Wirtschafts- und Finanzmathematik für Betriebswirtschaft und International Management

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(1)Wirtschafts- und Finanzmathematik für Betriebswirtschaft und International Management. Wintersemester 2017/18 04.10.2017 11.10.2017 18.10.2017 25.10.2017 01.11.2017 08.11.2017 15.11.2017 22.11.2017 29.11.2017 06.12.2017 13.12.2017 20.12.2017 29.12.2017 05.01.2018 10.01.2018 19.01.2018. Einführung, R, Grundlagen Grundlagen, Aussagen Aussagen Mengen, Folgen, Reihen Allerheiligen Reelle Funktionen einer Variablen, Stetigkeit Differentialrechnung Differentialrechnung Integration Finanzmathematik Matrizen, Vektoren, Lineare Gleichungssysteme Determinanten, Eigenwerte Weihnachten Weihnachten Puffer, Wiederholung Beginn der Prüfungszeit. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. Prof. Dr. Stefan Etschberger.

(2) Vorlesungsbegleitende Unterlagen. Arbeitsmaterial: Foliensatz, Aufgabenskript, Mitschrift auf Wunsch Bücher (unterstützend): Arens, Tilo, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger und Hellmuth Stachel (2015). Mathematik. 3. Aufl. Springer Spektrum. Cramer, Erhard und Johanna Nešlehová (2015). Vorkurs Mathematik: Arbeitsbuch zum Studienbeginn in BachelorStudiengängen. 6. Aufl. Springer Spektrum. Opitz, Otto, Stefan Etschberger, Wolfgang R. Burkart und Robert Klein (2017). Mathematik. München: De Gruyter Oldenbourg.. http://goo.gl/qHwN7X (als E-Book innerhalb des Hochschulnetzwerks kostenlos). Purkert, Walter (2014). Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 8. Aufl. Springer Gabler. Tietze, Jürgen (2013). Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik. 17. Aufl. Springer Spektrum. Tietze, Jürgen (2015). Einführung in die Finanzmathematik. 12. Aufl. Springer Spektrum. https://goo.gl/uajWmQ (ab Mitte Oktober 2017). Prüfung. Klausur: Klausur am Ende des Semesters Bearbeitungszeit: 90 Minuten Erreichbare Punktzahl: 90 Aufgaben mit R sind Prüfungsbestandteil Hilfsmittel: • Schreibzeug, • Taschenrechner, der nicht 70! berechnen kann, • ein Blatt (DIN-A4, vorne und hinten beschrieben) mit handgeschriebenen Notizen (keine Kopien oder Ausdrucke).

(3) Gliederung. 1 Grundlegende Bausteine. 6. Differentialrechnung. 2 Aussagenlogik. 7. Integration. 3 Mengen. 8 9. Finanzmathematik. 4 Folgen und Reihen. Lineare Algebra. 5 Reelle Funktionen. Was ist R und warum sollte man es benutzen? R ist ein freies Softwarepaket zu Mathematik, Statistik und Datenanalyse R ist sehr mächtig und weit verbreitet in Wissenschaft und Industrie (sogar von mehr Leuten benutzt als z.B. SPSS) Ursprung von R: 1993 an der Universität Auckland von Ross Ihaka and Robert Gentleman entwickelt Seitdem: Viele Leute haben R verbessert mit tausenden von Paketen für viele Anwendungen Nachteil (auf den ersten Blick): Kein point und click tool Großer Vorteil (auf den zweiten Blick): Kein point und click tool. graphics source: http://goo.gl/W70kms. source: http://goo.gl/axhGhh. Download: R-project.org.

(4) Was ist RStudio?. RStudio ist ein Integrated Development Environment (IDE) um R leichter benutzen zu können. Gibt’s für OSX, Linux und Windows Ist auch frei Trotzdem: Sie müssen Kommandos schreiben Aber: RStudio unterstützt Sie dabei Download: RStudio.com. Erste Schritte. RStudio Kennenlernen Code Console Workspace History Files Plots Packages Help Auto-Completion Data Import.

(5) Erste Schritte in R # # # 1. -------------------R als Taschenrechner -------------------+ 1. ## [1] 2 0.2 * 4 + 1 # Dezimaltrenner ".", Punkt vor Strich gilt ## [1] 1.8 (3 - 2/5)^2 # runde Klammern zum Gruppieren, Potenzen mit "^" ## [1] 6.76 x = 2^10 x. # Ergebnisse in Variablen abgespeichert # und anschließend weiterverwendet. ## [1] 1024 x - 1 ## [1] 1023 f = function(x) {x^2 + 3*x - 5} # Funktionsterm f(0) # ein Funktionswert ## [1] -5 f(-1:3) ## [1] -7 -5 -1. # mehrere Funktionswerte 5 13. Erste Schritte in R x = seq(from=-1, to=3, by=0.5) # x-Werte data.frame(x, f(x)) # Wertetabelle ## ## ## ## ## ## ## ## ## ##. x f.x. 1 -1.0 -7.00 2 -0.5 -6.25 3 0.0 -5.00 4 0.5 -3.25 5 1.0 -1.00 6 1.5 1.75 7 2.0 5.00 8 2.5 8.75 9 3.0 13.00. curve(f, from = -1, to = 3). −5. 0. f(x). 5. 10. # Funktionsgraph. −1. 0. 1 x. 2. 3.

(6) EduVote Umfragen in Vorlesung mit EduVote: System zur Abstimmung im Hörsaal App herunterladen oder direkt benutzen unter eduvote.de User-Id: Etschberger, kein Session-Code. 1. Grundlegende Bausteine. 2. Aussagenlogik. 3. Mengen. 4. Folgen und Reihen. 5 6. Reelle Funktionen. 7. Integration. 8 9. Finanzmathematik. Opitz u. a., 2017, Kapitel 1.1–1.3, 1.5, 1.6. Gliederung. Differentialrechnung. Lineare Algebra. 1. Grundlegende Bausteine Reelle Zahlen Ganzzahlige Potenzen Algebraische Umformungen Brüche Nichtganzzahlige Potenzen Logarithmen Notation von Summen.

(7) Zahlen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. „Vernünftige“ Zahlen 1. Grundlagen. Natürliche Zahlen: N. 1.1. Reelle Zahlen 1.2. Ganzzahlige Potenzen. Ganze Zahlen; Z. 1.3. Algebraische Umformungen. Rationale Zahlen: Q. 1.4. Brüche. Rationale Zahlen liegen unendlich dicht auf dem Zahlenstrahl. 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen 1.6. Logarithmen 1.7. Notation von Summen. Aber. 2. Aussagenlogik 3. Mengen. Aber: Lösungen von Gleichungen wie. 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. x2 = 2. 6. Differenzieren 7. Integration. haben keine rationale Lösung. 8. Finanzmathematik. √ Folge: Es gibt auch irrationale Zahlen: Z.B. 2. 9. Lineare Algebra. 27. Dezimaldarstellung rationaler Zahlen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Zahldarstellung über Vielfache von 10. 1. Grundlagen. Die meisten Leute schreiben Zahlen heute im Dezimalsystem Damit möglich: Schreiben jeder natürlichen Zahl mit Kombinationen der Ziffern 0, 1, . . . , 9 z.B.: 2009 = 2 · 103 + 0 · 102 + 0 · 101 + 9 · 100. 10 3. 1 101. +6·. z.B.: = 3,333 . . . = 3 + 3 · (unendlicher Dezimalbruch). 1 101. 1 102. +3·. +3·. 1.3. Algebraische Umformungen 1.4. Brüche 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen 1.7. Notation von Summen. (endlicher Dezimalbruch) 1 102. 1.2. Ganzzahlige Potenzen. 1.6. Logarithmen. Mit Dezimalkomma: Schreiben rationaler Zahlen möglich z.B.: 2,36 = 2 · 100 + 3 ·. 1.1. Reelle Zahlen. 1 103. + .... Jede rationale Zahl kann man über einen periodischen Dezimalbruch darstellen. 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. 28.

(8) Definition reeller Zahlen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Eine reelle Zahl hat die Form x = m, a1 a2 a3 . . .. 1. Grundlagen 1.1. Reelle Zahlen 1.2. Ganzzahlige Potenzen. Dabei: m: Ganze Zahl. 1.3. Algebraische Umformungen. und ai (mit i = 1, 2, . . .) ist unendliche Folge von Ziffern von 0 bis 9 Damit: Nichtperiodische Dezimalbrüche heißen irrationale Zahlen Beispiele:. 1.4. Brüche 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen 1.6. Logarithmen 1.7. Notation von Summen. 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen. √ 2,. √ − 17,. 5. Reelle Funktionen. π,. 0,1121121112 . . .. 6. Differenzieren 7. Integration. Rechenoperationen +, −, ·, : mit reellen Zahlen ergeben wieder reelle Zahlen Einzige Ausnahme:. p 0. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. ist keine reelle Zahl. 29. Ganzzahlige Potenzen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Abkürzung: 3 · 3 · 3 · 3 = 34 oder. 1 2. ·. 1 2. ·. 1 2. Allgemein:. ·. 1 2. ·. 1 2. =. 1 5 2 1. Grundlagen 1.1. Reelle Zahlen. an = a · a · . . . a. 1.2. Ganzzahlige Potenzen 1.3. Algebraische Umformungen 1.4. Brüche. Rechenregeln:. 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen 1.6. Logarithmen. a−n. 1 = n a. ar · as = ar+s (ar )s = ar·s. 1.7. Notation von Summen. 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration. Achtung: im allgemeinen. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. (a + b)r ̸= ar + br. 30.

