Betragsgleichung Die Gleichung |x − 3| − |2x + 4| = 0. hat folgende Lösungsmenge L: A. L = {3, −2}. B. L = {−7}. C. L = {−7, − 31 }. D. L = {3}. E. Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis.. Richtig: C.

(12) Testauswertung:. Ihr Ergebnis: 3 Antworten richtig: Sie wirken ausgeglichen!. Übungsmaterial Aufgaben 6.1 - 6.19 aus. 2 Antworten richtig: Rechnen Sie die Aufgaben 6.12 - 6.19! Nur 1 Antwort richtig: Rechnen Sie die Aufgaben 6.8 - 6.19! Keine Antwort richtig: Rechnen Sie die Aufgaben 6.1 - 6.19!. http://goo.gl/qHwN7X.

(13) 1. Grundlegende Bausteine. 2. Aussagenlogik. 3. Mengen. 4. Folgen und Reihen. 5 6. Reelle Funktionen. 7. Integration. 8 9. Opitz u. a., (2017, Kapitel 9, 10). Gliederung. Differentialrechnung. Finanzmathematik Lineare Algebra. 5. Reelle Funktionen Grundbegriffe Elementare Funktionen Stetigkeit reeller Funktionen.

(14) Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Warum beschäftigen wir uns mit reellen Funktionen? allgemein: kompakte und präzise Beschreibung von Abhängigkeiten zwischen mehreren Faktoren. 1. Grundlagen. speziell: Modellierung technischer und ökonomischer Systeme. 3. Mengen. Basis für Analyse und Optimierung von Systemen / Prozessen. 2. Aussagenlogik. 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen. Wesentliche Lernziele. 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren. Fähigkeit mit den wesentlichen Begriffen im Zusammenhang mit Funktionen umzugehen Kennenlernen der wichtigsten Klassen reeller Funktionen. 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Beherrschen des Stetigkeitsbegriffs. 93.

(15) Beispiel. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. (Opitz u. a., 2017, Beispiel 9.1, S. 99). Für ein Produkt wird der monatliche Absatz erhoben. Über ein Jahr betrachtet erhält man Absatzwerte für 12 Zeitpunkte. Darstellung der Funktion f : A → B mit A = {1, . . . , 12} ,. B = {1, 2, 3, 4, 5} :. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen. durch die Wertetabelle t f(t). 4. Folgen und Reihen. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 2 3 4 4 4 1 2 4 5 3 4. graphisch:. 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren 7. Integration. f(t). 8. Finanzmathematik. 5. 9. Lineare Algebra. 4 3 2 1. t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. Abbildung: Graph der Funktion f : A → B 94.

(16) Begriff reelle Funktion. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Definition. f : D → R heißt reellwertige Abbildung mit Definitionsbereich D. Mit D ⊆ R heißt f reelle Funktion von n Variablen n. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. Darstellung von Funktionen. 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. Durch Funktionsgleichungen f(x1 , . . . , xn ) = y • x = (x1 , . . . , xn ): unabhängige (exogene) Variablen • y: abhängige (endogene) Variablen Durch Wertetabellen. 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Durch Graphen • Für D ⊆ R: Darstellung im kartesischen Koordinatensystem • Für D ⊆ R2 : 3-dimensionale Darstellung oder Niveaulinien f(x) = c mit c ∈ R 95.

(17) Beispiel. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Cobb-Douglas-Funktion neoklassische Produktionsfunktion der Form f(x1 , . . . , xn ) = a0 ·. a x1 1. a x2 2. ·. ·. 1. Grundlagen. . . . xann. 2. Aussagenlogik. Beispiel für zwei Produktionsfaktoren 1/2. f(x1 , x2 ) = 1 · x1. 1/2. · x2. =. 3. Mengen. √ x1 · x2. 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. Dreidimensionale Darstellung. 5.1. Grundbegriffe. Niveaulinien. 5.2. Elementare Funktionen. für f(x1 , x2 ) = c mit c = 1/2, . . . , 3. 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren. 4. 7. Integration 8. Finanzmathematik. 4 2. 1,. 1. 0, 5. 2 0,5. 0 0. 1. 3 2,5 2 1, 5. 2,. 2. 5. 2 4 0. 0 0. 0,5. 1. 9. Lineare Algebra. 5. 4 2. 3. 2. 1. 3. 1,5. 4 96.

