KatharinaDurstberger-Rennhofer Physik-Kurs Skriptum

Vorstudienlehrgang der Wiener Universit¨ aten VWU

Skriptum

Physik-Kurs

Abschnitt 3: Weiterf¨ uhrende Mechanik

Katharina Durstberger-Rennhofer

Version J¨ anner 2018

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1 Die Rotation 1

1.1 Grundbegriffe . . . . 1

1.2 Die Dynamik von Drehbewegungen . . . . 6

1.2.1 Allgemeines . . . . 6

1.2.2 Das Drehmoment . . . . 6

1.2.3 Das Tr¨ agheitsmoment . . . . 10

1.2.4 Der Drehimpuls . . . . 11

1.2.5 Die Rotationsenergie . . . . 13

1.2.6 Ubersicht Vergleich Translation – Rotation . . . . ¨ 15

1.3 Die Zentripetalkraft . . . . 15

1.4 Der Schwerpunkt . . . . 18

1.4.1 Allgemeines . . . . 18

1.4.2 Berechnung des Schwerpunkts f¨ ur Massenpunkte . . . . 18

1.4.3 Berechnung des Schwerpunkts mehrerer K¨ orper . . . . 19

1.4.4 Schwerpunkt und Drehmoment . . . . 20

1.4.5 Die Standfestigkeit und das Kippen eines K¨ orpers . . . . 21

1.4.6 Satz von Steiner . . . . 23

1.5 Aufgaben . . . . 24

2 Bezugssysteme und Scheinkr¨ afte (Tr¨ agheitskr¨ afte) 29 2.1 Allgemeines ¨ uber Bezugssysteme . . . . 29

2.2 Unbeschleunigte Bezugssysteme – Inertialsysteme . . . . 29

2.3 Beschleunigte Bezugssysteme . . . . 30

2.3.1 Linear beschleunigte Bezugssysteme . . . . 31

2.3.2 Rotierende Bezugssysteme und die Zentrifugalkraft . . . . 32

2.3.3 Rotierende Bezugssysteme und die Corioliskraft . . . . 35

2.4 Aufgaben . . . . 36

3 Die Gravitationskraft 37 3.1 Etwas Astronomie . . . . 37

3.1.1 Aufbau des Sonnensystems . . . . 37

3.1.2 Die Kepler’schen Gesetze . . . . 37

3.2 Das Gravitationsgesetz . . . . 38

3.2.1 Messung der allgemeinen Gravitationskonstante . . . . 38

3.2.2 Gravitationskraft und Kreisbahn . . . . 39

3.2.3 Gravitationskraft und Schwerkraft . . . . 41

3.3 Aufgaben . . . . 42

4 Elastizit¨ at 43 4.1 Die Elastizit¨ at einer mechanischen Feder . . . . 43

4.2 Die Elastit¨ at von St¨ aben . . . . 45

4.3 Aufgaben . . . . 46

5 Die harmonische Schwingung 48 5.1 Die Beschreibung der harmonischen Schwingung . . . . 48

5.2 Die Energieumwandlung bei der harmonischen Schwingung . . . . 50

5.3 Die Pendelschwingung . . . . 52

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis

5.4 Die Federschwingung . . . . 54

5.5 Aufgaben . . . . 55

6 Wellen 58 6.1 Die Beschreibung von Wellen . . . . 58

6.2 Laufende und stehende Wellen . . . . 60

6.2.1 Laufende Wellen . . . . 60

6.2.2 Stehende Wellen . . . . 61

6.3 Transversalwellen und Longitudinalwellen . . . . 62

6.4 Die Interferenz und Reflexion von Wellen . . . . 63

6.4.1 Die Interferenz von Wellen . . . . 63

6.4.2 Die Reflexion von Wellen . . . . 65

6.5 Stehende Wellen in der Praxis – Grund- und Oberschwingungen . . . . 66

6.5.1 Oberschwingungen bei zwei festen Enden (die schwingende Saite) . . . . 67

6.5.2 Oberschwingungen bei einem festen und einem freien Ende (der schwingende Stab) . . . . 68

6.5.3 Oberschwingungen bei zwei freien Enden (der schwingende Stab) . . . . 69

6.5.4 Zusammenfassung . . . . 71

6.6 Schallwellen . . . . 71

6.6.1 Allgemeines . . . . 71

6.6.2 Stehende Longitudinalwellen – Das Kundt’sche Rohr . . . . 72

6.7 Die Schwebung . . . . 73

6.8 Die r¨ aumliche Ausbreitung von Wellen . . . . 75

6.9 Der Doppler Effekt . . . . 76

6.9.1 Doppler Effekt I . . . . 76

6.9.2 Doppler Effekt II . . . . 77

6.9.3 Kombinationen . . . . 78

6.10 Energie, Leistung und Intensit¨ at von Wellen . . . . 79

6.11 Aufgaben . . . . 81

7 Der Aufbau der Materie 88 7.1 Die Kr¨ afte in der Natur . . . . 88

7.2 Der Aufbau des Atoms . . . . 88

7.3 Die Kr¨ afte zwischen den Atomen . . . . 89

7.4 Aufgaben . . . . 90

8 Die Kr¨ afte in ruhenden Fl¨ ussigkeiten 91 8.1 Die Koh¨ asion und die Adh¨ asion . . . . 91

8.2 Die Oberfl¨ achenspannung . . . . 91

8.2.1 Die Resultierenden Kr¨ afte in einer Fl¨ ussigkeit . . . . 91

8.2.2 Die Oberfl¨ achenspannung . . . . 92

8.2.3 Die Oberfl¨ achenenergie . . . . 92

8.2.4 Die Messung der Oberfl¨ achenspannung mit der B¨ ugelmethode . . . . 93

8.3 Die Grenzfl¨ achenspannung . . . . 93

8.3.1 Nicht benetzende Fl¨ ussigkeiten . . . . 94

8.3.2 Benetzende Fl¨ ussigkeiten . . . . 94

8.3.3 Tropfenform und Kontaktwinkel . . . . 95

8.3.4 Die Messung der Grenzfl¨ achenspannung . . . . 95

8.4 Aufgaben . . . . 96

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis

9 Str¨ omende Fl¨ ussigkeiten und Gase 98

9.1 Begriffe, Einteilung der Str¨ omungen . . . . 98

9.2 Die Kontinuit¨ atsgleichung . . . . 98

9.3 Die Dynamik von Fl¨ ussigkeiten . . . . 99

9.3.1 Arten von Dr¨ ucken . . . . 99

9.3.2 Die Bernoulli-Gleichung f¨ ur ideale horizontale Str¨ omungen . . . . 99

9.3.3 Die Sogwirkung bei Verengung – negativer Wanddruck . . . . 100

9.3.4 Die Messung und Berechnung der Str¨ omungsgeschwindigkeit . . . . 100

9.3.5 Anwendungen . . . . 101

9.4 Aufgaben . . . . 102

1 Die Rotation

1 Die Rotation

1.1 Grundbegriffe Die Translation

• Die Translation ist die gew¨ ohnliche Art der Bewegung eines K¨ orpers.

• Alle Punkte des K¨ orpers bewegen sich auf gleich langen und gleich geformten (kongruenten) Wegen.

• Alle Punkte sind gleich schnell.

• Die Richtung des K¨ orpers bleibt gleich.

Die Rotation

• Bei der Rotation eines starren K¨ orpers bewegen sich verschiedene Punkte auf konzentrischen Kreisen. (= Kreise mit gemeinsamem Mittelpunkt)

• Der Kreismittelpunkt ist der Drehpunkt (Drehzentrum).

• Alle Punkte drehen sich in gleichen Zeiten um denselben Winkel.

• Außenpunkte sind schneller als Innenpunkte.