(9) Anwendungsbeispiel für Potenzen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Zinseszinsen Anlage von 1000 € auf Bankkonto Verzinsung jeweils am Jahresende 2,5 %. 1. Grundlagen. Zinsen nach einem Jahr: 1000 · 2,5 % = 25. 1.1. Reelle Zahlen. Kontostand am Jahresende:. 1.3. Algebraische Umformungen. 1.2. Ganzzahlige Potenzen. 1.4. Brüche. 1000 + 1000 · 2,5 % = 1000 · (1 + 0,025) = 1000 · 1,025. 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen 1.6. Logarithmen 1.7. Notation von Summen. Kontostand am Ende des zweiten Jahres:. 2. Aussagenlogik 3. Mengen. (1000 · 1,025) + (1000 · 1,025) · 0,025. 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. = 1000 · 1,025 · (1 + 0,025). 6. Differenzieren. 2. = 1000 · 1,025 · 1,025 = 1000 · 1,025. 7. Integration 8. Finanzmathematik. Allgemein: Kontostand ist bei Anfangskapital K und einem Zinssatz von i nach n Jahren. 9. Lineare Algebra. Kn = K · (1 + i)n 31. Wichtige Rechenregeln. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Es gilt für beliebige Zahlen a, b, c: 1.. a+b=b+a. 2.. (a + b) + c = a + (b + c). 3.. a+0=a. 4.. a + (−a) = 0. 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen. 5.. ab = ba. 1.6. Logarithmen. 6.. (ab)c = a(bc). 7.. 1·a=a. 8.. aa. −1. 9.. (−a)b = a(−b) = −ab. 1. Grundlagen 1.1. Reelle Zahlen 1.2. Ganzzahlige Potenzen 1.3. Algebraische Umformungen 1.4. Brüche. = 1 (für a ̸= 0). 1.7. Notation von Summen. 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration. 10.. (−a)(−b) = ab. 8. Finanzmathematik. 11.. a(b + c) = ab + ac. 9. Lineare Algebra. 12.. (a + b)c = ac + bc. 32.

(10) Einfache Algebra. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Algebraische Ausdrücke Beispiel für einen algebraischen Ausdruck: 4x2 y2 + 7y4 x − 9xy + 11xy4. 1. Grundlagen 1.1. Reelle Zahlen 1.2. Ganzzahlige Potenzen. Die einzelnen Summanden (4x y , −9xy, usw.) heißen Terme des Ausdrucks 2 2. Faktoren vor den Buchstaben (4, 7, −9, 11): Koeffizienten Terme, die sich maximal durch Koeffizienten unterscheiden, genannt Koeffizienten von der gleichen Art, können zusammengefasst werden:. 1.3. Algebraische Umformungen 1.4. Brüche 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen 1.6. Logarithmen 1.7. Notation von Summen. 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. 4. 4. 4. 7y x + 11xy = 18xy. 6. Differenzieren 7. Integration. Binomische Formeln. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a + b)(a − b) = a2 − b2. 33. Faktorisieren. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Primfaktorzerlegung Zahlen können multiplikativ in Primfaktoren zerlegt werden, Beispiel. 1. Grundlagen 1.1. Reelle Zahlen 1.2. Ganzzahlige Potenzen 1.3. Algebraische Umformungen. 64 = 8 · 8. oder. 1848 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11. 1.4. Brüche 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen 1.6. Logarithmen. Faktorisierung algebraischer Ausdrücke Analog bei algebraischen Ausdrücken: Zerlegung in irreduzible Faktoren Beispiele:. 1.7. Notation von Summen. 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren. 5a2 b3 − 15ab2 = 5 · a · b2 · (ab − 3) 16a4 b2 − 9b4 = b2 · 4a2 − 3b · 4a2 + 3b. 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. 34.

(11) Brüche. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Division zweier Zahlen (a, b ∈ R, b ̸= 0) kann durch Bruch geschrieben werden. a:b=. a = a/b b. 1. Grundlagen 1.1. Reelle Zahlen 1.2. Ganzzahlige Potenzen 1.3. Algebraische Umformungen. Rechenregeln (a, b, c ∈ R):. 1.4. Brüche 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen. a·c a = b·c b −. −a (−a) · (−1) a = = −b (−b) · (−1) b. (b, c ̸= 0). a a (−1)a −a = (−1) = = b b b b. a b a+b + = c c c. a c ad + cb + = b d bd a·. b ac + b a+ = c c. b ab = c c. a c ac · = b d bd. 1.6. Logarithmen 1.7. Notation von Summen. 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. a c a d ad : = · = b d b c bc 35. Quadratwurzel. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Potenz mit ax , wenn a > 0 und x = 1/2: Quadratwurzel Schreibweise:. 1. Grundlagen 1.1. Reelle Zahlen. a. 1 2. √ = a. 1.2. Ganzzahlige Potenzen. wenn a > 0. 1.3. Algebraische Umformungen 1.4. Brüche. Rechenregeln für a ̸= 0 und b > 0: √ √ √ ab = a b r √ a a = √ b b. 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen 1.6. Logarithmen 1.7. Notation von Summen. 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren. Achtung: Im allgemeinen: √ √ √ a + b ̸= a + b. 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. 36.

(12) N-te Wurzeln. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. 1. Problem: Was bedeutet z.B. 5 3 ? 1. Damit Rechenregeln gültig bleiben: 5 3 ist Lösung der Gleichung x3 = 5 Also Allgemein (a ∈ R, n ∈ N): 1 n = a1 = a an. 1. Grundlagen 1.1. Reelle Zahlen 1.2. Ganzzahlige Potenzen 1.3. Algebraische Umformungen 1.4. Brüche 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen 1.6. Logarithmen 1.7. Notation von Summen. Schreibweise:. 2. Aussagenlogik. a. 1 n. √ = na. 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. Allgemeine rationale Exponenten (a ∈ R, p ∈ Z, q ∈ N): a. p q. 1 p √ p = aq = qa. 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. 37. Logarithmen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Wie löst man die Gleichung ax = b nach x auf? (dabei soll gelten a, b > 0 und a ̸= 1) Neues Symbol: Der Logarithmus von b zur Basis a:. 1. Grundlagen 1.1. Reelle Zahlen. ax = b. ⇔. x = loga b. 1.2. Ganzzahlige Potenzen 1.3. Algebraische Umformungen 1.4. Brüche 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen. Beobachtungen:. 1.6. Logarithmen 1.7. Notation von Summen. • loga a = 1 • loga 1 = 0 • loga (an ) = n. 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen. Rechenregeln:. 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren. loga (c · d) = loga c + loga d c loga = loga c − loga d d. 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. loga bn = n · loga b 38.

(13) Logarithmen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Spezielle Logarithmen: log2 x = ld x log10 x = log x loge x = ln x. Logarithmus dualis Dekadischer Logarithmus. 1. Grundlagen 1.1. Reelle Zahlen. Logarithmus naturalis. 1.2. Ganzzahlige Potenzen 1.3. Algebraische Umformungen. Umrechnung von Basen. 1.4. Brüche. loga b =. 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen. logc b logc a. 1.6. Logarithmen 1.7. Notation von Summen. 2. Aussagenlogik 3. Mengen. Beispiel Nach wieviel Jahren verdoppelt sich ein Anfangskapital K mit einem jährlichen Zins von 5%? Lösung:. 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration. 2K = K · (1 + 5%)n = K · 1,05n. 8. Finanzmathematik. ⇔. 1,05n = 2. 9. Lineare Algebra. ⇔. n = log1,05 2 =. ln 2 ≈ 14,2 ln 1,05 39. Summenzeichen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Oft sinnvoll: Abkürzen von längeren Summen durch das P Summenzeichen (Großes griechisches Sigma) Beispiel: Summe von 6 durchnumerierten Zahlen:. 1. Grundlagen 1.1. Reelle Zahlen. N 1 + N 2 + N 3 + N4 + N 5 + N 6 =. 6 X. 1.2. Ganzzahlige Potenzen. Ni. i=1. 1.3. Algebraische Umformungen 1.4. Brüche 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen. Sprechweise: „Summe von i gleich 1 bis 6 über Ni “ Obere und untere Summationsgrenze kann variieren, z.B.. 1.6. Logarithmen 1.7. Notation von Summen. 2. Aussagenlogik 3. Mengen. q X. 4. Folgen und Reihen. ai = ap + ap+1 + . . . + aq. i=p. 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration. Auch konkrete Berechnungsvorschriften sind möglich, z.B.. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. 8 X. i2 = 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 2. i=3 40.

(14) Summenzeichen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Rechenregeln für das Summenzeichen n X i=1. (ai + bi ) = n X. n X. ai +. i=1 n X. c · ai = c. i=1. n X. 1. Grundlagen. Additivität. bi. i=1. Homogenität. ai. 1.1. Reelle Zahlen 1.2. Ganzzahlige Potenzen 1.3. Algebraische Umformungen 1.4. Brüche 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen. i=1. 1.6. Logarithmen. Damit leicht zu zeigen (Setze µx =. 1 n. n P. 1.7. Notation von Summen. 2. Aussagenlogik. ai ):. 3. Mengen. i=1. 4. Folgen und Reihen. n X. 5. Reelle Funktionen. (ai − µx ) = 0. i=1 n X. 6. Differenzieren 7. Integration. 2. (ai − µx ) =. i=1. n X. ! a2i. −n·. µ2x. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. i=1. 41. Produktzeichen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Analog zum Summenzeichen: Q Das Produktzeichen 1. Grundlagen. n Y. 1.1. Reelle Zahlen. ai = a1 · a2 · . . . · an ·. i=1. 1.2. Ganzzahlige Potenzen 1.3. Algebraische Umformungen 1.4. Brüche 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen 1.6. Logarithmen. Zum Beispiel:. 1.7. Notation von Summen. 2. Aussagenlogik. 2 Y. 3. Mengen. x + (−1). i. . = (x − 1)(x + 1). 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. i=1. 6. Differenzieren. Spezielle Abkürzung:. 7. Integration 8. Finanzmathematik. n Y. i = 1 · 2 · . . . · n = n!. „n Fakultät“. 9. Lineare Algebra. i=1. 42.

(15) Binomialkoeffizient. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Man definiert den Binomialkoeffizienten als: m Y. m = k. i=(m−k+1) k Y. 1. Grundlagen. i. 1.1. Reelle Zahlen. =. m! k! · (m − k)!. j. 1.2. Ganzzahlige Potenzen 1.3. Algebraische Umformungen 1.4. Brüche 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen. j=1. 1.6. Logarithmen 1.7. Notation von Summen. Wobei 0! = 1 gesetzt wird. Also:. m 0. =1. Beispiel: 5 5·4 = = 10 2 1·2. Rechenregeln:. 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik. m m = k m−k. m+1 m m = + k+1 k k+1. und. 9. Lineare Algebra. 43. Binomische Formel. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Newtons binomische Formel 1. Grundlagen. (a + b)m. m m m m−1 = a + a b + ··· 0 1 m m m m−1 + ab + b m−1 m. 1.1. Reelle Zahlen 1.2. Ganzzahlige Potenzen 1.3. Algebraische Umformungen 1.4. Brüche 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen 1.6. Logarithmen 1.7. Notation von Summen. 2. Aussagenlogik. Kurzform:. 3. Mengen. (a + b)m. m X m m−k k = a b k k=0. 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration. Zum Beispiel:. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. (x + y)4 = x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4xy3 + y4 44.

