Analytische Mechanik (20113401) Vorlesender: Jens Eisert. Kapitel 6: Symmetrien und das Noether-Theorem

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Analytische Mechanik (20113401)

Vorlesender: Jens Eisert.

Kapitel 6: Symmetrien und das Noether-Theorem

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Inhaltsverzeichnis

6 Symmetrien und das Noether-Theorem 5

6.1 Vorbemerkungen . . . 5

6.2 Symmetrien . . . 5

6.2.1 Beispiel des sph¨arischen Pendels . . . 5

6.2.2 Invarianzen in Lagrangefunktionen . . . 6

6.3 Das Noethersche Theorem . . . 7

6.3.1 Formulierung der Aussage . . . 7

6.3.2 Translationen . . . 7

6.3.3 Drehungen . . . 8

6.4 Mathematisches Intermezzo . . . 9

6.4.1 Gruppen . . . 9

6.5 Verallgemeinertes Noether-Theorem . . . 10

6.5.1 Allgemeine Invarianzen . . . 10

6.5.2 Translationen in der Zeit . . . 10

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4 INHALTSVERZEICHNIS

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Kapitel 6

Symmetrien und das Noether-Theorem

6.1 Vorbemerkungen

Symmetrien, Invarianzen und Erhaltungssätze sind von enormer Wichtigkeit in der Physik. In der Tat haben die meisten Systeme bestimmte Symmetrien aufzuweisen, was in aller Regel damit einhergeht, dass die Beschreibung dieser Systeme invariant unter bestimmten Transformationen sind. Diese Transformationen weisen oft eine Gruppen- struktur auf. Die Wichtigkeit von Symmetrien ist keinesfalls auf die analytische Me- chanik beschränkt: In der Quantenmechanik sind Symmetrien etwa ubiquitär, wichtige Konzepte wie die der topologischen Ordnung bauen auf Symmetrien auf. Auch in der Elektrodynamik und der Relativitätstheorie sind Symmetrien von erheblicher Wichtig- keit. Wir werden in diesem Kapitel eine ersten systematischen Kontakt mit der Theorie von Symmetrien aufnehmen. Die Schlüsseleinsicht ist die, dass Symmetrien mit einer Vereinfachung der Beschreibung einhergehen, und mit Erhaltungssätzen. Dieses Kapi- tel ist ein kurzes, aber wichtiges Kapitel.

6.2 Symmetrien

6.2.1 Beispiel des sph¨arischen Pendels

Wir wollen uns kurz das Beispiel des spärischen Pendels des letzten Kapitels ins Be- wusstsein rufen. Hier war eine verallgemeinerte Koordinateq_jzyklisch, und wir haben gesehen, dass diese Eigenschaft sofort zu einem Erhaltungssatz führt. Ist die Lagran- gefunktion unabhängig vonqj, so lautet in der Tat

d dt

∂L

∂q˙j

− ∂L

∂qj

= d dt

∂L

∂q˙j

= 0. (6.1)

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6 KAPITEL 6. SYMMETRIEN UND DAS NOETHER-THEOREM So ist in der Tat

p_j =∂L

∂q˙ (6.2)

eine erhaltene Gr¨oße. Die Tatsache, dass die Lagrangefunktion L(θ,θ, φ,˙ φ) =˙ 1

2ml²( ˙θ²+ ˙φ²sin²θ)−mGl(1−cosθ). (6.3) unabh¨angig ist von der Variablenφ heißt auch, dass die Lagrangefunktion invariant ist unter Drehungen um die3-Achse: Denn diese sind ja gerade, was dieser Winkel parametrisiert. Es handelt sich hier also um eine Symmetrie.