• Die Richtung des K¨ orpers dreht sich ebenfalls.

Der Winkel

Winkel k¨ onnen auf zwei Arten angegeben werden:

• im Gradmaß: β ∈ [0 ^◦ ; 360 ^◦ ] in Grad ( ^◦ )

• im Bogenmaß: ϕ ∈ [0; 2π]

in Radiant (rad)

Der Winkel im Bogenmaß entspricht der L¨ ange eines Kreisbogens mit dem Radius 1 (Einheitskreis- bogen).

Die Einheit des Winkels ist keine physikalische Einheit. Grad ( ^◦ ) und Radiant (rad) werden nur ge- schrieben, um das gew¨ ahlte Maß anzuzeigen. Die physikalsiche Einheit des Winkels ist 1, er hat also keine physikalsiche Einheit sondern ist eine dimensionslose Zahl.

Winkelmaß rechter Winkel halber Winkel ganzer Winkel

Gradmaß 90 ^◦ 180 ^◦ 360 ^◦

Bogenmaß ^π ₂ ≈ 1, 57 π ≈ 3, 14 2π ≈ 6, 28

Die Umrechnung zwischen den beiden Maßen erfolgt mit dieser Formel ϕ = 2π

360 ^◦ · β und β = 360 ^◦

2π · ϕ

1 Die Rotation 1.1 Grundbegriffe

Die L¨ ange eines Kreisbogens

Der Vorteil des Bogenmaßes ist, dass die L¨ ange des Kreisbogens leicht zu berechnen ist, es gilt:

s = ϕ · r Beispiel (1.1)

Der Winkel ist β = 25 ^◦ , der Radius betr¨ agt r = 100 m. Wie lang ist der Kreisbogen?

L¨ osung

Zuerst m¨ ussen wir den Winkel ins Bogenmaß umrechnen ϕ = 2π

360 ^◦ · β = 2π

360 ^◦ · 25 = 0, 436 rad und damit k¨ onnen wir die L¨ ange des Kreisbogens ausrechnen

s = ϕ · r = 0, 436 · 100 = 43, 6 m

Beispiel (1.2)

Auf einer Uhr vergeht die Zeit von 0:00 Uhr bis 2:10 Uhr.

a) Berechnen Sie den Winkel, der vom Minutenzeiger ¨ ubertrichen wird!

b) Berechnen Sie den Winkel, der vom Stundenzeiger ¨ uberstrichen wird!

c) Welchen Weg legt die Spitze des Stundenzeigers zur¨ uck, wenn er 2 m lang ist?

L¨ osung

a) Der Minutenzeiger legt zwei volle Umdrehungen zur¨ uck und dann noch den Winkel von der Ziffer 12 zur Ziffer 2, was einem ¹ ₆ einer vollen Umdrehung entspricht:

β _min = 2 · 360 + 360

6 = 780 ^◦ ϕ min = 2π

360 ^◦ · β = 2π

360 ^◦ · 780 = 13, 613 rad b) Der Stundenzeiger bewegt sich 12 Mal langsamer als der Minutenzeiger:

β std = β min

12 = 780 12 = 65 ^◦ ϕ _std = ϕ _min

12 = 13, 613

12 = 1, 134 rad c) Die Bogenl¨ ange des Stundenzeigers ist

s = ϕ _std · r = 1, 134 · 2 = 2, 268 m Der Drehwinkel

Der Drehwinkel ϕ wird meist im Bogenmaß angegeben.

Der Drehwinkel kann positiv und negativ sein, je nach dem in welche Richtung die Drehung statt findet. Es gilt:

• ϕ > 0: bei einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn

• ϕ < 0: bei einer Drehung im Uhrzeigersinn

1 Die Rotation 1.1 Grundbegriffe

Die Winkelgeschwindigkeit und die Bahngeschwindigkeit

Die Winkelgeschwindigkeit ω ist die ¨ anderung des Winkels ∆ϕ pro Zeiteinheit ∆t ω = ∆ϕ

∆t (1.1)

Einheit: [ω] = [ ^∆ϕ _∆t ] = ^rad _s = ¹ _s

Die Bahngeschwindigkeit v ist die Weg¨ anderung ∆s pro Zeiteinheit ∆t v = ∆s

∆t = r · ∆ϕ

∆t = r · ω (1.2)

Einheit: [v] = [r · ω] = m · ^rad _s = ^m _s

Beispiel (1.3)

Ein K¨ orper, der 6 m vom Drehzentrum entfernt ist, rotiert in 3 Sekunden um 25 ^◦ . Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω und die Bahngeschwindigkeit v!

L¨ osung

Der Winkel muss zuerst ins Bogenmaß umgerechnet werden ϕ = ₃₆₀ ^2π ◦ · β = ₃₆₀ ^2π ◦ · 25 = 0, 436 rad.

Dann kann man die Winkelgeschwindigkeit berechnen ω = ∆ϕ

∆t = 0, 436

3 = 0, 145 rad/s F¨ ur die Bahngeschwindigkeit ergibt sich

v = r · ω = 6 · 0, 145 = 0, 872 m/s Die Umlaufzeit und die Frequenz

Die Umlaufzeit T ist die Zeit, die ein K¨ orper f¨ ur eine volle Umdrehung (360 ^◦ ) braucht.

Einheit: [T ] = s

Die Frequenz f ist die Anzahl der (vollen) Umdrehungen pro Sekunde. Es gilt:

f = 1

T (1.3)

Einheit: [f ] = [ _T ¹ ] = ¹ _s = Hz Hertz

1 Die Rotation 1.1 Grundbegriffe

Es gibt auch noch einen Zusammenhang zwischen Frequenz f und Winkelgeschwindigkeit ω ω = 2π · f = 2π

T (1.4)

Beispiel (1.4)

Ein Rad mit Radius r = 0, 4 m f¨ ahrt mit der Geschwindigkeit v = 20 m/s.

a) Wie lange dauert eine Drehung?

b) Wieviele Umdrehungen pro Sekunde macht das Rad?

L¨ osung

a) aus der Bahngeschwindigkeit v berechnet man die Winkelgeschwindigkeit ω = v

r = 20

0, 4 = 50 rad/s

daraus kann die Periode T berechnet werden, die die Dauer einer Umdrehung angibt T = 2π

ω = 2π

50 = 0, 126 s

b) die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde erh¨ alt man mit der Frequenz f = ω

2π = 50

2π = 7, 96 Hz Die Winkelbeschleunigung und die Bahnbeschleunigung

Rotationen k¨ onnen gleichf¨ ormig sein, dann rotiert der K¨ orper pro Zeiteinheit immer um denselben Winkel und die Winkelgeschwindigkeit ω ist konstant. Die Winkelgeschwindigkeit kann sich aber auch mit der Zeit ¨ andern, dann ist die Rotation beschleunigt. Statt Winkelbeschleunigung sagt man auch Drehbeschleunigung oder Rotationsbeschleunigung.

Die Winkelbeschleunigung α ist die ¨ anderung der Winkelgeschwindigkeit ∆ω pro Zeit ∆t α = ∆ω

∆t (1.5)

Einheit: [α] = [ ^∆ω _∆t ] = ^rad _s 2 = _s ¹ 2

Die Bahnbeschleunigung a ist die ¨ anderung der Bahngeschwindigkeit ∆v pro Zeiteinheit ∆t a = ∆v

∆t = r · ∆ω

∆t = r · α (1.6)

Einheit: [a] = [r · α] = m · ^rad _s 2 = _s ^m 2

1 Die Rotation 1.1 Grundbegriffe

Beispiel (1.5)

Bei einem rotierenden Rad werden zu verschiedenen Zeit- punkten die Drehwinkel gemessen (siehe Tabelle).

a) Berechnen Sie die mittleren Winkelgeschwindigkeiten in den Zeitintervallen!

b) Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung!