(16) Doppelsummen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Beispielsituation: Daten in Tabellenform in n Spalten und m Zeilen. 1. Grundlagen 1.1. Reelle Zahlen. Einzelne Einträge: aij mit i ∈ 1, . . . , m und j ∈ 1, . . . , n Summe über alle Zahlen mit Doppelsummen:. 1.2. Ganzzahlige Potenzen 1.3. Algebraische Umformungen 1.4. Brüche 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen. m X. ai1 +. i=1. m X. ai2 + . . . +. i=1. m X. ain =. i=1. n m X X j=1. 1.6. Logarithmen. !. 1.7. Notation von Summen. aij. 2. Aussagenlogik. i=1. 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. Es gilt:. 6. Differenzieren. m X n X. aij =. i=1 j=1. n X m X. 7. Integration. aij. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. j=1 i=1. 45. 1. Grundlegende Bausteine. 2. Aussagenlogik. 3. Mengen. 4. Folgen und Reihen. 5 6. Reelle Funktionen. 7. Integration. 8 9. Finanzmathematik. Opitz u. a., 2017, Kapitel 4, 5. Gliederung. Differentialrechnung. Lineare Algebra. 2. Aussagenlogik Einführung Aussagenverknüpfungen Argumentationstechniken.

(17) Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Warum beschäftigen wir uns mit der Aussagenlogik? zahlreiche „Aussagen“ aus der Vorlesung erforden grundlegendes Verständnis der Aussagenlogik Grundlage der mathematischen Beweisführung Hilfreich zum Erlernen von Programmiersprachen Wesentliche Lernziele Kenntniss der relevanten Begriffe wie Definition, Axiom, Satz und Beweis Verständnis der wesentlichen aussagenlogischen Operatoren Auswertung logischer Aussagen hinsichtlich der Eigenschaften „wahr“ oder „falsch“. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 2.1. Einführung 2.2. Aussagenverknüpfungen 2.3. Argumentieren. 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Beherrschung grundlegender Beweistechniken wie dem direkten und indirekten Beweis sowie der vollständigen Induktion. 52. Beispiel. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Aussagen eines Politikers zur Wahl Die Vollbeschäftigung wird erhalten oder die Steuern dürfen nicht erhöht werden. Wenn sich Politiker um die Bevölkerung kümmern, müssen die Steuern angehoben werden. Die Politiker kümmern sich um die Bevölkerung oder die Vollbeschäftigung kann nicht erhalten werden. Es stimmt nicht, dass die Erhaltung der Vollbeschäftigung eine Steuererhöhung zur Folge haben muss.. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 2.1. Einführung 2.2. Aussagenverknüpfungen 2.3. Argumentieren. 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Hat sich der Politiker widersprochen?. 53.

(18) Begriffe. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Axiom: Grundsachverhalt als Ausgangspunkt, wird nicht bewiesen Definition: Sachverhalt, wird durch neuen Begriff beschrieben, bezieht sich auf bereits Definiertes oder auf Axiome Aussage (math. Satz): Formulierung auf Basis bisherigen Wissens, wird als wahr oder falsch identifiziert. Aussagenverknüpfungen: Negation (A), Konjunktion (A ∧ B), Disjunktion (A ∨ B), Implikation (A ⇒ B), Äquivalenz (A ⇔ B). 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 2.1. Einführung 2.2. Aussagenverknüpfungen 2.3. Argumentieren. 3. Mengen. Tautologie: Verknüpfte, stets wahre Aussage. 4. Folgen und Reihen. Kontradiktion: Verknüpfte, stets falsche Aussage. 5. Reelle Funktionen. Allaussage:. 6. Differenzieren 7. Integration. A(1) ∧ A(2) . . .. =. ^. A(x) (für x = 1,2, . . .). =. ∀ x : A(x). A(x) (für x = 1,2, . . .). =. ∃ x : A(x). 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. x. Existenzaussage:. A(1) ∨ A(2) . . .. =. _ x. 54. Aussagenverknüpfungen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Wahrheitswerte aller möglichen Verknüpfungen der Aussagen A und B A B. w w. w f. f w. f f. 1) 2) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14). w f f w w w f w f f f w f f f. w f f w w f w f w f f f w w f. w f f w f w w f f w f f w f w. w f f f w w w f f f w w f w w. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik. Verknüpfung ist stets wahr Verknüpfung ist stets falsch Verknüpfung ist stets falsch Disjunktion A ∨ B Implikation B ⇒ A Implikation A ⇒ B Negierte Konjunktion A ∧ B Konjunktion A ∧ B Negierte Implikation A ⇒ B Negierte Implikation B ⇒ A Negierte Disjunktion A ∨ B Äquivalenz A ⇐⇒ B Negierte Äquivalenz A ⇐⇒ B Negation B Negation A. 2.1. Einführung 2.2. Aussagenverknüpfungen 2.3. Argumentieren. 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. 55.

(19) Beispiel. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Gegeben sind Aussagen über den Marktanteil eines weltweit vertriebenen Markterzeugnisses P in zwei Handelszonen: A: „ Das Produkt P hat in der Europäischen Union (EU) einen. Marktanteil von mehr als 25 %“ B: „ Das Produkt P hat in Nordamerika (NA) einen Marktanteil von. mehr als 25 %“ Abgeleitete Aussagen: A: Der Marktanteil von P in der EU beträgt höchstens 25%. A ∧ B: Der Marktanteil von P beträgt in der EU und in NA mehr als 25%. A ∨ B: Der Marktanteil von P beträgt in der EU oder in NA mehr als 25%. A ⇒ B: Wenn der Marktanteil von P in der EU mehr als 25% beträgt, so liegt er auch. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 2.1. Einführung 2.2. Aussagenverknüpfungen 2.3. Argumentieren. 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. in NA über 25 %.. A ⇔ B:. der Marktanteil von P in der EU beträgt genau dann mehr als 25%, wenn er. auch in NA über 25 % liegt.. 56. Beispiel. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Ausgangspunkt: Aussage A mit A: „ Der Gewinn einer Unternehmung ist gleich dem Umsatz abzüglich der Kosten.“ Daraus abgeleitet:. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 2.1. Einführung 2.2. Aussagenverknüpfungen 2.3. Argumentieren. 3. Mengen. A1 : Die Kosten wachsen.. 4. Folgen und Reihen. A2 : Der Umsatz wächst.. 5. Reelle Funktionen. A3 : Der Gewinn wächst.. 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik. Dann ist die folgende Implikation wahr: A1 ∧ A2 ⇒ A3 : „Wenn der Umsatz bei nicht steigenden Kosten wächst, so wächst auch der Gewinn.“. 9. Lineare Algebra. 57.

(20) Argumentationstechniken. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Direkter Beweis einer Implikation A ⇒ B (analog Äquivalenz A ⇔ B):. A ⇒ C 1 ⇒ C2 ⇒ . . . ⇒ B 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik. Beweis von A ̸⇒ B durch Gegenbeispiel. 2.1. Einführung. Beweisprinzip der vollständigen Induktion für Allaussagen • Induktionsanfang: Beweis der Aussage für kleinstmöglichen Wert von n (oft n = 0 oder n = 1 ) • Induktionsvoraussetzung: Annahme, dass die Aussage für n wahr ist • Induktionsschluss: Beweis (unter Ausnutzung der Induktionsvoraussetzung), dass die Aussage auch für n + 1 gültig ist. Beispiel (vollst. Induktion): A(n) =. n P. i=. i=1 1 P. • Ind.-Anfang: n = 1 :. n+1 X. i=. i=1. i=1. =. n X. 1·2 2. 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration. ;n ∈ N. 8. Finanzmathematik. =1. i + (n + 1) =. i=1. =. 2.3. Argumentieren. 9. Lineare Algebra. i=1. • Ind.-Schluss:. n(n+1) 2. 2.2. Aussagenverknüpfungen. n(n + 1) + (n + 1) 2. n(n + 1) + 2(n + 1) (n + 1)(n + 2) = 2 2 58. Beispiel: Beweis durch Gegenbeispiel. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Ausgangspunkt: Die ökonomische Gleichung 1. Grundlagen. Gewinn. =. Umsatz − Kosten. 2. Aussagenlogik 2.1. Einführung 2.2. Aussagenverknüpfungen. Daraus:. 2.3. Argumentieren. A: Für zwei Produkte stimmen Umsätze und Kosten überein. B: Für zwei Produkte sind die Gewinne gleich Damit gilt: A ⇒ B , andererseits aber B ̸⇒ A .. 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration. Gegenbeispiel zur Bestätigung von B ̸⇒ A:. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Für zwei Produkte gegeben: • Umsätze u1 = 2, u2 = 5 • Kosten c1 = 1, c2 = 4. Dann ist g1 = u1 − c1 = 2 − 1. =1=. u2 − c2 = 5 − 4 = g2 , aber u1 ̸= u2 ,. c1 ̸= c2 .. 59.

(21) 1. Grundlegende Bausteine. 2. Aussagenlogik. 3. Mengen. 4. Folgen und Reihen. 5 6. Reelle Funktionen. 7. Integration. 8 9. Finanzmathematik. Opitz u. a., 2017, Kapitel 6, 7.1, 7.3, 7.4. Gliederung. Differentialrechnung. Lineare Algebra. 3. Mengen Grundlagen Beziehungen zwischen Mengen Relationen. Warum Mengen?. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Mengen sind natürliche Betrachtungsgegenstände in den Wirtschaftswissenschaften: • • • •. Kundensegmente Produktgruppen Handlungsalternativen etc.. Mengen erlauben die effiziente Gruppierung von Objekten sowie die Repräsentation ihrer Eigenschaften und Beziehungen mengenorientierte Schreibweisen bilden die Grundlage der Darstellung zahlreicher mathematischer Methoden wie z.B. im Operations Research oder in Methoden der Marktforschung. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 3.1. Grundlagen 3.2. Beziehungen 3.3. Relationen. 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration. Wesentliche Lernziele Verstehen des Begriffs Menge Fähigkeit Mengen darzustellen und Operationen mit ihnen durchzuführen Beherrschen der grundlegenden kombinatorischen Methoden, die Elemente einer Menge anzuordnen bzw. eine Teilmenge davon auszuwählen Fähigkeit Beziehungen zwischen Mengenelementen darstellen zu können. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. 61.

