Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen 18.6.2020
Ubungen zum Staatsexamen: Analysis ¨
Aufgabe 33: (H10T1A3)
Konstruieren Sie eine gebrochen-rationale Abbildung (M¨obiustransformation) f, die die Kreisscheibe
K :={z ∈C:|z+ 1|<2}
auf die obere Halbebene
H :={w∈C: Im (w)>0}
abbildet. Ist eine solche Abbildung eindeutig bestimmt?
Aufgabe 34: (H18T3A2)
a) Sei f : C\{−1} → C definiert durch f(z) := 3z+1u+1. Bestimmen Sie das Bild von B1(0) ={z ∈C:|z|<1} unter f.
b) Es seien B2(1) = {z ∈ C : |z−1| < 2} und G := {x+iy ∈ C : x, y ∈ R, x < 0}.
Bestimmen Sie eine biholomorphe Abbildung g :B2(1) →G.
c) Zeigen oder widerlegen Sie, daß es eine biholomorphe Abbildung h:C\{x+iy:y= 0, x∈R\]−1,1[} →B1(0)
gibt.
Aufgabe 35: (F18T2A1)
a) Wir betrachten die beiden Gebiete
Ω1 :={z =x+iy∈C:x >0, y >0}
und
Ω2 :={z =x+iy∈C:x∈R,0< y < 1}
(1) Zeigen Sie, daß eine biholomorphe Abbildung f : Ω2 →Ω1 existiert.
(2) Geben Sie eine solche Abbildung explizit an.
b) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen (mit Vielfachheiten) des Polynpms z87+ 36z57+ 71z4 +z3−z+ 1
in dem Kreisring K1,2(0) ={z ∈C: 1<|z|<2}.
Aufgabe 36: (F07T3A3)
Sei G = C\{iy : y ∈ [0,∞[ die geschlitzte Ebene und E = {z ∈ C : |z| < 1} der offene Einheitskreis.
a) Begr¨unden Sie, daß es eine konforme Abbildung f :G→E gibt.
b) Geben Sie explizit eine solche Abbildung an.