Zeit t in s Winkel β in ^◦

t ₁ = 0 0

t ₂ = 0, 5 5 t 3 = 1 15 t ₄ = 1, 5 30 L¨ osung

Wir rechnen zuerst die Winkel ins Bogenmaß um (siehe Tabelle).

Zeit t in s Winkel β in ^◦ Winkel ϕ in rad

t ₁ = 0 0 0

t 2 = 0, 5 5 0,0872

t 3 = 1 15 0,2618

t ₄ = 1, 5 30 0,5236

a) im ersten Intervall zwischen t ₁ und t ₂ gilt:

ω ₁₂ = ^∆ϕ _∆t = ^ϕ _t ^{2 −ϕ 1}

2 −t ₁ = ^0,0872−0 _0,5−0 = 0, 1744 rad/s im zweiten Intervall zwischen t 2 und t 3 gilt:

ω ₂₃ = ^∆ϕ _∆t = ^ϕ _t ^{3 −ϕ 2}

3 −t ₂ = 0,2618−0,0872

1−0,5 = 0, 3492 rad/s im dritten Intervall zwischen t ₃ und t ₄ gilt:

ω 34 = ^∆ϕ _∆t = ^ϕ _t ^{4 −ϕ 3}

4 −t 3 = 0,5236−0,2618

1,5−1 = 0, 5236 rad/s

b) die Beschleunigung vom ersten auf das zweite Intervall betr¨ agt α ₁ = ^∆ω _∆t = ^{ω 23} _∆t ^{−ω 12} = 0,3492−0,1744

0,75−0,25 = 0, 3496 rad/s ²

die Beschleunigung vom zweiten auf das dritte Intervall betr¨ agt α ₂ = ^∆ω _∆t = ^{ω 34} _∆t ^{−ω 23} = 0,5236−0,3492

1,25−0,75 = 0, 3488 rad/s ²

die beiden Werte sind bis auf Rundungsfehler gleich, d.h. es handelt sich hier um eine gleichm¨ aßig beschleunigte Rotation

Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung als Vektor

Drehbewegungen k¨ onnen verschiedene Richtungen haben. Es ist daher von Vorteil, die Drehgr¨ oßen durch Vektoren darzustellen.

• Die Winkelgeschwindigkeit ~ ω ist ein Vektor in Richtung der Drehachse.

Rechte-Hand-Schraubenregel: Die Finger der rechten Hand werden gekr¨ ummt und ihre Kr¨ ummung wird der gegebenen Drehrichtung angepasst. Dann zeigt der ausge- streckte Daumen in Richtung des Vektors ~ ω.

• Die Bahngeschwindigkeit ~ v ist ein Vektor, der normal auf die Winkelgeschwin- digkeit ~ ω und den Radiusvektor ~ r steht.

Die Bahngeschwindigkeit ist das Vektorprodukt ~ v = ~ ω × ~ r.

Die Bahngeschwindigkeit ~ v ist immer tangential an die Bahnkurve.

• Die Winkelbeschleunigung ~ α ist ein Vektor in Richtung der Drehachse.

• Die Bahnbeschleunigung ~a ist ein Vektor, der sich in der Bahnebene befindet. Man kann ihn in

einen Tangentialen Teil a _T und einen radialen Teil a r zerlegen.

1 Die Rotation 1.2 Die Dynamik von Drehbewegungen

1.2 Die Dynamik von Drehbewegungen

1.2.1 Allgemeines

bei der Translation gilt:

• Die Kraft F ist die Ursache f¨ ur Beschleunigungen a.

• Die Masse m (Tr¨ agheit) ist der Widerstand gegen Beschleunigungen.

a = F m

• Die resultierende Kraft ist die Vektorsumme der Einzelkr¨ afte auf einen K¨ orper.

• Wenn die Gesamtkraft verschwindet, so gibt es keine Bewegung (dies nennt man Stillstand) oder eine gleichf¨ ormige Bewegung.

• Die Kraft ist die zeitliche ¨ anderung des Impulses p = m · v.

F = ∆p

∆t bei der Rotation gilt:

• Das Drehmoment M ist die Ursache f¨ ur Winkelbeschleunigungen α.

• Das Tr¨ agheitsmoment Θ (Tr¨ agheit) ist der Widerstand gegen Winkelbeschleunigungen.

α = M Θ

• Das resultierende Drehmoment ist die Vektorsumme der Einzeldrehmomente auf einen K¨ orper.

• Wenn das Gesamtdrehmoment verschwindet, so gibt es keine Drehbewegung (dies nennt man Gleichgewicht) oder eine gleichf¨ ormige Drehbewegung.

• Das Drehmoment ist die zeitliche ¨ anderung des Drehimpulses L = Θ · ω.

M = ∆L

∆t 1.2.2 Das Drehmoment

Das Hebelgesetz

Ein Hebel ist z.B. eine Wippe oder eine Waage. In der Praxis dienen Hebel dazu, an einem Drehpunkt mit verh¨ altnism¨ aßig geringer Kraft eine große Wirkung zu erzielen. Gute Beispiele f¨ ur Hebel sind Flaschen¨ offner, Brech- stangen oder Schraubenschl¨ ussel.

Die Bewegung eines Hebels h¨ angt von der Masse (bzw. der Kraft) auf beiden

Seiten ab und vom Abstand der Massen vom Auflagepunkt (Drehpunkt). Diesen Abstand nennt man

Kraftarm. F¨ ur eine Gleichgewichtssituation gibt es keine (Dreh-) Bewegung des Hebels mehr und es

gilt das Hebelgesetz.

1 Die Rotation 1.2 Die Dynamik von Drehbewegungen

Das Hebelgesetz (f¨ ur Gleichgewicht):

Kraft mal Kraftarm ist gleich Last mal Lastarm.

r ₁ · F ₁ = r ₂ · F ₂ oder M ₁ = M ₂ Das Produkt “Kraft mal Kraftarm” nennt man Drehmoment M.

Einheit: [M ] = [r · F] = m · N Newtonmeter Es gibt einseitige und zweiseitige Hebel:

• einseitiger Hebel:

beide Kr¨ afte greifen auf derselben Seite vom Drehpunkt an, wirken aber in verschiedene Rich- tungen, es gilt:

M ₁ = M ₂ oder r ₁ · F ₁ = r ₂ · F ₂

• zweiseitiger Hebel:

beide Kr¨ afte greifen auf verschiedenen Seiten vom Drehpunkt an, wirken aber in dieselbe Rich- tung, es gilt:

M ₁ = M ₂ oder r ₁ · F ₁ = r ₂ · F ₂

Beispiel (1.6)

Der menschliche Unterarm kann als einseitiger Hebel gesehen wer- den. Der Ellbogen wirkt als Drehachse, die Gewichtskraft des zu tragenden Gegenstands wirkt nach unten, die Muskelkraft des Bi- ceps nach oben.

Eine Person h¨ alt eine m = 1 kg schwere Flasche in der Hand. Der Anriffspunkt des Biceps-Muskels ist r 1 = 5 cm vom Drehpunkt im Ellbogen entfernt, der Abstand der Hand zum Drehpunkt betr¨ agt r ₂ = 35 cm.

Welche Kraft F ₁ muss der Muskel aufbringen, um den Unterarm in horizontaler Position zu halten?

L¨ osung

Es soll ein Gleichgewicht am Hebel herrschen und daher m¨ ussen die beiden Drehmomente gleich

1 Die Rotation 1.2 Die Dynamik von Drehbewegungen

groß sein.