(22) 6.1 Mengenbegriff. Grundbegriffe. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Am Ende des 19. Jahrhunderts begründete G. Cantor (Abbildung 6.1) die Mengenlehre.. Menge A: Gesamtheit bestimmter unterscheidbarer Objekte (Elemente). Er beginnt mit der Erklärung:. Es kann immer entschieden werden:. oder. a∈A. a∈ /A. Mengendefinition durch Aufzählen (A = {a, b, c, . . .}) oder Beschreibung der Elemente; zum Beispiel B = {b : b ∈ N ∧ 0 < b < 10}. Abbildung 6.1: Georg Cantor (1845-1918). d c. b e. 6. Differenzieren. Diese 7.Erklärung Integration gibt sicherOpitz u. a., (2017, S. 55) lich eine gewisse Vorstellung vom Mengenbegriff wie8. Finanzmathematik der, sie kann jedoch nicht als Definition angesehen Lineare Algebra werden, denn die verwendeten9.Begriffe wie „Zusammenfassung“, „Objekte“, „Ganzes“ müssten erst präzisiert werden. Darüber hinaus führt die Cantorsche Erklärung zu Widersprüchen.. Veranschaulichung durch Venn-Diagramme:. a. „Unter1. Grundlagen einer Menge verstehen2.wir jede ZusammenAussagenlogik fassung von bestimmten, 3. Mengen wohlunterschiedenen Objek3.1. Grundlagen ten unserer Anschauung oder 3.2. Beziehungen 3.3. Relationen unseres Denkens, welche die Elemente derundMenge ge4. Folgen Reihen nannt 5. werden, zu einem Reelle Funktionen Ganzen.“. A. Venndiagramme der Menge {a, b, c, d, e} (links) und der Menge A (rechts). Bekannt ist die Antinomie von B. Russel (Abbildung 6.2), die durch folgende Aussage veranschaulicht Mächtigkeit einer Menge: Anzahl der Elemente einer Menge; Symbol: werden kann: |A|. Leere Menge: enthält keine Elemente; Symbole: ∅ = {} „Ein Barbier rasiert genau alle Männer eines Dorfes, die sich nicht selbst rasieren.“. 6. 62. Gehört also der Barbier zu der Menge aller Männer, die sich nicht selbst rasieren, so rasiert er sich dennoch selbst. Gehört er zur Menge allerWirtschaftsmathematik Männer, die von ihm - WS2017 rasiert werden, so rasiert er sichEtschberger nicht selbst.. Paradoxa in naiver Mengenlehre. Mengen und ihre Operationen Antinomie von Betrand Russell Der Umgang mit Mengen ist zentral in der modernen In diesem Kapitel werden wir den Men(1872 - 1970)Mathematik. genbegriff näher fassen und Mengen zueinander in. 1. Grundlagen. Beziehung setzen, danach Mengen miteinander verknüpfen und so die allgemeine Grundlage für Funktionen und ihre Eigenschaften legen.. „ Der Barbier eines Dorfes rasiert genau alle Männer eines Dorfes, die sich nicht selber rasieren “. 2. Aussagenlogik 3. Mengen 3.1. Grundlagen 3.2. Beziehungen. 6.1 Mengenbegriff. Unklar: Gehört der Barbier zur Menge der Am Ende des 19. Jahrhunderts begründete G. Cantor Selbstrasierer? (Abbildung 6.1) die Mengenlehre.. Er beginnt mit der Erklärung: „Unter einer Menge Problem der „naiven“ Mengenlehre. Widersprüche (s.o.)!. verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen.“. Lösung: Axiomatische Mengentheorie. 3.3. Relationen. Abbildung 6.2: Bertrand Russell (1872-1970). Opitz u. a., (2017, S. 55). 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren. Derartige Schwierigkeiten können wir umgehen, wenn wir in der Lage sind, für jedes Objekt im obigen Sinne7. Integration mit „wahr“ oder „falsch“ zu entscheiden, ob es zur Menge gehört. In vielen konkreten Anwendungsfällen8. Finanzmathematik ist aber in diesem Sinne klar, was unter einer Menge9. Lineare Algebra und ihren Elementen zu verstehen ist, z. B. bei Mengen von bestimmten Anbietern, Nachfragern, Institutionen, Gütern, Investitionsalternativen, Marktanteilen, Preisen, Zahlen, Punkten, Aussagen, Gleichungen usw. Wir verwenden deswegen diesen sogenannten naiven Standpunkt der Mengenlehre nach Cantor für unsere weiteren Überlegungen.. Erster Ansatz mit Axiomen: Georg Cantor Abbildung 6.1: Georg. Cantor (1845-1918) verbreitet in modernerDiese Mathe: ErklärungZermelo-Fraenkel-Mengenlehre gibt sicherlich eine gewisse Vorstellung vom Mengenbegriff wiemit Auswahlaxiom (ZFC) der, sie kann jedoch nicht als Definition angesehen. werden, denn die verwendeten Begriffe wie „Zusam-. Trotzdem menfassung“, hier im„Objekte“, Kurs: „Ganzes“ Naivermüssten Ansatz erst präzisiert werden. Darüber hinaus führt die Cantorsche Erklärung zu Widersprüchen.. Bekannt ist die Antinomie von B. Russel (Abbil-. Im folgenden Abschnitt befassen wir uns zunächst mit Mengen in aufzählender und beschreibender Form sowie mit den Begriffen Teilmenge, Potenzmenge, Durchschnitt, Vereinigung, Differenz und Komplement. Der Begriff der Menge und ihre elementaren, al-. 63.

(23) Relationen und Operationen zwischen Mengen Gleichheit: A = B. ⇔. (a ∈ A ⇔ a ∈ B). Teilmenge: A ⊆ B. ⇔. (a ∈ A ⇒ a ∈ B). Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. B. Echte Teilmenge: A $ B ⇔ (A ⊆ B ∧ A ̸= B). A. Teilmenge A $ B. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen. A∩B. Potenzmenge P(A): Menge aller Teilmengen von A. 3.1. Grundlagen. A. B. Durchschnittsmenge. Bemerkung: ∅ ist Teilmenge jeder Menge. 3.2. Beziehungen 3.3. Relationen. 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. A∩B. 6. Differenzieren. Mengenoperationen. 7. Integration. A ∪ B A. Durchschnittsmenge: A ∩ B = {a : a ∈ A ∧ a ∈ B}. B. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Vereinigungsmenge A ∪ B. Vereinigungssmenge: A ∪ B = {a : a ∈ A ∨ a ∈ B}. B. Differenzmenge: A\B = {a : a ∈ A ∧ a ∈ / B} Komplementärmenge (Vorauss. A ⊆ B): AB = {a : a ∈ B ∧ a ∈ / A}. B\A. A. Differenzmenge B ohne A 64. Beispiel: Skiclub „Buckelpiste“ Vereinsmeisterschaft in den Disziplinen Abfahrt (A), Slalom (S) und Riesenslalom (R). Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. (Opitz u. a., 2017, S. 64). Daraus folgt: |A ∩ R| = |A| + |R| − |A ∪ R| 1. Grundlagen. = 15 + 30 − 40 = 5. 2. Aussagenlogik. |A ∪ S| = |A| + |S| − |A ∩ S|. 40 Teilnehmer, davon 15 für Abfahrt, 20 für Slalom, 30 für Riesenslalom.. 3. Mengen. = 15 + 20 − 2 = 33. 3.1. Grundlagen. |(A \ R) \ S| = |A \ R| = |A| − |A ∩ R|. Alle Slalomteilnehmer: Auch Riesenslalom.. |(R \ S) \ A| = |R| − |R ∩ A| − |R ∩ S| + |R ∩ S ∩ A|. |A|. |R| = 30 , |R ∪ S| = 30 , |R \ S| = 10 , |A ∩ S ∩ R| = |A ∩ S| = 2 , |A ∪ S ∪ R| = |A ∪ R| = 40. 6. Differenzieren. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. |A| = 15 , |S| = 20 , |R ∩ S| = 20 ,. 5. Reelle Funktionen. 7. Integration. = 30 − 5 − 20 + 2 = 7. Damit gilt. 3.3. Relationen. 4. Folgen und Reihen. = 15 − 5 = 10. Zwei Teilnehmer: Alle drei Disziplinen. 3.2. Beziehungen. |S| = 20. 7. 18. |R |. =. =1 5. 2. 3. 10. 30. Venndiagramm zum Beispiel. 65.