(18) Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Eigenschaften von Funktionen Eine Funktion f : D → W mit D ⊆ Rn und W ⊆ R heißt: surjektiv, wenn zu jedem y ∈ W ein x ∈ D mit f(x) = y existiert, injektiv, wenn für alle x, x̃ ∈ D gilt x ̸= x̃ ⇒ f(x) ̸= f(x̃), bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist.. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. 97.

(19) Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Eigenschaften von Funktionen Eine Funktion f : D → W mit D ⊆ Rn und W ⊆ R heißt: surjektiv, wenn zu jedem y ∈ W ein x ∈ D mit f(x) = y existiert, injektiv, wenn für alle x, x̃ ∈ D gilt x ̸= x̃ ⇒ f(x) ̸= f(x̃), bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist.. Komposition von Funktionen Voraussetzung: Funktionen f : Df → R und g : Dg → R mit Df ⊆ Rn und f(Df ) ⊆ Dg ⊆ R Zusammengesetzte Funktion: g ◦ f : Df → R: Zuordnung des Werts (g ◦ f)(x) = g (f(x)) für alle x ∈ Df. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. 97.

(20) Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Eigenschaften von Funktionen Eine Funktion f : D → W mit D ⊆ Rn und W ⊆ R heißt: surjektiv, wenn zu jedem y ∈ W ein x ∈ D mit f(x) = y existiert, injektiv, wenn für alle x, x̃ ∈ D gilt x ̸= x̃ ⇒ f(x) ̸= f(x̃), bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist.. Komposition von Funktionen Voraussetzung: Funktionen f : Df → R und g : Dg → R mit Df ⊆ Rn und f(Df ) ⊆ Dg ⊆ R Zusammengesetzte Funktion: g ◦ f : Df → R: Zuordnung des Werts (g ◦ f)(x) = g (f(x)) für alle x ∈ Df. Inverse Funktion / Umkehrfunktion. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Voraussetzung: bijektive Funktion f : D → W mit D, W ⊆ R Inverse Funktion: f−1 : W → D, y 7→ f−1 (y), wobei y für alle x ∈ D mit y = f(x) zugeordnet wird. 97.

(21) Invertierung: Beispiel. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. f1 : R → R. mit. x 7→ f1 (x) = 2x − 3 = y. f2 : R → R. mit. x 7→ f2 (x) = x3 = y 1. Grundlagen. −1 Damit ebenfalls bijektiv: Inverse Abbildungen f−1 1 , f2 : R → R mit. 2. Aussagenlogik 3. Mengen. −1. (y) = 12 (y + 3) = x √ y 7→ f2 −1 (y) = 3 y = x y 7→ f1. 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. y. y. f2. 6. Differenzieren. y=x. 7. Integration. f−1 1. f−1 2. 1. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. −1 1. x 1. x 1. 2 f1. Graphen der Abbildungen f1 , f2 , f1 −1 , f2 −1 98.

(22) Satz: Operationen zwischen Funktionen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Gegeben: f, g : D → R reelle Funktionen mit identischem Definitionsbereich D ⊆ R.. 1. Grundlagen. Dann sind auch die folgenden Abbildungen relle Funktionen:. 3. Mengen. 2. Aussagenlogik. 4. Folgen und Reihen. f+g:. D→R. mit. x∈D. 7→. (f + g)(x) = f(x) + g(x). 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen. f−g:. D→R. mit. 5.3. Stetigkeit. x∈D. 7→. (f − g)(x) = f(x) − g(x). 6. Differenzieren 7. Integration. f·g: f : g. D→R D1 → R. mit mit. x∈D x ∈ D1. 7→ 7→. (f · g)(x) = f(x) · g(x) f f(x) (x) = g g(x). 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. D1 = {x ∈ D : g(x) ̸= 0}. 99.