M 1 = M 2

r ₁ · F ₁ = r ₂ · F ₂ = r ₂ · m · g F ₁ = r ₂ · m · g

r ₁ = 0, 35 · 1 · 10

0, 05 = 70 N Beispiel (1.7)

Ein Wellrad besteht aus (mindestens) zwei verschieden großen und miteinander verbundenen R¨ adern, die fest auf einer Achse (“Wel- le”) sitzen. Es handelt sich auch hier um einen Hebel, bei dem die Kraft und der Kraftarm normal aufeinander stehen. Wellr¨ ader finden ihre Anwendung als Kurbeln.

Ein Wellrad mit einem Radius von r ₂ = 25 cm wird mit einer Kraft von F ₂ = 100 N angetrieben. Wie groß ist die Kraft F ₁ , die dadurch auf ein Antriebsrad mit dem Radius r 1 = 5 cm wirkt?

L¨ osung

Das Hebelgesetz gilt:

M 1 = M 2

r 1 · F 1 = r 2 · F 2

F 1 = r 2 · m · g r 1

= 0, 25 · 100

0, 05 = 500 N

Auch in diesem Fall bewirkt eine kleine Kraft am großen Rad (Kurbel) eine große Kraft am kleinen Antriebsrad.

Das allgemeine Drehmoment

Beim einfachen Hebel ist der Kraftarm normal zur Kraft. Es gibt jedoch auch die M¨ oglichkeit, dass der Kraftarm nicht normal zur Kraft ist. Dann gilt allgemein:

Das Drehmoment M ist gegeben durch die Kraft F, den Kraftarm r (Abstand des Angriffpunkts der Kraft vom Drehpunkt) und dem Winkel β zwischen F und r

M = ±r · F · sin β Vorzeichen:

+ f¨ ur ein Drehmoment, das zu einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn f¨ uhrt

− f¨ ur ein Drehmoment, das zu einer Drehung im Uhrzeigersinn f¨ uhrt Einheit: [M ] = [r · F · sin β] = m · N Newtonmeter

Eine allgemeine Gleichgewichtssitutation ist gegeben durch

M ges = M 1 + M 2 + . . . = 0 (1.7)

Manchmal kann es f¨ ur die Berechnung des Drehmomentes wichtig sein, den sogenannten Normalkraft-

arm r _n = r · sin β zur Berechnung zu verwenden, M = ±r _n · F .

1 Die Rotation 1.2 Die Dynamik von Drehbewegungen

Beispiel (1.8)

Ein zweiseitiger Hebel befindet sich in der waagrechten Anfangs- position mit F 1 = 4 N, r 1 = 5 m, F 2 = 10 N und r 2 = 2 m.

Pr¨ ufen Sie, ob der Hebel im Gleichgewicht ist!

L¨ osung

Wir berechnen das gesamte Drehmoment M _ges = M ₁ + M ₂

= +F 1 · r 1 · sin(90 ^◦ ) − F 2 · r 2 · sin(90 ^◦ )

= +4 · 5 − 10 · 2

= 0

Dieser Hebel ist im Gleichgewicht und wird sich nicht aus seiner Lage wegbewegen.

Beispiel (1.9)

Auf einer drehbar gelagerten Scheibe sind wie in der Abbildung zwei Gewichte mit den Massen m ₁ = 8 kg und m ₂ = 10 kg im Abstand r 1 = 7 m und r 2 = 5 m vom Drehpunkt (Mittelpunkt) aufgeh¨ angt. Die Scheibe wird in einer Position so gehalten, dass γ ₁ = 50 ^◦ und γ ₂ = 30 ^◦ . a) In welche Drehrichtung bewegt sich das System, wenn es losgelassen wird?

b) Wie muss die Masse m ₁ ver¨ andert werden, damit sich das System in der derzeiten Position im Gleichgewicht befindet?

L¨ osung

a) Dazu muss man das gesamte Drehmoment bestimmen M _ges = M ₁ + M ₂

= +m ₁ · g · r ₁ · sin(90 ^◦ − γ ₁ ) − m ₂ · g · r ₂ · sin(90 ^◦ − γ ₂ )

= +8 · 10 · 7 · sin 40 ^◦ − 10 · 10 · 5 · sin 60 ^◦

= +360 − 433 = −73 Nm

Das Minus bedeutet eine Drehung der Scheibe im Uhrzeigersinn.

b) F¨ ur das Gleichgewicht muß das gesamte Drehmoment gleich Null sein.

M ges = 0 = M 1 + M 2

= +m ₁ · g · r ₁ · sin(90 ^◦ − γ ₁ ) − m ₂ · g · r ₂ · sin(90 ^◦ − γ ₂ )

= +m ₁ · 10 · 7 · sin 40 ^◦ − 10 · 10 · 5 · sin 60 ^◦

= +m ₁ · 45 − 433 m ₁ = 433

45 = 9, 6 kg Das Drehmoment als Vektor

Das Drehmoment M ~ ist ein Vektor, der normal auf den Kraftarm ~ r und auf die Kraft F steht und durch das Kreuzprodukt gegeben ist

M ~ = ~ r × F ~

Die Richtung des Drehmoments M ~ ist parallel zur Richtung der Winkelgeschwindigkeit ~ ω.

Sehr n¨ utzlich ist die vektorielle Darstellung des Drehmoments, wenn ein K¨ orper um mehrere Achsen

gedreht wird. Dann ergibt sich das Gesamtdrehmoment als Vektorsumme der Einzeldrehmomente.

1 Die Rotation 1.2 Die Dynamik von Drehbewegungen

1.2.3 Das Tr¨ agheitsmoment

Jedes Drehmoment erzeugt eine Rotation (eigentlich eine Win- kelbeschleunigung). Verschiedene K¨ orper reagieren aber unter- schiedlich auf das selbe Drehmoment. Zum Beispiel zwei ver- schieden große R¨ ader, die durch das gleiche Drehmoment M = r ·F in Rotation versetzt werden. Das kleinere Rad wird aber da- durch st¨ arker beschleunigt als das gr¨ oßere Rad. Der Unterschied liegt in der sogenannten Tr¨ agheit der beiden R¨ ader. Physikalisch spricht man vom Tr¨ agheitsmoment Θ (sprich: theta). Es gilt hier Θ 1 < Θ 2 .

Das Tr¨ agheitsmoment Θ beschreibt den Widerstand gegen Drehbewegungen bzw. Winkelbeschleuni- gungen.

Berechnung des Tr¨ agheitsmomentes f¨ ur einen Massenpunkt

Auf einen Massenpunkt m, der sich im Abstand r von einem Drehpunkt befindet, wirkt eine Kraft F, die zu einer Drehbewegung f¨ uhrt. Wir bestimmen das Drehmo- ment und verwenden dann das 2. Axiom von Newton sowie einige Grundlegende Definitionen von Bewegungsgr¨ oßen.

M = r · F = r · m · a = r · m · ∆v

∆t =

= r · m · ∆(r · ω)

∆t = r ² · m · ∆ω

∆t = r ² · m · α = Θ · α Hier ist α die Winkelbeschleunigung und Θ = m · r ² das Tr¨ agheitsmoment.

Man sieht hier bereits, dass das Tr¨ agheitsmoment vom Abstand zum Drehpunkt abh¨ angt. Das Tr¨ agheitsmoment sagt uns, wie schwer es ist, dem Massenpunkt m eine Winkelbeschleunigung zu geben. Sie informiert

uns ¨ uber die Tr¨ agheit des K¨ orpers, ¨ uber seinen Widerstand gegen Winkelbeschleunigungen.

F¨ ur einen Massenpunkt ist das Tr¨ agheitsmoment Θ = m · r ² , wobei m die Masse und r der Abstand zum Drehpunkt (Drehachse) ist.

Einheit: [Θ] = [m · r ² ] = kg · m ² Das Tr¨ agheitsmoment ist ein Skalar.