6.2.2 Invarianzen in Lagrangefunktionen

Gegeben seien beif = 3n−JFreiheitsgraden die verallgemeinerten Koordinaten q(t, α) = (q₁(t, α), . . . , q_f(t, α)) (6.4) als eine Sammlung einer Schar von Funktionenqj :R⁺0 ×R→Rgegeben, die

q(t,0) = (q1(t,0), . . . , qf(t,0)) = (q1(t), . . . , qf(t)) (6.5) erf¨ullen mit der Eigenschaft, dass

L(q(t, α),q(t, α), t) =˙ L(q(t),q(t), t).˙ (6.6) Der Parameter αparametrisiert also eine Invarianz der Lagrangefunktion die einer Symmetrieentspricht. In welcher Weise entsprechen solche Symmetrien nun allgemei- nen Erhaltungss¨atzen? Da die linke Seite unabh¨angig vonαist, folgt sicher

d

dαL(q(t, α),q(t, α), t)|˙ α=0= 0. (6.7) Ausgeschrieben bedeutet dies, dass

0 =

f

X

j=1

∂L

∂q_j

∂qj

∂α + ∂L

∂q˙_j

∂q˙j

∂α

|α=0

=

f

X

j=1

∂L

∂qj

− d dt

∂L

∂q˙j

∂qj

∂α|α=0+ d dt





f

X

j=1

∂L

∂q˙j

∂qj

∂α



|α=0

= d

dt

f

X

j=1

∂L

∂q˙_j

∂qj

∂α|α=0, (6.8)

wennt7→q(t)eine L¨osung der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen ist.

(7)

6.3. DAS NOETHERSCHE THEOREM 7

6.3 Das Noethersche Theorem

6.3.1 Formulierung der Aussage

So haben wir eine allgemeine Aussage gewonnen. Diese Aussage nennt man dasNoe- thersche Theorem, das tats¨achlich weitreichende Konsequenzen hat: Kurz gesagt kommt jede Symmetrie einher mit einer Erhaltungsgr¨oße.

Noether-Theorem:Weist die Lagrangefunktion eine Symmetrie auf und ist die Lagrangefunktion also invariant unter Transformationen

qj(t)7→qj(t, α) (6.9)

f¨urj= 1, . . . , f, also ist f¨ur alleα∈R

L(q(t, α),q(t, α), t) =˙ L(q(t),q(t), t),˙ (6.10) so ist die Gr¨oße

f

X

j=1

∂L

∂q˙j

η_j (6.11)

mit

η_j:= ∂q_j

∂α|_α=0. (6.12)

eine zeitlich erhaltene Konstante und also eine Erhaltungsgr¨oße, wennt7→q(t)die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen l¨ost.

6.3.2 Translationen

Das Noethersche Theorem ist praktisch gut anwendbar. Eine erste Anwendung reflek- tiert die Situation, dassLinvariant unter Translationen im Raum ist,

rj(t)7→rj(t, α) =rj(t) +αe, (6.13) wobeie ∈ R³ein Einheitsvektor ist. Diese Situation haben wir schon oft kennenge- lernt. Sie liegt insbesondere dann vor, wenn das PotentialU(r₁, . . . ,r_n)nur von den Differenzvektorenr_j−r_kabh¨angt. Konkret gilt dann

L= 1 2

n

X

j=1

m_jr˙²_j−U(. . . ,r_j−r_k, . . . , t). (6.14)

So ist auchf = 3nund

(q₁, . . . , q_f) = (r₁, . . . ,r_n), (6.15)

(8)

8 KAPITEL 6. SYMMETRIEN UND DAS NOETHER-THEOREM wobei wir in einem offensichtlichen Isomorphismus Vektoren identifiziert haben. Wir finden so

η_j= ∂r_j(t, α)

∂α |_α=0=e, (6.16)

und

n

X

j=1

∂L

∂r˙j

·e=

n

X

j=1

(m_jr˙_j)·e=P·e, (6.17) wobei wie oben definiert

P=

n

X

j=1

pj=

n

X

j=1

mjr˙j (6.18)

der Gesamtimpuls ist. Da der Einheitsvektorebeliebig gew¨ahlt wurde, sieht man, dass in Systemen, die invariant unter Translationen im Raum sind, der Gesamtimpuls erhalten ist. Gilt diese Invariant nur f¨ur eine oder mehrere Komponenten, so sind auch nur die entsprechenden Komponenten des Gesamtimpulses erhalten. Dies ist zwar keine neue physikalische Aussage, aber dennoch ein frischer Blick auf eine bekannte Si- tuation. In einer Situation, bei der Zwangsbedingungen vorliegen, ist das Noethersche Theorem nichttrivial.