(24) tung aus und gehen dazu von zwei Mengen A; B sowie a 2 A und b 2 B aus. Kombiniert man die Elemente in der Form .a; b/, wobei es auf die Reihenfolge von a und b ankommt, so spricht man von einem geordneten Paar .a; b/. Die geordneten Paare .a; b/ und .b; a/ sind also für a ¤ b verschieden.. Relationen und Abbildungen. Wir fassen im folgenden diese geordneten Paare zu einer Menge zusammen und definieren damit das kartesische Produkt, das auf den französischen Mathematiker und Philosophen René Descartes (siehe Abbildung 7.1) zurückgeht.. Ausgangspunkt: Mengen A, B. Eigenschaft, dass a zu einer Menge A und b zu e ner Menge B gehört, heißt das kartesische Produk von A und B, man schreibt. Wirtschaftsmathematik A B D f.a; b/ W a 2 A; b 2 Bg : Etschberger - WS2017. Für die geordneten Paare .a; b/ und .c; d / au A B erklärt man .a; b/ D .c; d / ( ) a D c ^ b D d;. .a; b/ ¤ .c; d / ( ) a ¤ c _ b ¤ d: Entsprechend zu A B schreibt man B A D f.b; a/ W b 2 B; a 2 Ag :. Daraus: Kombination von zwei Elementen (mit Reihenfolge): (a, b) mit a ∈ A und b ∈ B. Für1. AD ; vereinbart man Grundlagen ; B D B ; D ;;. 2. Aussagenlogik. analog für B D ; : Im Übrigen gilt. 3. Mengen AB ¤. B A für A ¤ B A B D B A für A D B : 3.1. Grundlagen. Sprechweise für (a, b): Geordnetes Paar, Tupel. 3.2. Beziehungen Interessiert man sich für die Anzahl der Elemente vo A B,3.3. so Relationen ist die folgende Aussage unmittelbar ei leuchtend.. Menge aller geordneten Paare von A und B (auch: kartesisches Produkt) A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}. 4. Folgen und Reihen. Satz 7.2. 5. Reelle Funktionen. A; B seien endliche Mengen mit. jAj D n und jBj D m : 6. Differenzieren Dann ist. Opitz u. a., (2017, S. 65). Abbildung 7.1: René Descartes (1596-1650). 7. Integration jA Bj D jB Aj D. jAj jBj D n m : 8. Finanzmathematik. 9. Lineare Algebra. R ⊆ A × B heißt (binäre) Relation von A in B. Abbildung von A in B: Eine Vorschrift f, die jedem a ∈ A genau ein b ∈ B zuordnet f:A→B. mit. 6. a ∈ A 7→ f(a) = b ∈ B. 66. Beispiel: Relation. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. 1. Grundlagen. y. Gegeben: Menge A × B = R2 und Relation R ⊆ R2 mit. 2. Aussagenlogik 3. Mengen. 3. 3.1. Grundlagen 3.2. Beziehungen. R = {(x, y) ∈ R : y = x } 2. 2. 3.3. Relationen. 4. Folgen und Reihen. 2. Damit: R enthält alle Zahlenpaare des R2 , die oberhalb einer Parabel mit dem Scheitel im Nullpunkt liegen R ist keine Funktion. 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren. 1. 7. Integration 8. Finanzmathematik. x −2. −1. 1. 9. Lineare Algebra. 2. Graph der Relation R = {(x, y) ∈ R2 : y = x2 }. 67.

(25) Beispiel: Relationen und Abbildungen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. A = {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 } ist Menge von Tätigkeiten,. 1. Grundlagen. die von einer Menge B = {b1 , b2 , b3 , b4 } von Angestellten zu erledigen sind.. 2. Aussagenlogik 3. Mengen 3.1. Grundlagen 3.2. Beziehungen. Gegeben: Zuordnungsvorschriften. 3.3. Relationen. 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. ai. a1. a2. a3. a4. a5. a6. 6. Differenzieren 7. Integration. f1 (ai ). b1. b2. b3. b4. f2 (ai ). b1. b2. b2. b2 , b3. b3. b4. f3 (ai ). b1. b1. b1. b1. b1. b1. f4 (ai ). b1. b3. b2. b2. b3. b4. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Welches fi ist eine Funktion?. 68. Eigenschaften von Funktionen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Eine Funktion f : D → W heißt: surjektiv, wenn zu jedem y ∈ W ein x ∈ D mit f(x) = y existiert, injektiv, wenn für alle x, x̃ ∈ D gilt x ̸= x̃ ⇒ f(x) ̸= f(x̃),. 1. Grundlagen. bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist.. 2. Aussagenlogik 3. Mengen. Beispiel. 3.1. Grundlagen 3.2. Beziehungen. Gegeben: A = {a1 , a2 , a3 } , B = {b1 , b2 , b3 , b4 } Funktionen f1 , f2 :. 3.3. Relationen. Funktionen f3 , f4 :. 4. Folgen und Reihen. a∈A. a1. a2. a3. b∈B. b1. b2. b3. b4. f1 (a) f2 (a). a2 b1. a3 b2. a1 b3. f3 (b) f4 (b). a1 b3. a1 b4. a2 b1. a3 b2. 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik. f1 : A → A. f2 : A → B. a1. a1. a1. a2. a2. a2. a3. a3. a3. f3 : B → A b1. b1. b2. b2. 9. Lineare Algebra. f4 : B → B a1. b1. b1. b2. b2. b3. b3. b4. b4. a2 b3. b3. b4. b4. a3. Die Funktionen f1 , f4 sind bijektiv, f2 ist injektiv, f3 ist surjektiv. 69.

(26) Komposition von Funktionen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Komposition von Funktionen Voraussetzung: Funktionen f : Df → Wf und g : Dg → Wg und f(Df ) ⊆ Dg Zusammengesetzte Funktion: g ◦ f : Df → Wf : Zuordnung des Werts (g ◦ f)(x) = g (f(x)) für alle x ∈ Df. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 3.1. Grundlagen 3.2. Beziehungen 3.3. Relationen. 4. Folgen und Reihen. f. Beispiel (Folie 69): Aus f1 , f4 bijektiv, f2 injektiv und f3 surjektiv folgt. f(A) B. 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren. g. C. A. D g◦f. f 1 ◦ f 1 : A → A , f4 ◦ f 4 : B → B. bijektiv. f 2 ◦ f 1 : A → B , f4 ◦ f 2 : A → B. injektiv. f 1 ◦ f 3 : B → A , f3 ◦ f 4 : B → A. surjektiv. f 2 ◦ f 3 : B → B , f3 ◦ f 2 : A → A. weder surjektiv, noch injektiv. Komposition von f und g. 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Wegen A ̸= B sind alle weiteren Kompositionen f1 ◦ f2 , f1 ◦ f4 , f2 ◦ f2 , f2 ◦ f4 , f3 ◦ f1 , f3 ◦ f3 , f4 ◦ f1 , f4 ◦ f3 nicht möglich. 70. Inverse Funktion. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Voraussetzung: bijektive Funktion f : D → W mit D, W ⊆ R Inverse Funktion oder Umkehrabbildung: f−1 : W → D, y 7→ f−1 (y), wobei y für alle x ∈ D mit y = f(x) zugeordnet wird. 1. Grundlagen. Für (bijektive) Kompositionen gilt: (g ◦ f). 3. Mengen. −1. =f. −1. ◦g. 2. Aussagenlogik. −1. 3.1. Grundlagen 3.2. Beziehungen. f. x∈A. y∈B f−1. Ferner existieren die Kompositionen f1 ◦ f2 und (f2 ◦ f1 ) sowie (f1 ◦ f2 )−1 = f−1 ◦ f−1 und 2 1 −1 −1 −1 (f2 ◦ f1 ) = f1 ◦ f2 mit. Beispiel (Folie 69): Wir erhalten die inversen Abbildungen f1 −1 , f2 −1 : B → B mit den Wertetabellen: b∈B. b1. b2. b3. b4. f1 −1 (b) f2 −1 (b). b3 b1. b4 b4. b1 b2. b2 b3. 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration. b∈B. Umkehrabbildung f−1 von f : A → B. 3.3. Relationen. f1 ◦ f2 (b) −1 f1 ◦ f2 (b) f2 ◦ f1 (b) −1 f2 ◦ f1 (b). b1. b2. b3. b4. b3 b2 b4 b3. b1 b3 b2 b2. b2 b1 b1 b4. b4 b4 b3 b1. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. 71.

(27) Grundlagentest Mengen!. Testauswertung:. Ihr Ergebnis: 3 Antworten richtig: Mengenmäßig ist alles in Ordnung!. Übungsmaterial S. 64ff., Aufgaben 2.1 - 2.19 aus. 2 Antworten richtig: Rechnen Sie die Aufgaben 2.13-2.19 aus dem Buch! 1 Antwort richtig: Rechnen Sie die Aufgaben 2.7-2.19 aus dem Buch! Keine Antwort richtig: Rechnen Sie die Aufgaben 2.1-2.19 aus dem Buch!. http://goo.gl/qHwN7X.

(28) 1. Grundlegende Bausteine. 2. Aussagenlogik. 3. Mengen. 4. Folgen und Reihen. 5 6. Reelle Funktionen. 7. Integration. 8 9. Finanzmathematik. Opitz u. a., (2017, Kapitel 8). Gliederung. Differentialrechnung. Lineare Algebra. 4. Folgen und Reihen Eigenschaften und Beispiele Konvergenz und Grenzwert Reihen. Folgen und Reihen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Warum beschäftigen wir uns mit Folgen und Reihen? Analyse von Datensequenzen, insbesondere Modellierung diskreter, zeitlicher Entwicklungen (z.B. von Aktienkursen, Absatzmengen) Grundlage der Finanzmathematik (z.B. Zinseszinsrechnung, Tilgungsrechnung) wesentlich zum Verständnis der Konzepte der Stetigkeit und Differenzierbarkeit. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen. 5. Reelle Funktionen. Wesentliche Lernziele: Verständnis der Begriffe Folgen und Reihen Fähigkeit Folgen und Reihen nach ihrer Art zu klassifizieren. 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Kennenlernen typischer, insbesondere der Grenzwerteigenschaften von Folgen und Reihen Fähigkeit, diese Eigenschaften zu erkennen und nachzuweisen 78.

(29) Definition und Eigenschaften. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Definition Eine Folge ist eine Abbildung a : N0 → R Schreibweise für Folgenglieder: a(0), a(1), . . . oder a0 , a1 , . . . oder. Schreibweise für Folge: (an )n∈N0. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik. (an ). 3. Mengen. Eigenschaften: Eine Folge heißt endlich (unendlich), falls Anzahl der Folgenglieder endlich (unendlich) ist. Leonardo von Pisa (ca. 1180 - 1250). gesetzmäßig gebildet, falls Folgenglieder einem 1 Bildungsgesetz folgen, zum Beispiel: an = n+1. 4. Folgen und Reihen 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen. 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren. rekursiv definiert, falls zur Berechnung eines Folgengliedes frühere Werte nötig sind Beispiel: a0 = 0; a1 = 1 und an = an−1 + an−2 für n > 1 (Fibonacci-Folge). 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Spezielle Folgen Arithmetische Folge: (an ) : an+1 − an = d Geometrische Folge: (an ) :. an+1 an. =q. ∀n ∈ N0 mit d ∈ R. ∀n ∈ N0 mit q ∈ R 79. Geometrische Folge: Beispiel Schachspiel. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Sissa ibn Dahir, der Erfinder des Schachspieles, darf sich vom indischen König Shihram eine Belohnung wünschen.. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen. Sein Wunsch: So viele Weizenkörner, wie man auf ein Schachbrett legen kann, wenn. 4. Folgen und Reihen 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen. 1 . Feld 2 . Feld 3 . Feld 4 . Feld. : : : :. a0 a1 a2 a3. n. Feld. :. an−1. =1 =2 =4 =8. .. . = 2 · an−2. Korn Körner Körner Körner. 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Körner. 80.