Das Tr¨ agheitsmoment eines starren K¨ orpers

Ein starrer K¨ orper besteht aus vielen Massenpunkten m ₁ , m ₂ , m ₃ , . . . mit den Abst¨ anden r 1 , r 2 , r 3 , . . . . Das gesamte Tr¨ agheitsmoment ist die Summe der einzelnen Tr¨ agheitsmomente

Θ = X

i

Θ _i = X

i

m _i · r _i ²

Diese Summe ist im allgemeinen kompliziert zu berechnen. F¨ ur bestimmte

K¨ orper l¨ asst sich aber mit Hilfe der Integralrechnung ein Ergebnis finden. Wir verwenden diese For- meln ohne Herleitung.

D¨ unner Ring (Reifen) Θ = m · r ² Voll-Zylinder (Voll-Rad) Θ = ¹ ₂ m · r ²

Kugel Θ = ² ₅ m · r ²

1 Die Rotation 1.2 Die Dynamik von Drehbewegungen

1.2.4 Der Drehimpuls F¨ ur die Translation gilt:

• Der Impuls p ist das Produkt aus Masse m und Geschwindigkeit v: p = m · v.

• Die Kraft F ist die zeitliche ¨ anderung des Impulses p: F = ^∆p _∆t .

• Wirkt auf ein System keine ¨ außere Kraft (= abgeschlossenes System, F _aussen = 0), so bleibt der Gesamtimpuls erhalten (∆p = 0). (Impulserhaltungssatz)

F¨ ur die Rotation gelten analoge Gesetze:

Der Drehimpuls L ist das Produkt aus Tr¨ agheitsmoment Θ und Winkelgeschwindigkeit ω

L = Θ · ω (1.8)

Einheit: [L] = [Θ · ω] = kg · m ² · ^rad _s

Der Drehimpuls L ~ ist eigentlich ein Vektor, der parallel zur Winkelgeschwindigkeit ~ ω ist.

Beispiel (1.10)

Ein Voll-Zylinder (Masse m = 10 kg, Radius r = 20 cm) dreht sich 120 mal pro Minute.

Berechnen Sie den Drehimpuls L!

L¨ osung

Die Frequenz ist f = 120 Umdrehungen

Minute = 120 Umdrehungen

60Sekunden = 2 Hz

damit ergibt sich f¨ ur die Winkelgeschwindigkeit ω = 2π · f = 2π · 2 = 4π = 12, 56 rad/s das Tr¨ agheitsmoment f¨ ur einen Voll-Zylinder ist Θ = ¹ ₂ m · r ² = ¹ ₂ 10 · 0, 2 ² = 0, 2 kg·m ² damit ist der Drehimpuls L = Θ · ω = 0, 2 · 12, 56 = 2, 8 kg·m ² /s ²

Das Drehmoment M ist die zeitliche ¨ anderung des Drehimpulses L M = ∆L

∆t (1.9)

Dies kann einfach gezeigt werden:

M = Θ · α = Θ · ∆ω

∆t = ∆L

∆t Drehimpulserhaltungssatz:

In einem abgeschlossenen System wirkt kein ¨ außeres Drehmoment (M aussen = 0) und der gesamte Drehimpuls ist erhalten:

L ges = const, ∆L ges = 0 (1.10)

1 Die Rotation 1.2 Die Dynamik von Drehbewegungen

Beispiel

Im Sport (z.B. Eiskunstlaufen, Kunstspringen, Turnen) sind schnelle Dre- hungen wichtig. Bei (n¨ aherungsweise) konstantem Drehimpuls bewirkt eine Verkleinerung des Tr¨ agheitsmomentes durch Anziehen von Armen und Beinen eine Vergr¨ oßerung der Winkelgeschwindigkeit. Umgekehrt be- wirkt ein Ausstrecken von Armen und Beinen eine Vergr¨ oßerung des Tr¨ agheitsmomentes und damit eine Verkleinerung der Winkelgeschwindig- keit.

Beispiel

Ein anderes Beispiel ist die Entstehung von Sternen und Planetensystemen aus riesigen Gas- und Staubwolken. Diese besitzen einen bestimmten Drehimpuls.

Verringert sich aufgrund der Gravitation zwischen den Teilchen die Gr¨ oße der Wolke, so dreht sie sich immer schneller um ihren Schwerpunkt und bildet eine Scheibe. Es kommt zu Masseansammlungen, aus denen die Planeten entstehen.

Auch unser Sonnensystem hat sich auf diese Weise gebildet, denn alle Planeten bewegen sich im gleichen Drehsinn und ungef¨ ahr in einer Ebene um die Sonne.

Beispiel (1.11)

Ein Massenpunkt m rotiert in einer horizontalen Ebene an einem Faden der L¨ ange r ₁ = 10 cm mit der Frequenz f ₁ = 4 Hz (linkes Bild). Wie ver¨ andert sich die Rotation, wenn man den Faden auf r 2 = 4 cm verk¨ urzt (rechtes Bild)? Berechnen Sie die Frequenz f 2 ! L¨ osung

In diesem Beispiel ist der Drehimpuls erhalten und es gilt L ₁ = L ₂ Θ 1 · ω 1 = Θ 2 · ω 2

m · r ₁ ² · 2π · f 1 = m · r ₂ ² · 2π · f 2

r ² ₁ · f 1 = r ₂ ² · f 2

r ₁ > r ₂ = ⇒ f ₁ < f ₂ Das heißt die Masse rotiert schneller.

f 2 = r ₁ ² · f 1

r ² ₂ = 10 ² · 4

4 ² = 25 Hz Beispiel (1.12)

Die Pirouette beim Eistanzen:

Linkes Bild: Eine Eisl¨ auferin dreht sich mit ausgebreiteten Armen mit der Winkelgeschwindigkeit ω 1 um ihre vertikale Achse.

Rechtes Bild: Die Eisl¨ auferin zieht ihre Arme zum K¨ orper. Sie dreht sich jetzt mit der Winkelgeschwindigkeit ω 2 .

a) Welche physikalische Gr¨ oße ist in beiden Bildern erhalten geblieben?

Welche physikalische Gr¨ oße ist kleiner geworden? Welche ist gr¨ oßer geworden?

b) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω ₂ der Eisl¨ auferin, wenn das Tr¨ agheitsmoment um

30% kleiner geworden ist und ω 1 = 6, 28 ^rad _s !

1 Die Rotation 1.2 Die Dynamik von Drehbewegungen

L¨ osung

a) Der Drehimpuls ist in beiden Bildern (ungef¨ ahr) gleich groß. Das Tr¨ agheitsmoment Θ wird kleiner, da die Massenpunkte der Arme dann kleinere Radien haben. Dadurch wird die Winkel- geschwindigkeit ω gr¨ oßer, da der Drehimpuls erhalten bleibt. Die Drehbewegung wird von selbst schneller.

b) Wenn das Tr¨ agheitsmoment um 30% kleiner wird, so sind noch 70% von Θ 1 ¨ ubrig, das heißt:

Θ ₂ = 0, 7 · Θ ₁ .

L 1 = L 2

Θ 1 · ω 1 = Θ 2 · ω 2

ω ₂ = Θ ₁ · ω ₁ Θ 2

= Θ ₁ · 6, 28 0, 7 · Θ 1

= 8, 97 rad s Beispiel (1.13)

Zwei schwere Kugeln mit der Masse m sind auf einer horizontalen Stange symmetrisch zur vertikalen Achse verschiebbar. Man versetzt die Anord- nung mit ω 1 = 15 ^rad _s in Rotation. Dabei sind die Kugeln im Abstand r ₁ = 0, 3 m von der vertikalen Achse haben. Danach wird der Abstand der Kugeln von der Achse w¨ ahrend der Rotation durch einen Mechanismus auf r 2 = 0, 1 m verk¨ urzt. Berechnen Sie ω 2 !