6.3.3 Drehungen

Eine weitere, immer noch bekannte, Situation ist die, bei der wir Drehungen um eine Achse betrachten, um einen Winkelα. Sei diese Achse durche = (0,0,1)gegeben.

Dann sind die Drehungen gegeben durch

D(α) =





cosα sinα 0 sinα cosα 0

0 0 1



∈SO(3) (6.19)

der speziellen orthogonalen Gruppe. So gilt f¨ur die verdrehten Koordinaten

r(t, α)^T :=D(α)r(t,0)^T (6.20) die Gleichung

∂r(α)

∂α

T

|α=0=





0 −1 0

1 0 0

0 0 0



r(t,0)^T = ((0,0,1)×r(t,0))^T. (6.21) Die Transposition ist nur nötig, weil wir nach obiger Konvention Vektoren als Zeilen- vektoren geschrieben haben. Einen analogen Ausdruck würden wir natürlich bei einer Drehung um eine beliebige Achsen∈R³erhalten,

∂r(α)

∂α |α=0=n×r(t,0). (6.22)

(9)

6.4. MATHEMATISCHES INTERMEZZO 9 So gilt

n

X

j=1

∂L

∂r˙_j ·(n×r_j) =

n

X

j=1

m_jr˙_j·(n×r_j) (6.23)

=

n

X

j=1

n·(rj×pj) =n·L.

Dien-Komponente des Drehmimpulses ist also eine erhaltene Gr¨oße. Allgemeiner ist es so, dass wenn man Invarianz unter einer Gruppe hat, die Generatoren der Gruppe erhalten sind.

Uberhaupt, ist die potentielle Energie¨ U nur abhängig von den Differenzen der Koordinaten als|rj −rk|, was oft der Fall ist, dann ist die Lagrange-Funktion auch invariant unter Drehungen, weil die Skalarprodukte in der kinetischen Energie ja auch invariant unter Drehungen sind. Also ist auch dann der DrehimpulsvektorLeine erhaltene Größe. Es sollte klar sein, dass man sehr allgemeine Invarianzen so erfassen kann und die entsprechenden Erhaltungsgrößen identifizieren, auch unter Zwangsbedingun- gen.

6.4 Mathematisches Intermezzo

6.4.1 Gruppen

Da Gruppen hier eine zentrale Rolle spielen, wollen wir dies als unsere Ausrede wer- ten, uns deren Eigenschaften nochmals vor Augen zu halten. EineGruppeist ein Paar (G,∗)aus einer MengeGund einer Verkn¨upfung∗:G×G→G, mit den folgenden Eigenschaften:

• F¨ur alle Gruppenelementea, b, cgilt dieAssoziativit¨at

(a∗b)∗c=a∗(b∗c). (6.24)

• Es gibt ein (einziges)neutrales Elemente ∈ G, mit dem f¨ur alle Gruppenele- mentea∈G

a∗e=e∗a=a (6.25)

gilt.

• Zu jedem Gruppenelementa∈Gexistiert ein (einziges)inverses Elementa⁻¹∈ Gmit

a∗a⁻¹=a⁻¹∗a=e. (6.26)

Eine Gruppe heißtabelsch, wenn f¨ur allea, b∈G

a∗b=b∗a (6.27)

gilt. Die oben betrachteten Drehungen bilden eine Gruppe – keine abelsche, wessen man sich leicht vergewissert – wie auch die Translationen. Die meisten in der Physik realisierten Symmetrien k¨onnen durch Gruppen gefasst werden.

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10 KAPITEL 6. SYMMETRIEN UND DAS NOETHER-THEOREM

6.5 Verallgemeinertes Noether-Theorem

6.5.1 Allgemeine Invarianzen

Tats¨achlich kann die obige Beweisidee auf eine allgemeinere Klasse von Invarianzen angewendet werden. In der Tat kann man die gleichen Schritte verfolgen.