(30) Konvergenz und Grenzwert. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Fragen: Bleiben Folgenglieder ab einem gewissen n in einen kleinen Bereich um einen festen Wert?. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik. Und: Kann man diesen Bereich beliebig verkleinern?. 3. Mengen. Definition:. 4. Folgen und Reihen. a ∈ R heißt Grenzwert oder Limes von (an ) ∀ϵ>0. ∃ n(ϵ). |an − a| < ϵ. mit. 4.1. Eigenschaften und Beispiele. ⇔. 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen. ∀ n > n(ϵ). 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren. Schreibweise für Grenzwert: lim an = a. 7. Integration. n→∞. 8. Finanzmathematik. Existiert dieser Grenzwert, heißt die Folge konvergent. 9. Lineare Algebra. Ist der Grenzwert a = 0, heißt die Folge Nullfolge Existiert kein Grenzwert, heißt die Folge divergent. 81. Beispiel zur Definition des Grenzwerts. Gegeben: an =. n n+1. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. an 1.1. Vermutung: lim an = a = 1. 1.0. Beweis: Wenn a = 1, dann folgt. 0.7. ϵ ϵ. 0.9. 2. Aussagenlogik. n→∞. |an − a| = ⇔. n−n−1 n+1. =. ⇔. 1 ϵ. <n+1. ⇔. 1 ϵ. −1<n. 1. Grundlagen. n n+1. −1 <ϵ. 1 n+1. <ϵ. 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 4.1. Eigenschaften und Beispiele. 0.5 1. 5. n(ϵ). 15. 20. 25. 30. Folge (an ) mit n(ϵ) = 9 für ϵ = 0.1.. n. 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen. 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Also: Für jedes ϵ findet man ein n(ϵ), so dass die Grenzwertbedingung stimmt Zum Beispiel: Wähle ϵ = 0.1 ⇒ n > ϵ1 − 1 =. 1 0.1. − 1 = 10 − 1 = 9 82.

(31) Rechenregeln für Grenzwerte. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Gegeben: 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik. und lim (bn ) = b. lim (an ) = a. n→∞. n→∞. kurz: (an ) → a. und. 3. Mengen 4. Folgen und Reihen. (bn ) → b. 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen. Dann gilt:. 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren. . 7. Integration. (an + bn ) → a + b. . (an − bn ) → a − b. (acn ) → ac (an > 0, a > 0, c ∈ R). (an · bn ) → a · b. an bn. →. a b. (can ) → ca. (b ̸= 0). 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. (c > 0). 83. Definition der Reihe. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Gegeben: (an ) unendliche Folge in R Dann heißt (sn ) mit. sn = a0 + a1 + . . . + an =. n X. ai. n ∈ N0. i=0. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen. eine unendliche Reihe.. 4.1. Eigenschaften und Beispiele. sn heißt n-te Partialsumme. 4.2. Konvergenz und Grenzwert. Klar ist: Reihen sind spezielle Folgen. 4.3. Reihen. 5. Reelle Funktionen. Beispiel:. 6. Differenzieren. (an ) geometrische Folge → (sn ) geometrische Reihe sn =. n X. ai ;. mit. i=0. 7. Integration 8. Finanzmathematik. an+1 =q an. 9. Lineare Algebra. Offensichtlich gilt: an = an−1 q = an−2 q2 = . . . = a0 qn. ⇒ sn =. n X i=0. a0 qi = a0 (1 + q + q2 + . . . + qn ) = a0. 1 − qn+1 1−q 84.

(32) Geometrische Reihe: Beispiel Schachspiel. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Summe aller Körner auf Schachbrett: 1. Grundlagen. sn =. 63 X i=0. 1 − q64 1 − 264 ai = a0 =1· ≈ 1,84467 · 1019 1−q 1−2. 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 4.1. Eigenschaften und Beispiele. Das bedeutet:. 4.2. Konvergenz und Grenzwert. ∧. 100 Körner = 1 g Weizen. −→ −→ −→. 1,8 · 1017 g 1,8 · 1014 kg 1,8 · 1011 t = 180 Mrd. t. ∧. 1 Güterwagon = 50 t Weizen −→ 3,6 Mrd. Güterwagons −→ 36 Mrd. m langer Eisenbahnzug −→ 36 Mill. km. 4.3. Reihen. 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. 100-fache Entfernung zwischen Erde und Mond. −→. 85. Konvergenzkriterien für Reihen Gegeben:. ai Folge,. sn =. ai. i=1. Divergenzkriterium Ist sn konvergent. n X. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. ai ist Nullfolge. ⇒. Also äquivalent dazu:. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik. ⇒. ai ist keine Nullfolge. sn divergent. 3. Mengen 4. Folgen und Reihen. Quotientenkriterium. 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert. lim. ak+1 <1 ak. ⇒. lim. ak+1 >1 ak. ⇒. k→∞. k→∞. 4.3. Reihen. sn konvergent. 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren. sn divergent. 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Bemerkung: Für. ak+1 lim ak k→∞. = 1 ist im Allgemeinen keine Aussage möglich. Spezialfall geometrische Reihe:. ⇒. ak+1 =q ak. ⇒. lim. k→∞. ak+1 =q ak. ⇒. q<1 q>1. ⇒ ⇒. sn konvergent sn divergent 86.

(33) 1. Grundlegende Bausteine. 2. Aussagenlogik. 3. Mengen. 4. Folgen und Reihen. 5 6. Reelle Funktionen. 7. Integration. 8 9. Finanzmathematik. Opitz u. a., (2017, Kapitel 9, 10). Gliederung. Differentialrechnung. Lineare Algebra. 5. Reelle Funktionen Grundbegriffe Elementare Funktionen Stetigkeit reeller Funktionen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Warum beschäftigen wir uns mit reellen Funktionen? allgemein: kompakte und präzise Beschreibung von Abhängigkeiten zwischen mehreren Faktoren. 1. Grundlagen. speziell: Modellierung technischer und ökonomischer Systeme. 3. Mengen. Basis für Analyse und Optimierung von Systemen / Prozessen. 2. Aussagenlogik. 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen. Wesentliche Lernziele. 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren. Fähigkeit mit den wesentlichen Begriffen im Zusammenhang mit Funktionen umzugehen Kennenlernen der wichtigsten Klassen reeller Funktionen. 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Beherrschen des Stetigkeitsbegriffs. 93.

(34) Beispiel. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. (Opitz u. a., 2017, Beispiel 9.1, S. 99). Für ein Produkt wird der monatliche Absatz erhoben. Über ein Jahr betrachtet erhält man Absatzwerte für 12 Zeitpunkte. Darstellung der Funktion f : A → B mit A = {1, . . . , 12} ,. B = {1, 2, 3, 4, 5} :. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen. durch die Wertetabelle t f(t). 4. Folgen und Reihen. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 2 3 4 4 4 1 2 4 5 3 4. graphisch:. 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren 7. Integration. f(t). 8. Finanzmathematik. 5. 9. Lineare Algebra. 4 3 2 1. t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. Abbildung: Graph der Funktion f : A → B 94. Begriff reelle Funktion. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Definition. f : D → R heißt reellwertige Abbildung mit Definitionsbereich D. Mit D ⊆ Rn heißt f reelle Funktion von n Variablen. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. Darstellung von Funktionen. 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. Durch Funktionsgleichungen f(x1 , . . . , xn ) = y • x = (x1 , . . . , xn ): unabhängige (exogene) Variablen • y: abhängige (endogene) Variablen Durch Wertetabellen. 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Durch Graphen • Für D ⊆ R: Darstellung im kartesischen Koordinatensystem • Für D ⊆ R2 : 3-dimensionale Darstellung oder Niveaulinien f(x) = c mit c ∈ R 95.

(35) Beispiel. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Cobb-Douglas-Funktion neoklassische Produktionsfunktion der Form a. 1. Grundlagen. a. f(x1 , . . . , xn ) = a0 · x1 1 · x2 2 · . . . xann. 2. Aussagenlogik. Beispiel für zwei Produktionsfaktoren 1/2. f(x1 , x2 ) = 1 · x1. 3. Mengen. √ = x1 · x2. 1/2. · x2. 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. Dreidimensionale Darstellung. 5.1. Grundbegriffe. Niveaulinien. 5.2. Elementare Funktionen. für f(x1 , x2 ) = c mit c = 1/2, . . . , 3. 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren. 4. 7. Integration 8. Finanzmathematik. 4 2. 1,. 1. 1. 2 0,5. 0 0. 0,5. 3 2,5 2 1,5. 2,. 2. 5. 2 4 0. 0 0. 0,5. 1. 9. Lineare Algebra. 5. 4 2. 3. 2. 1. 1,5. 3. 4 96. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Eigenschaften von Funktionen Eine Funktion f : D → W mit D ⊆ Rn und W ⊆ R heißt: surjektiv, wenn zu jedem y ∈ W ein x ∈ D mit f(x) = y existiert, injektiv, wenn für alle x, x̃ ∈ D gilt x ̸= x̃ ⇒ f(x) ̸= f(x̃), bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist.. Komposition von Funktionen Voraussetzung: Funktionen f : Df → R und g : Dg → R mit Df ⊆ Rn und f(Df ) ⊆ Dg ⊆ R Zusammengesetzte Funktion: g ◦ f : Df → R: Zuordnung des Werts (g ◦ f)(x) = g (f(x)) für alle x ∈ Df. Inverse Funktion / Umkehrfunktion. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Voraussetzung: bijektive Funktion f : D → W mit D, W ⊆ R Inverse Funktion: f−1 : W → D, y 7→ f−1 (y), wobei y für alle x ∈ D mit y = f(x) zugeordnet wird. 97.