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g

L¨ osung

Der Drehimpuls bleibt erhalten:

L 1 = L 2

Θ 1 · ω 1 = Θ 2 · ω 2

2 · m · r ² ₁ · ω ₁ = 2 · m · r ² ₂ · ω ₂ ω ₂ = r ₁ ² · ω 1

r ² ₂ = 0, 3 ² · 15

0, 1 ² = 135 rad s

1.2.5 Die Rotationsenergie

Wir definieren in Analogie zur Translation:

Die Rotationsenergie E rot ist die Energie, die man braucht, um einen K¨ orper von der Winkelgeschwindigkeit ω 0 = 0 auf die Winkelgeschwindigkeit ω zu beschleunigen.

∆E rot = Θ · ω ²

2 (1.11)

Beispiel (1.14)

Ein Rad mit der Masse m = 2 kg und dem Radius r = 0, 5 m ist um eine unbeweglichen Achse drehbar und wird von Null auf ω = 4 rad/s beschleunigt. Wie groß ist die Energie, die dazu n¨ otig ist?

L¨ osung

Das Tr¨ agheitsmoment des Rades (Reifen) ist Θ = m · r ² = 2 · 0, 5 ² = 0, 5 kg·m ² Das Rad bekommt die Rotationsenergie

∆E _rot = Θ · ω ²

2 = 0, 5 · 4 ²

2 = 4 J

1 Die Rotation 1.2 Die Dynamik von Drehbewegungen

Beispiel (1.15)

Ein Rad (Masse m = 2 kg, Radius r = 0, 5 m) wird auf einer ebenen Straße reibungsfrei von der Geschwindigkeit Null auf die Geschwindigkeit v = 3 m/s beschleunigt. Wie groß ist die Energie, die dazu n¨ otig ist?

L¨ osung

Das Tr¨ agheitsmoment des Rades (Reifen) ist Θ = m · r ² = 2 · 0, 5 ² = 0, 5 kg·m ² . Dann muß man die Winkelgeschwindigkeit berechnen

ω = v r = 3

0, 5 = 6 rad/s

Das Rad bekommt die Rotationsenergie ∆E _rot (f¨ ur die Rotation) und die kinetische Energie

∆E _kin (f¨ ur die Translation)

∆E rot = Θ · ω ²

2 = 0, 5 · 6 ² 2 = 8 J

∆E _kin = m · v ²

2 = 2 · 3 ² 2 = 9 J Die Gesamtenergie ist dann

∆E ges = ∆E rot + ∆E kin = 8 + 9 = 17 J Beispiel (1.16)

Ein Reifen (Radius r = 2 m, Masse m = 10 kg) rollt (reibungsfrei) auf einer schiefen Ebene (H¨ ohenunterschied h = 4 m) zu Boden. Parallel dazu gleitet ein Quader (Masse m = 10 kg) (ebenfalls reibungsfrei) auf derselben Ebene zu Boden.

Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Reifens und des Quaders am Boden!

L¨ osung

Wir verwenden hier den Energieerhaltungssatz

∆E _ges = 0 = ∆E _pot + ∆E _kin + ∆E _rot 0 = m · g · ∆h + m · v ²

2 + Θ · ω ² 2 m · g · h = m · v ²

2 + Θ · v ² 2 · r ² Wir verwenden ∆h = −h und ω = ^v _r .

F¨ ur den Reifen gilt jetzt Θ = m · r ² und es ergibt sich m · g · h = m · v ²

2 + m · r ² · v ²

2 · r ² | : m g · h = v ²

2 + v ² 2 = v ² v reifen = p

g · h =

√

10 · 4 = 6, 32 m/s F¨ ur den Quader gilt: Θ = 0 (es gibt keine Rotation)

m · g · h = m · v ²

2 + 0 | : m g · h = v ²

2 v _quader = p

2 · g · h = √

2 · 10 · 4 = 8, 94 m/s

1 Die Rotation 1.3 Die Zentripetalkraft

Das Reifen bewegt sich langsamer als der Quader, weil sich seine potentielle Energie nicht nur in kinetische Energie sondern auch in Rotationsenergie verwandelt.

1.2.6 ¨ Ubersicht Vergleich Translation – Rotation

Translation Rotation

Ort s Winkel ϕ s = ϕ · r

(Bahn-) Geschwindigkeit v = ^∆s _∆t Winkelgeschwindigkeit ω = ^∆ϕ _∆t v = ω · r (Bahn-) Beschleunigung a = ^∆v _∆t Winkelbeschleunigung α = ^∆ω _∆t a = α · r

Kraft F Drehmoment M M = F · r

Masse m Tr¨ agheitsmoment Θ Θ ∝ m · r ²

kinetische Energie E kin = ^m·v ₂ ² Rotationsenergie E rot = ^Θ·ω ₂ ² Impuls p = m · v Drehimpuls L = Θ · ω Newton Axiom F = m · a T = Θ · α 1.3 Die Zentripetalkraft

Wenn auf einen K¨ orper keine Kraft wirkt, so bewegt er sich gleichf¨ ormig und geradlinig (1. Axiom von Newton). Wenn ein K¨ orper auf einer Kreisbahn rotiert, muss es also eine Kraft geben, die den K¨ orper von der Geraden auf die Kreisbahn (Kurve) zwingt. Diese Kraft heißt Zentripetalkraft und ist immer auf den Mittelpunkt der Kreisbewegung gerichtet.

L¨ asst man zum Beispiel einen K¨ orper an einem Faden um einen Mit- telpunkt herum kreisen, so muss man diesen aktiv zum Mittelpunkt ziehen. Reißt der Faden, so kann keine Kraft mehr auf den K¨ orper

wirken. Der K¨ orper bewegt sich dann geradlinig und tangential zur Kreisbahn weiter in Richtung der momentanten Bahngeschwindigkeit v.

Die Zentripetalkraft F zp ist die Kraft, die einen K¨ orper auf einer Kreisbahn h¨ alt. Sie ist stets zum Mittelpunkt der Kreisbahn gerichtet und steht immer normal auf die Richtung der

Bahngeschwindigkeit v. Die Gr¨ oße der Zentripetalkraft ist F _zp = m · ω ² · r = m · v ²

r (1.12)

wobei r der Radius der Kreisbahn ist.

Die Rotation ist eine beschleunigte Bewegung (auch wenn die Winkelgeschwindigkeit ω konstant ist).

Es wirkt die Zentripetalbeschleunigung α zp = ω ² · r = v ²

r (1.13)

die zum Mittelpunkt der Kreisbahn zeigt.

1 Die Rotation 1.3 Die Zentripetalkraft

Damit sich ein K¨ orper auf einer Kreisbahn bewegen kann, muss auf ihn eine Zentripetalkraft wirken, die stets zum Mittelpunkt der Kreisbahn gerichtet ist. Wer diese Kraft aufbringt, h¨ angt vom jeweiligen Beispiel ab.

• Bei der Bewegung des Mondes um die Erde wirkt die Gravitationskraft (Massenanziehung zwi- schen Mond und Erde) als Zentripetalkraft.

• Bei dem am Faden kreisenden K¨ orper wird die Zentripetalkraft vom Faden (bzw. von der Hand, die diesen festh¨ alt) aufgebracht.

• Im Karussell wird die Zentripetalkraft von den Sitzen bzw. vom Sicherungssystem aufgebracht.

• Bei der Kurvenfahrt eines Autos wird die Zentripetalkraft von der Reibungskraft zwischen Reifen und Straße aufgebracht.

Beispiel (1.17)

Die Masse m = 0, 5 kg rotiert an einem Faden mit der L¨ ange r = 0, 8 m mit 120 Drehungen pro Minute. Der Faden reißt bei einer maximalen Zug-Kraft von F zug,max = 100 N.