(23) Besondere Punkte bei Funktionen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Gegeben: Reelle Funktion f : D → R mit D ⊆ Rn. Definitionen. c-Stelle von f: xc ∈ D mit f(xc ) = c. Mit c = 0 heißt c-Stelle dann 0-Stelle von f Maximalstelle oder globales Maximum: xmax ∈ D mit f(xmax ) > f(x) für alle x ∈ D Minimalstelle oder globales Minimum: xmin ∈ D mit f(xmin ) 6 f(x) für alle x ∈ D > ∗ ∗ x ∈ D mit f(x ) f(x) für x ∈ [x∗ − a, x ∗ +a] ⊆ D (6) heißt lokale Maximalstelle (Minimalstelle), f(x∗ ) lokales Maximum. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Weitere Sprechweisen: Extremal-, Optimalstelle, Extremum, Optimum 100.

(24) Beispiel: Maximal-, bzw. Minimalstellen. und x2 = 12 − p2 Wegen x1 , x2 > 0 und p1 , p2 > 0 folgt p1 ∈ [0,10] und p2 ∈ [0,12] Gesamtumsatz? Maximalstelle?. 50. 1. Grundlagen. 30. 20 50 10. 2. Aussagenlogik. 40. 10. 20. Gegeben: Preis-Absatz-Funktionen x1 = 10 − p1. 5600. 40. Umsatzmaximierung für zwei Produkte mit Absatzquantitäten x1 , x2 und Preisen p1 , p2 :. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. 10. 30 20. 20. 0 0. 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. 10. 10. 5. 5 10 0. 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Minimalstellen?. 101.

(25) Weitere Eigenschaften reeller Funktionen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. f beschränkt ⇔ es gibt c0 , c1 ∈ R mit c0 6 f(x) 6 c1 f monoton wachsend f monoton fallend. ⇔ ⇔. (x1 < x2 ⇒ f(x1 ) 6 f(x2 )) (x1 < x2 ⇒ f(x1 ) > f(x2 )). 1. Grundlagen. bei strenger Monotonie entfällt „=“. 2. Aussagenlogik 3. Mengen. f konvex ⇔ x1 ̸= x2 ⇒ f λx1 + (1 − λ)x2 6 λf(x1 ) + (1 − λ)f(x2 ) f konkav ⇔ x1 ̸= x2 ⇒ f λx1 + (1 − λ)x2 > λf(x1 ) + (1 − λ)f(x2 ) λ ∈ (0,1) . . 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen. bei strenger Konkavität entfällt „=“ f periodisch mit Periode p > 0 f gerade (ungerade). ⇔. ⇔. 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren. f(x) = f(x ± p). 7. Integration. f(x) = f(−x) (−f(x) = f(−x)). 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. f1. f2. f3. f4. 1. 1. 1. 1. x. x. 1 −1. f1 = x. x. x. 1. 1. 1. −1. −1. −1. f2 = x2. f3 = x3. f4 = 1/x. Graphen einiger Funktionen. 102.

(26) Polynome. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Definition p : R → R mit. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik. 2. n. p(x) = a0 + a1 x + a2 x + . . . + an x =. n X. i. ai x. (mit an ̸= 0). i=0. 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe. heißt Polynom n-ten Grades Schreibweise: grad(p) = n. 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren 7. Integration. Satz. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Summen, Differenzen und Produkte von Polynomen sind wieder Polynome. p(x) p(x1 ) = 0 ⇒ u(x) = x−x ist wieder Polynom mit 1 grad(u) = grad(p) − 1. 103.