(36) Invertierung: Beispiel. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. f1 : R → R. mit. x 7→ f1 (x) = 2x − 3 = y. f2 : R → R. mit. x 7→ f2 (x) = x3 = y 1. Grundlagen. Damit ebenfalls bijektiv: Inverse Abbildungen. −1 f−1 1 , f2 :. R → R mit. 2. Aussagenlogik 3. Mengen. y 7→ f1. −1. (y) =. y 7→ f2 −1 (y) =. 1 2 (y. + 3) = x. 4. Folgen und Reihen. √ 3 y=x. 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. y. f2. y. 6. Differenzieren. y=x. 7. Integration. f−1 1. f−1 2. 1. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. −1. x. 1. 1 x 1. 2 f1. Graphen der Abbildungen f1 , f2 , f1. −1. , f2. −1 98. Satz: Operationen zwischen Funktionen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Gegeben: f, g : D → R reelle Funktionen mit identischem Definitionsbereich D ⊆ R.. 1. Grundlagen. Dann sind auch die folgenden Abbildungen relle Funktionen:. 3. Mengen. 2. Aussagenlogik. 4. Folgen und Reihen. f+g:. D→R. mit. x∈D. 7→. (f + g)(x) = f(x) + g(x). 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen. f−g:. D→R. mit. 5.3. Stetigkeit. x∈D. 7→. (f − g)(x) = f(x) − g(x). 6. Differenzieren 7. Integration. f·g: f : g. D→R D1 → R. mit mit. x∈D x ∈ D1. 7→ 7→. (f · g)(x) = f(x) · g(x) f f(x) (x) = g g(x). 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. D1 = {x ∈ D : g(x) ̸= 0}. 99.

(37) Besondere Punkte bei Funktionen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Gegeben: Reelle Funktion f : D → R mit D ⊆ Rn 1. Grundlagen. Definitionen. 2. Aussagenlogik 3. Mengen. c-Stelle von f: xc ∈ D mit f(xc ) = c. 4. Folgen und Reihen. Mit c = 0 heißt c-Stelle dann 0-Stelle von f Maximalstelle oder globales Maximum: xmax ∈ D mit f(xmax ) > f(x) für alle x ∈ D. 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren. Minimalstelle oder globales Minimum: xmin ∈ D mit f(xmin ) 6 f(x) für alle x ∈ D > x∗ ∈ D mit f(x∗ ) f(x) für x ∈ [x∗ − a, x ∗ +a] ⊆ D (6) heißt lokale Maximalstelle (Minimalstelle), f(x∗ ) lokales Maximum. 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Weitere Sprechweisen: Extremal-, Optimalstelle, Extremum, Optimum 100. Beispiel: Maximal-, bzw. Minimalstellen. und x2 = 12 − p2 Wegen x1 , x2 > 0 und p1 , p2 > 0 folgt p1 ∈ [0,10] und p2 ∈ [0,12] Gesamtumsatz? Maximalstelle?. 50. 1. Grundlagen. 30. 20 50 10. 2. Aussagenlogik. 40. 10. 20. Gegeben: Preis-Absatz-Funktionen x1 = 10 − p1. 5600. 40. Umsatzmaximierung für zwei Produkte mit Absatzquantitäten x1 , x2 und Preisen p1 , p2 :. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. 10. 30 20. 20. 0 0. 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. 10. 10. 5. 5 10 0. 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Minimalstellen?. 101.

(38) Weitere Eigenschaften reeller Funktionen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. f beschränkt ⇔ es gibt c0 , c1 ∈ R mit c0 6 f(x) 6 c1 f monoton wachsend f monoton fallend. ⇔ ⇔. (x1 < x2 ⇒ f(x1 ) 6 f(x2 )) (x1 < x2 ⇒ f(x1 ) > f(x2 )). 1. Grundlagen. bei strenger Monotonie entfällt „=“. 2. Aussagenlogik. f konvex ⇔ x1 ̸= x2 ⇒ f λx1 + (1 − λ)x2 6 λf(x1 ) + (1 − λ)f(x2 ) f konkav ⇔ x1 ̸= x2 ⇒ f λx1 + (1 − λ)x2 > λf(x1 ) + (1 − λ)f(x2 ) λ ∈ (0,1). 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen. bei strenger Konkavität entfällt „=“ f periodisch mit Periode p > 0 f gerade (ungerade). ⇔. ⇔. 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren. f(x) = f(x ± p). 7. Integration. f(x) = f(−x) (−f(x) = f(−x)). 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. f1. f2. f3. f4. 1. 1. 1. 1. x. x. 1 −1. f1 = x. x. x. 1. 1. 1. −1. −1. −1. f2 = x2. f3 = x3. f4 = 1/x. Graphen einiger Funktionen. 102. Polynome. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Definition p : R → R mit. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik. p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn =. n X. ai xi. (mit an ̸= 0). i=0. 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe. heißt Polynom n-ten Grades Schreibweise: grad(p) = n. 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren 7. Integration. Satz. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Summen, Differenzen und Produkte von Polynomen sind wieder Polynome. p(x) p(x1 ) = 0 ⇒ u(x) = x−x ist wieder Polynom mit 1 grad(u) = grad(p) − 1. 103.

(39) Rationale Funktionen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Definition. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik. q : D → R mit q(x) =. 3. Mengen. p1 (x) p2 (x). (mit p1 , p2 (̸= 0) sind Polynome). 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen. heißt Rationale Funktion.. 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren 7. Integration. Satz. 8. Finanzmathematik. Jedes Polynom ist auch rationale Funktione (z.B. p2 (x) = c).. 9. Lineare Algebra. Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten (falls definiert) von rationalen Funktionen sind wieder rationale Funktionen.. 104. Weitere Funktionen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Potenzfunktion f : R+ → R+ mit f(x) = xa , (a ∈ R) heißt Potenzfunktion. f ist streng monoton wachsend für a > 0 und streng monoton fallend für a < 0.. Für a ̸= 0 existiert eine inverse Funktion f−1 zu f. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen. Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion f : R → R+ mit f(x) = a , (a > 0, a ̸= 1) heißt Exponentialfunktion zur Basis a. x. g : R+ → R mit g(y) = loga (y), (a > 0, a ̸= 1) heißt Logarithmusfunktion zur Basis a mit g = f−1 .. 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Satz: f, g wachsen streng monoton für a > 1 und fallen streng monoton für a < 1. 105.

(40) Grenzwert einer Funktion. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Ausgangssituation Gegeben: Funktion f : D → R mit D ⊆ Rn Grenzwert von f aufbauend auf Konvergenz von Zahlenfolgen m T ∈ D mit Grenzwert Dazu betrachte: Alle Folgen am = am , . . . , a n 1 a ∈ Rn , also am → a für m → ∞ Untersuche Grenzwerte. m. lim f (a ) .. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. am →a. 5.1. Grundbegriffe. Definition des Grenzwerts einer Funktion. 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. f heißt an der Stelle a ∈ Rn (die nicht notwendig zu D gehören muss) konvergent gegen f̃ ∈ R,. wenn 1. mindestens eine Folge (am ) mit am ∈ D, am ̸= a und am → a existiert ( d.h. a ist kein „isolierter Punkt“) 2. für alle Folgen (am ) mit am ∈ D und am → a0 gilt f(am ) → f̃.. 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. f̃ heißt dann Grenzwert von f(am ).. Schreibweise für alle gegen a konvergierende Folgen (am ):. lim f (am ) = f̃. am →a. oder kurz. lim f(x) = f̃. x→a. 106. Begriff der Stetigkeit. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Gegeben Funktion f : D → R mit D ⊆ Rn Definition. 1. Grundlagen. f heißt stetig in x0 ⇔ lim f(x) = f(x0 ) x→x0. f heißt stetig in T ⊆ D ⇔ f ist für alle x ∈ T stetig. Ist f für ein x̃ ∈ D nicht stetig, so heißt x̃ Unstetigkeitsstelle oder Sprungstelle. 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren. Satz Für stetige Funktionen f, g gilt: • f ± g, f · g, f/g (g(x) ̸= 0) sind stetig • |f|, f ◦ g, sind stetig • Falls f auf einem Intervall definiert und invertierbar: f−1 stetig. 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Alle elementaren Funktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig 107.

(41) und ihr Minimum an. Man schreibt gelegentlich Zwischenwertsatz ˚ max f .x/ W x 2 Œa; b D f .xmax / D fmax ; tetig ˚ Gegeben: →2 R Œa; stetig min ff: [a, .x/b]W x b D f .xmin / D fmin :. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Dann gilt:. Mit Hilfe der nachfolgenden Grafik kann Satz 10.19 f(a) < f(b) ⇒ ∀ y ∈ [f(a), f(b)] ∃ x ∈ [a, b] mit f(x) = y veranschaulicht werden.. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen. f .x/. 5. Reelle Funktionen 5.1. Grundbegriffe 5.2. Elementare Funktionen. fmax. 5.3. Stetigkeit. 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik. x. 9. Lineare Algebra. x. a xmin xmax. b. fmin Abbildung 10.13: f W Œa; b ! R mit f stetig Opitz u. a., (2017, S. 132). Zum expliziten Beweis verweisen wir auf Forster (2016), Kapitel 11.. 108. Gliederung. Beispiel 10.20 1. Grundlegende Bausteine. 2. Aussagenlogik. 3. Mengen. 4 5 6 7 8 9. f1 .x/ D x 2. ist im offenen Intervall .0; 1/ zwar beschränkt Folgen undwegen Reihen f1 .x/ 2 .0; 1/, sie besitzt jedoch weReelle Funktionen der ein Maximum noch ein Minimum. Ersetzt Differentialrechnung man den Definitionsbereich .0; 1/ durch Œ0; 1, Integration so gilt Finanzmathematik. 6. Differentialrechnung. maxff1 .x/ W x 2 Œ0;Differentialquotient 1g D 1 für und xD 1; Ableitung. Lineare Algebra. Änderungsrate und Elastizität. minff1 .x/ W x 2 Œ0;Kurvendiskussion 1g D 0 für x D 0 :. Opitz u. a., (2017, Kapitel 11, 12.1, 12.2). a) Die Funktion f1 W .0; 1/ ! R mit.