Kann dieser Faden die rotierende Masse auf der Kreisbahn halten oder reißt er?

L¨ osung

In diesem Fall wird die Zentripetalkraft von der Haltekraft des Fadens aufgebracht. Der Faden reißt nicht, wenn die Haltekraft kleiner ist als die maximale zul¨ assige Zugkraft

F _halte = F _zp ≤ F _zug,max Die Frequenz ist

f = 120 1

min = 120 1

60s = 2 1

s = 2 Hz und die Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) ist

ω = 2 · π · f = 2 · π · 2 = 4 · π = 12, 56 rad s Damit ist die Zentripetalkraft gleich

F zp = m · ω ² · r = 0, 5 · 12, 56 ² · 0, 8 = 63, 1 N

Um die Masse auf einer Kreisbahn zu halten, braucht man nur die Kraft F _halte = F _zp = 63, 1 N.

Der Faden ist daher stark genug.

Beispiel (1.18)

Ein Kettenkarussell dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω. Die L¨ ange der Kette (bis zum K¨ orperschwerpunkt) ist l = 15 m. Der Winkel zwi- schen der Drehachse und der Kette ist α = 56 ^◦ . Die Person auf dem Karussell hat die Masse m = 75 kg.

a) Zeichnen Sie die auf die Person wirkenden Kr¨ afte ein!

b) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω und die Bahngeschwindigkeit v

der Person!

1 Die Rotation 1.3 Die Zentripetalkraft

L¨ osung

Auf den Mann und die Gondel mit Kette wirken zwei Kr¨ afte. Nach unten hin die Gewichtskraft F g und durch das Seil die Zugkraft F _S . Die Resultierende der beiden Kr¨ afte ist die Zentripetalkraft F _zp , die die Gondel auf ihrer Kreisbahn h¨ alt.

b) Aus einer Betrachtung der Winkel am Kr¨ aftediagramm ergibt sich tan α = F _zp

F g

= m · ω ² · r

m · g = ω ² · r g

Der Winkel ist also unabh¨ angig von der Masse der Person.

Der Abstand der Person von der Drehachse ergibt sich als r = l · sin α = 15 · sin 56 = 12, 44 m Damit k¨ onnen wir die Winkelgeschwindigkeit berechnen

ω =

r tan α · g

r =

r tan 56 · 10

12, 44 = 1, 09 rad/s Damit ist die Bahngeschwindigkeit

v = r · ω = 12, 44 · 1, 09 = 13, 6 m/s Beispiel (1.19)

Auf einer rotierenden Scheibe (Winkelgeschwindigkeit ω) liegt im Abstand r = 0, 5 m vom Mittelpunkt ein K¨ orper mit der Masse m = 3 kg (Haftrei- bungszahl µ H = 0, 8).

Berechnen Sie, wie groß die Frequenz maximal sein darf, damit der K¨ orper noch stehen bleibt und nicht umkippt oder auf der Scheibe zu gleiten be- ginnt.

L¨ osung

Die Haftreibungskraft sorgt hier f¨ ur die n¨ otige Haltekraft F _halte = F _HR = µ _H · m · g. Der K¨ orper bleibt also stehen, wenn die Haltekraft gr¨ oßer ist als die Zentripetalkraft

F _halte ≥ F _zp µ H · m · g ≥ m · ω ² · r

ω ≤

r µ _H · g r =

r 0, 8 · 10

0, 5 = 4 rad s f = ω

2 · π ≤ 4

2 · π = 0, 63 Hz

Der K¨ orper bleibt auf der Scheibe stehen, solange die Frequenz kleiner ist als 0, 63 Hz.

1 Die Rotation 1.4 Der Schwerpunkt

1.4 Der Schwerpunkt

1.4.1 Allgemeines

Unterst¨ utzt man den abgebildeten K¨ orper in seinem “Mittelpunkt”, so he- ben sich das positive Drehmoment (erzeugt durch die Schwerkraft F 1 ) und das negative Drehmoment (erzeugt durch F 2 ) auf und das gesamte Dreh- moment verschwindet. Der K¨ orper erh¨ alt keine Winkelbeschleunigung und bleibt im Gleichgewicht.

Unterst¨ utzt man den K¨ orper jedoch in einem anderen Punkt, so entsteht ei- ne Winkelbeschleunigung. Dieser spezielle “Mittelpunkt” des K¨ orpers heißt Schwerpunkt oder Massenmittelpunkt. Es gilt:

Schwerpunktsatz:

Unterst¨ utzt man einen K¨ orper genau im Schwerpunkt S (Massenmittelpunkt), so ist das gesamte Drehmomente aller Massenpunkte bez¨ uglich der Schwerkraft gleich Null. Der K¨ orper befindet sich

im Gleichgewicht und damit in Ruhe.

M _ges = 0 (1.14)

Bei regelm¨ aßig geformten K¨ orpern aus einem Stoff liegt der Schwerpunkt in der K¨ orpermitte. Bei un- regelm¨ aßig geformten K¨ orpern kann man den Schwerpunkt rechnerisch und experimentell bestimmen.

1.4.2 Berechnung des Schwerpunkts f¨ ur Massenpunkte Die Abbildung zeigt drei verschiedene Massenpunkte m ₁ , m ₂ und m ₃ auf einer gemeinsamen Geraden an den Orten x ₁ , x ₂ und x 3 . Die Gerade (x-Achse) steht normal zur Schwerkraft F g . Wir denken uns einen K¨ orper aus den 3 Massenpunkten aufgebaut.

Wir wollen den K¨ orper genau im Schwerpunkt s _x unterst¨ utzen, sodass das gesamte Drehmoment gleich Null ist.

M ₁ + M ₂ + M ₃ = 0 m ₁ · g · r ₁ + m ₂ · g · r ₂ − m ₃ · g · r ₃ = 0 m ₁ · g · (s _x − x ₁ ) + m ₂ · g · (s _x − x ₂ ) + m ₃ · g · (s _x − x ₃ ) = 0

Daraus kann man die Koordinate des Schwerpunktes berechnen s _x = x ₁ · m ₁ + x ₂ · m ₂ + x ₃ · m ₃

m 1 + m 2 + m 3

Wenn die Massenpunkte nicht alle auf einer Geraden liegen, so muss man x-Koordinate, y-Koordinate

und z-Koordinate des Schwerpunkts getrennt bestimmen. Es gilt:

1 Die Rotation 1.4 Der Schwerpunkt

Der Schwerpunkt eines Systems von Massenpunkten m ₁ , m ₂ , m ₃ , . . . mit den Koordinaten (x 1 /y 1 /z 1 ), (x 2 /y 2 /z 2 ), (x 3 /y 3 /z 3 ), . . . ist gegeben durch

s _x = x ₁ · m ₁ + x ₂ · m ₂ + x ₃ · m ₃ + . . . m 1 + m 2 + m 3 + . . . s y = y 1 · m 1 + y 2 · m 2 + y 3 · m 3 + . . .

m 1 + m 2 + m 3 + . . . s z = z 1 · m 1 + z 2 · m 2 + z 3 · m 3 + . . .

m ₁ + m ₂ + m ₃ + . . .

Beispiel (1.20)

Im Punkt P (1/2) befindet sich die Masse m ₁ = 3 kg, in Q(4/3) befinden sich m ₂ = 6 kg, in R(10/0) befinden sich m ₃ = 2 kg und in T (13/1) befindet sich m ₄ = 5 kg. Bestimmen Sie den Schwerpunkt S des Systems!