Verallgemeinertes Noether-Theorem:Ist die Lagrange-Funktion nicht invariant, aber gilt f¨ur alleα∈R

∂

∂αL(q(t, α),q(t, α), t)|˙ α=0= d

dtf(q(t),q(t), t)˙ (6.28) f¨ur eine Funktionf :R×R×R⁺0, dann ist

n

X

j=1

∂L

∂q˙_jηj−f(q,q, t)˙ (6.29) eine erhaltene Gr¨oße.

6.5.2 Translationen in der Zeit

Eine spannende Invarianz ist nicht eine im Ort, sondern in derZeit. Dies meint, dass wir Transformationent7→t+αbetrachten, so dass also

q(t, α) =q(t+α) (6.30)

gilt. Dann haben wir d

dtL(q(t+α),q(t˙ +α), t)|)α=0=

f

X

j=1

∂L

∂qj

˙ qj+ ∂L

∂q˙j

¨ qj

|α=0. (6.31)

F¨u die unver¨anderte Lagrangefunktion finden wir allerdings d

dtL(q(t),q(t), t)|) =˙

f

X

j=1

∂L

∂qj

˙ qj+ ∂L

∂q˙j

¨ qj

+∂L

∂t. (6.32)

Wenn nun die LagrangefunktionLnicht explizit von der Zeit abh¨angt, finden wir also d

dtL(q(t+α),q(t˙ +α), t)|)α=0= d

dtL(q(t),q(t), t)|).˙ (6.33) Dies meint, dass die Bedingungen der verallgemeinerten Noether-Theorems vorliegen, wobei die Rolle vonf die LagrangefunktionLselber nimmt. So ist

f

X

j=1

∂L

∂q˙j

˙

qj−L(q,q)˙ (6.34)

(11)

6.5. VERALLGEMEINERTES NOETHER-THEOREM 11 eine Erhaltungsgr¨oße. In kartesischen Koordinaten lautet diese Gr¨oße

n

X

j=1

∂L

∂r˙j

˙

rj−L =

n

X

j=1

mjr˙²_j−1 2

n

X

j=1

mjr˙²_j+U(r1, . . . ,rn) (6.35)

= T+U =E.

Dies ist nichts anderes als die Gesamtenergie selbst. Die Energie ist also erhalten als Konsequenz der Invarianz unter Translationen in der Zeit. Die Aussage selber mag wenig überraschend sein, der Lösungsweg allerdings schon. Und nicht, dass der Eindruck entsteht, diese Aussagen gelten nur ohne Zwangsbedingungen. Wenn zeitunabhängige (also holonom-skleronome) Zwangsbedingungen vorliegen und wir die verallgemeinerten Koordinaten(q1, . . . , qn)finden können, in denen wir die kartesischen Koordi- naten ausdrücken können, erhalten wir für die kinetische Energie

T = 1 2

n

X

j=1

m_jr˙²_j = 1 2

n

X

j=1

m_j

f

X

k,l=1

∂r_j

∂qk

·∂r_j

∂ql

˙ q_kq˙_l= 1

2

f

X

k,l=1

g_k,lq˙_kq˙_l, (6.36)

wobei f¨urk, l= 1, . . . , f,

gk,l:=

n

X

j=1

mj

∂rj

∂qk

·∂rj

∂ql

. (6.37)

Dann ist

f

X

j=1

∂L

∂q˙j

˙ q_j =

f

X

j=1

∂T

∂qj

˙ q_j=

f

X

k,l=1

g_k,lq˙_kq˙_l (6.38)

= 2T.

Die Erhaltungsgr¨oße ist also

n

X

j=1

∂L

∂r˙_jr˙_j−L= 2T−T+U =T+U =E, (6.39) also wieder die Gesamtenergie. Dies mag wiederum wenig ¨uberraschend sein: Aller- dings muss man sich vor Augen halten, dass dies unter beliebigen Zwangsbedingungen gilt. Ohne den entwickelten Formalismus w¨aren wir nicht imstande gewesen, zu derar- tigen Aussagen zu kommen.