(42) Warum Differentialrechnung?. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Anwendungen Analyse und ökonomische Interpretation wirtschaftswissenschaftlicher Gesetzmäßigkeiten durch Untersuchung der Charakteristika von Funktionen Ermittlung von optimalen Lösungen betriebswirtschaftlicher Entscheidungsprobleme wie zum Beispiel Absatzmengenplanung, Loßgrößenplanung etc. Wesentliche Lernziele Verständnis des Differentialquotienten Fähigkeit, eine Funktion zu differenzieren. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 6.1. Differentialquotient und Ableitung 6.2. Änderungsrate und Elastizität 6.3. Kurvendiskussion. 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Bestimmung und Interpretation von Änderungsraten und Elastizitäten Durchführung und Interpretation von Kurvendiskussionen. 115. Preisbestimmung beim Angebotsmonopol. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Bekannt sind folgende Zusammenhänge: p(x) = c1 − c2 x (Preis-Absatz-Funktion) K(x) = c3 + c4 x (Kostenfunktion). (mit c1 , c2 , c3 , c4 ∈ R+ Konstanten) Damit ergibt sich: Umsatzfunktion: U(x) = c1 x − c2 x2 Gewinnfunktion: G(x) = U(x) − K(x) = c1 x − c2 x2 − (c3 + c4 x) Fragen: Welche Menge/Welcher Preis ist Umsatz-/Gewinnmaximal?. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 6.1. Differentialquotient und Ableitung 6.2. Änderungsrate und Elastizität 6.3. Kurvendiskussion. 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Welche Veränderung des Umsatzes ergibt sich bei einer Veränderung der Absatzmenge?. 116.

(43) Differenzenquotient: Idee. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Tour de France: Anstieg nach L’Alpe d’Huez Länge des Anstiegs: 13,9 km. 1. Grundlagen. Auf einer Höhe von 740 m beginnen die 21 Kehren. 2. Aussagenlogik. Zielankunft liegt auf 1850 m. 3. Mengen. Bestimmung von Steigungen:. 4. Folgen und Reihen. Höhendifferenz Distanz. 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 6.1. Differentialquotient und Ableitung 6.2. Änderungsrate und Elastizität 6.3. Kurvendiskussion. 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. 117. Differenzenquotient. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Gegeben: Reelle Funktion f : D → R mit D ∈ R. f(x). Dann heißt der Ausdruck. B. f(x1 + ∆x1 ). 1. Grundlagen. f(x2 ) − f(x1 ) x2 − x1. 2. Aussagenlogik. ∆f(x1 ) 3. Mengen. Differenzenquotient (Steigung) von f im Intervall [x1 , x2 ] ⊆ D Alternative Schreibweise, dabei Ersetzen von x2 durch x1 + ∆x1 :. 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. f(x1 ). f (x1 + ∆x1 ) − f (x1 ) ∆f (x1 ) = ∆x1 ∆x1. A. 6. Differenzieren 6.1. Differentialquotient und Ableitung. ∆x1 x1. x x1 + ∆x1. 6.2. Änderungsrate und Elastizität 6.3. Kurvendiskussion. 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. ∆f. ∆f ∆f. ∆x1. ∆x1. ∆x1. Differentialquotient einer reellen Funktion. 118.

(44) Differentialquotient. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Eine reelle Funktion f : D → R mit D ⊆ R heißt an der Stelle x1 ∈ D differenzierbar, wenn der Grenzwert lim. ∆x1 →0. ∆f(x1 ) ∆x1. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik. existiert.. G. W. Leibniz (1646-1716). Ist f an der Stelle x1 differenzierbar, heißt. 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. lim. ∆x1 →0. = =. lim. ∆x1 →0. 6. Differenzieren. ∆f(x1 ) ∆x1 f(x1 + ∆x1 ) − f(x1 ) ∆x1. 6.1. Differentialquotient und Ableitung 6.2. Änderungsrate und Elastizität 6.3. Kurvendiskussion. 7. Integration. df (x1 ) = f ′ (x1 ) dx1. 8. Finanzmathematik. I. Newton (1643-1727). 9. Lineare Algebra. Differentialquotient oder erste Ableitung von f an der Stelle x1 . f heißt in D differenzierbar, wenn f für alle x ∈ D differen-. zierbar ist. 119. Ableitungsregeln. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten (soweit definiert) von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar. Summenregel: 1. Grundlagen. ′. ′. ′. (f ± g) (x) = f (x) ± g (x). 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen. Produktregel:. 5. Reelle Funktionen. (f · g) ′ (x) = f(x) ′ · g(x) + f(x) · g ′ (x) Daraus ergibt sich für eine Konstante c:. (c · f) ′ (x). =. c · f ′ (x). Quotientenregel:. 6. Differenzieren 6.1. Differentialquotient und Ableitung 6.2. Änderungsrate und Elastizität 6.3. Kurvendiskussion. 7. Integration 8. Finanzmathematik. z ′ n. (x) =. z ′ (x) · n(x) − z(x) · n ′ (x). 9. Lineare Algebra. (n(x))2. Kettenregel:. (g ◦ f) ′ (x) = [g (f(x))] ′ = g ′ (f(x)) · f ′ (x) 120.

(45) Ableitung elementarer Funktionen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Gegeben: f : D → R, mit D ⊆ R und a > 0, b ∈ R. Dann gilt:. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik. f(x). 3. Mengen. f ′ (x). 4. Folgen und Reihen. ln x. 1 x. loga x. 1 x ln a. ex. ex. ax. ax ln a. b. b−1. x. bx. sin x. cos x. cos x. − sin x. 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 6.1. Differentialquotient und Ableitung 6.2. Änderungsrate und Elastizität 6.3. Kurvendiskussion. 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. 121. Ableitungen höherer Ordnung. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017. Gegeben: f : D → R, mit D ⊆ R und a > 0, b ∈ R Wenn der Differentialquotient f ′ : D → R in x ∈ D differenzierbar ist, dann heißt. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik. df ′ (x) d2 f(x) = = f ′′ (x) 2 dx (dx). 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen. zweite Ableitung oder Differentialquotient zweiter Ordnung von f in x ∈ D.. 6.1. Differentialquotient und Ableitung 6.2. Änderungsrate und Elastizität. Analog für n = 2,3, . . .: d (n−1) d f (x) = dx dx. 6. Differenzieren. 6.3. Kurvendiskussion. d(n−1) f(x) (dx)(n−1). 7. Integration. ! = f(n) (x). 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. f(n) (x) bezeichnet dabei die n-te Ableitung von f in x ∈ D. f heißt n-mal stetig differenzierbar in D, wenn f in D stetig und in jedem Punkt x ∈ D n-mal differenzierbar ist 122.

(46) %f .x/ D. D. aebx "f .x/ D x%f .x/ D bx. Definition Elastizität. f .x/. "fϵ.x/ D 4x : f (x) = 4x. Dann heißt. f .x/ 35. Änderungsrate von f. f .x/. ϵf (x) =. f(x) x. Tangente. (Marginale) Erhöhung von f .6/ 26:49 um 24 % auf ca. 32:85. f .x. .x/ C %g. 6. .x/ D % .x/. e) %. f) g D f. 1. 7. Integration. ) f .x/%g .. 8. Finanzmathematik Beweis. g 0 .x/ cf 0 .x 9. Lineare Algebra a) %g .x/ D D g.x/ cf .x. 6:06. Erhöhung von x D 6 um 1 % auf x D 6:06 Opitzsich u. a., (2017, S. 148) Das bedeutet, dass bei einer einprozentigen Erhöhung von x D 6 auf x D 6:06 der Funktionswert von f (marginal, also in Richtung der Tangente an den Funktionsgraphen) von f .6/ 26:49 um 24 Prozent, also auf 32.85 erhöht. Da Funktionen "f .6/ > 1 ist f somit elastisch für x D 6.. Wir stellen diesen Zusammenhang in Abbildung 11.8 dar.. Definition Für |ϵf (x)| > 1 reagiert die relative Änderung von f(x) überproportional auf relative Änderungen von x, die Funktion f heißt im Punkt x elastisch. Für |ϵf (x)| < 1 bezeichnen wir die Funktion f im Punkt x als unelastisch.. Alle anderen Aussagen erhält m Definition für die Änderungsrate Differentiationsregeln (Satz 11.8. Im Einzelnen lassen sich die terpretieren:. Nach Satz 11.30 a sind die Funktionen f und123g, deren konstant ist, gleich. Die Än zweier Funktionen (Satz 11 gewichtetes Mittel der einzel Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2017 Summanden. Besonders einf raten des Produktes und des tionen (Satz 11.30 c, d). In d Änderungsraten der Einzelfun bzw. subtrahiert.. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 6.1. Differentialquotient und Ableitung. Beispiel f(x) = aebx mit a, b ̸= 0 ′. 6.2. Änderungsrate und Elastizität. ⇒. 6.3. Kurvendiskussion. 7. Integration. bx. f (x) abe = =b f(x) aebx. und ϵf (x) = x · ρf (x) = bx. %. .x/ D f .x/%g .f. 6.3. Kurvendiskussion. Abbildung 11.8: Elastizität von f bei x D 6. ρf (x) =. f .x/%f .x. 4.b) Folgen und Reihen %f ˙g .x/ D. d) %. x. Elastische versus unelastische. a) g.x/ D cf .x/.c ¤ 0/. 3. Mengen. 6.2. Änderungsrate und gıf Elastizität. 26:49 26. Elastizität von f.. Seien f; g differenzierbar. D. 2. Aussagenlogik. 6.1. Differentialquotient und f =g f Ableitung. 30. = ρf (x) · x. 1. Grundlagen. c) %fg .x/ D %f 6. Differenzieren. 32:85. f ′ (x) · x = f(x). D. Für die Potenzfunktion de derungsrate mit wachsende dagegen konstant.. 5. Reelle Funktionen. und. D. Satz 11.30. Damit erhalten wir z. B. für x D 6 eine Elastizität Damit x = 6: ϵf (6) = 24 von "f .6/bei D 24.. f ′ (x) ρf (x) = f(x). g.x/. Wirtschaftsmathematik "g .x/ D x%g .x/ Etschberger - WS2017. Für die Exponentialfunktion der Form f ist die Änderungsrate konstant. Die Elastizität wächst liBeispiel (Opitz u. a., 2017, Beispiel 11.28, S.148) near mit x. Für f mit 10−9sich e4xsoergibt sich Für aD 10 9f(x) ; b D= 4 ergibt beispielsweise. Voraussetzung: D ⊆ R und f : D → R ist differenzierbar.. f ′ (x). %g .x/ D. D b;. 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra. Die Änderungsrate der Exponentialfunktion ist also konstant Die Elastizität wächst linear mit x.. 124.