(27) Rationale Funktionen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Definition. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik. q : D → R mit p1 (x) q(x) = p2 (x). 3. Mengen. (mit p1 , p2 (̸= 0) sind Polynome). 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen. heißt Rationale Funktion.. 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren 7. Integration. Satz Jedes Polynom ist auch rationale Funktione (z.B. p2 (x) = c).. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten (falls definiert) von rationalen Funktionen sind wieder rationale Funktionen.. 104.

(28)

(29) Weitere Funktionen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Potenzfunktion f : R+ → R+ mit f(x) = x , (a ∈ R) heißt Potenzfunktion. a. f ist streng monoton wachsend für a > 0 und streng monoton fallend für a < 0.. Für a ̸= 0 existiert eine inverse Funktion f−1 zu f. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen. Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion f : R → R+ mit f(x) = ax , (a > 0, a ̸= 1) heißt Exponentialfunktion zur Basis a. g : R+ → R mit g(y) = loga (y), (a > 0, a ̸= 1) heißt Logarithmusfunktion zur Basis a mit g = f−1 .. 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Satz: f, g wachsen streng monoton für a > 1 und fallen streng monoton für a < 1. 105.

(30) Grenzwert einer Funktion. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Ausgangssituation Gegeben: Funktion f : D → R mit D ⊆ Rn Grenzwert von f aufbauend auf Konvergenz von Zahlenfolgen m T ∈ D mit Grenzwert Dazu betrachte: Alle Folgen am = am , . . . , a n 1 n m a ∈ R , also a → a für m → ∞ Untersuche Grenzwerte. m (a ). lim f m. a. f heißt an der Stelle a ∈ R konvergent gegen f̃ ∈ R,. 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. →a. 5.1. Grundbegriffe. Definition des Grenzwerts einer Funktion n. 1. Grundlagen. 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. (die nicht notwendig zu D gehören muss). wenn 1. mindestens eine Folge (am ) mit am ∈ D, am ̸= a und am → a existiert ( d.h. a ist kein „isolierter Punkt“) 2. für alle Folgen (am ) mit am ∈ D und am → a0 gilt f(am ) → f̃.. 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. f̃ heißt dann Grenzwert von f(am ).. Schreibweise für alle gegen a konvergierende Folgen (am ): m (a ) = f̃ lim f m. a. →a. oder kurz. lim f(x) = f̃. x→a. 106.

(31) Begriff der Stetigkeit. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Gegeben Funktion f : D → R mit D ⊆ Rn Definition. 1. Grundlagen. f heißt stetig in x0 ⇔ lim f(x) = f(x0 ) x→x0. f heißt stetig in T ⊆ D ⇔ f ist für alle x ∈ T stetig. Ist f für ein x̃ ∈ D nicht stetig, so heißt x̃ Unstetigkeitsstelle oder Sprungstelle. 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren. Satz Für stetige Funktionen f, g gilt: • f ± g, f · g, f/g (g(x) ̸= 0) sind stetig • |f|, f ◦ g, sind stetig • Falls f auf einem Intervall definiert und invertierbar: f−1 stetig. 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Alle elementaren Funktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig 107.

(32)

(33) und ihr Minimum an. Man schreibt gelegentlich Zwischenwertsatz ˚ max f .x/ W x 2 Œa; b D f .xmax / D fmax ; etig ˚ Gegeben: →2 R Œa; stetig min ff: [a, .x/b]W x b D f .xmin / D fmin :. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Dann gilt:. Mit Hilfe der nachfolgenden Grafik kann Satz 10.19 f(a) < f(b) ⇒ ∀ y ∈ [f(a), f(b)] ∃ x ∈ [a, b] mit f(x) = y veranschaulicht werden.. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen. f .x/. 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen. fmax. 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik. x. x. a xmin xmax. 9. Lineare Algebra. b. fmin Abbildung 10.13: f W Œa; b ! R mit f stetig Opitz u. a., (2017, S. 132). Zum expliziten Beweis verweisen wir auf Forster. 108.

(34)