L¨ osung

Wir setzen in die Formel f¨ ur den Schwerpunkt ein s x = x 1 · m 1 + x 2 · m 2 + x 3 · m 3 + x 4 · m 4

m 1 + m 2 + m 3 + m 4

= 1 · 3 + 4 · 6 + 10 · 2 + 13 · 5

3 + 6 + 2 + 5 = 112 16 = 7 s y = y 1 · m 1 + y 2 · m 2 + y 3 · m 3 + x 4 · m 4

m ₁ + m ₂ + m ₃ + m ₄ = 2 · 3 + 3 · 6 + 0 · 2 + 1 · 5 3 + 6 + 2 + 5 = 29

16 = 1, 8 Die Koordinaten des Schwerpunktes: S(7/1, 8)

1.4.3 Berechnung des Schwerpunkts mehrerer K¨ orper

Wir wollen den gemeinsamen Schwerpunkt von 2 K¨ orpern berechnen.

K¨ orper 1 hat die Masse m ₁ und sein Schwerpunkt liegt bei s ⁽¹⁾ x , K¨ orper 2 hat die Masse m ₂ und den Schwerpunkt s ⁽²⁾ _x .

Der gemeinsame Schwerpunkt ergibt sich dann zu s x = s ⁽¹⁾ x · m 1 + s ⁽²⁾ x · m 2

m 1 + m 2

Allgemein gilt daher:

Der gemeinsame Schwerpunkt von mehreren K¨ orpern m 1 , m 2 , . . . mit den einzelnen Schwerpunkten S ⁽¹⁾ , S ⁽²⁾ , . . . ergibt sich als

s x = s ⁽¹⁾ x · m 1 + s ⁽²⁾ x · m 2 + . . . m ₁ + m ₂ + . . . s _y = s ⁽¹⁾ y · m ₁ + s ⁽²⁾ y · m ₂ + . . .

m ₁ + m ₂ + . . . s _z = s ⁽¹⁾ _z · m ₁ + s ⁽²⁾ _z · m ₂ + . . .

m 1 + m 2 + . . .

1 Die Rotation 1.4 Der Schwerpunkt

Beispiel (1.21)

Die Abbildung zeigt einen K¨ orper, der aus zwei Quadern gemein- samer Dichte ρ = 800 kg/m ³ besteht. Die Abmessungen sind:

K¨ orper 1: L¨ ange l ₁ = 4 m, Breite b ₁ = 1 m, H¨ ohe h ₁ = 2 m K¨ orper 2: L¨ ange l ₂ = 6 m, Breite b ₂ = 2 m, H¨ ohe h ₂ = 1 m L¨ osung

Zuerst m¨ ussen wir die Masse der beiden K¨ orper berechnen

m ₁ = ρ · V ₁ = ρ · l ₁ · b ₁ · h ₁ = 800 · 4 · 1 · 2 = 6400 kg m ₂ = ρ · V ₂ = ρ · l ₂ · b ₂ · h ₂ = 800 · 6 · 2 · 1 = 9600 kg Der Schwerpukt des ersten K¨ orpers ist

S ⁽¹⁾ = l ₁

2 / b ₁ 2 / h ₁

2

=

2/ 1 2 /1

und vom zweiten K¨ orper

S ⁽²⁾ = l 2

2 + l 1 / b 2

2 / h 2

2

=

7/1/ 1 2

wobei man hier drauf achten muss, dass man zur x-Koordinate die L¨ ange des ersten K¨ orpers addiert, da der zweite K¨ orper ja verschoben ist. Damit ergibt sich der gemeinsame Schwerpunkt

s x = s ⁽¹⁾ x · m 1 + s ⁽²⁾ x · m 2

m 1 + m 2

= 2 · 6400 + 7 · 9600 6400 + 9600 = 5 s y = s ⁽¹⁾ y · m 1 + s ⁽²⁾ y · m 2

m ₁ + m ₂ = 0, 5 · 6400 + 1 · 9600 6400 + 9600 = 0, 8 s _z = s ⁽¹⁾ z · m ₁ + s ⁽²⁾ z · m ₂

m ₁ + m ₂ = 1 · 6400 + 0, 5 · 9600 6400 + 9600 = 0, 7 Die Koordinaten des Schwerpunkts sind S(5/0, 8/0, 7).

1.4.4 Schwerpunkt und Drehmoment

Ausgedehnte K¨ orper verhalten sich in Bezug auf Ruhe und Bewegung so, als ob die Gewichtskraft des K¨ orpers oder eine andere ¨ außere Kraft an einem Punkt, dem Schwerpunkt, angreift.

Ein starrer ausgedehnter K¨ orper ist um eine Achse O drehbar. Die Schwerkraft erzeugt ein Drehmoment M ges , das die Summe der Dreh- momente aller Massenpunkte ist

M _ges = ±(r ₁ · m ₁ · g · sin ϕ ₁ + r ₂ · m ₂ · g · sin ϕ ₂ + . . .)

= ±(x ₁ · m ₁ · g + x ₂ · m ₂ · g + . . .)

= ±(s _x · m _ges · g)

= ±(s · m ges · g · sin β)

= ±(s · F g · sin β)

Man sieht hier, dass man das gesamte Drehmoment auch erh¨ alt, indem man sich die gesamte Masse

m _ges = m ₁ + m ₂ + . . . im Schwerpunkt S(s _x ) konzentriert denkt und dort die gesamte Schwerkraft

F _g = m _ges · g wirkt.

1 Die Rotation 1.4 Der Schwerpunkt

Das gesamte Drehmoment aller Massenpunkte bez¨ uglich der Schwerkraft eines K¨ orpers ist gleich dem Drehmoment, das man erh¨ alt, wenn die gesamte Masse punktf¨ ormig im Schwerpunkt konzentriert ist.

Man sagt auch:

Die Schwerkraft eines ausgedehnten K¨ orpers greift im Schwerpunkt S an.

Beispiel (1.22)

Der Arm des Krans ist L = 8 m lang und hat die Masse m _arm = 100 kg.

Das Gewicht, das an seinem Ende h¨ angt, hat die Masse m = 300 kg.

Der Winkel zwischen Kranarm und der Vertikalen betr¨ agt α = 40 ^◦ . Der Kranarm wird mit einer horizontalen Kraft F gehalten. Der Abstand zwischen dem Drehpunkt des Kranarms und dem Angriffspunkt von F betr¨ agt a = 4 m.

Berechnen Sie die Gr¨ oße der Kraft F, die n¨ otig ist, um das System im Gleichgewicht zu halten!

L¨ osung

Es wirken hier 3 Kr¨ afte und damit gibt es drei verschiedene Drehmomente. Das gesamte Dreh- moment ist im Gleichgewicht gleich Null

M _ges = M ₁ + M ₂ + M ₃ = 0 Das erste Drehmoment wird von der Kraft F verursacht

M 1 = +F · a · sin(90 ^◦ − α) = +F · 4 · sin 50 ^◦ das zweite Drehmoment erzeugt die Schwerkraft der Masse m

M ₂ = −m · g · L · sin α = −300 · 10 · 8 · sin 40 ^◦

und das dritte Drehmoment wird von der Gewichtskraft des Kranarmes erzeugt, das im Schwer- punkt des Kranarmes (= Mittelpunkt des Kranarmes) angreift

M 3 = −m _arm · g · L

2 · sin α = −100 · 10 · 4 · sin 40 ^◦ Eingesetzt ergibt sich

F · 4 · sin 50 ^◦ − 300 · 10 · 8 · sin 40 ^◦ − 100 · 10 · 4 · sin 40 ^◦ = 0 F = 300 · 10 · 8 · sin 40 ^◦ + 100 · 10 · 4 · sin 40 ^◦

4 · sin 50 ^◦ = 5873, 7 N 1.4.5 Die Standfestigkeit und das Kippen eines K¨ orpers

Geb¨ aude, T¨ urme, Krane oder Regale sollen standfest sein, also nicht

umkippen. Entscheidend f¨ ur die Standfestigkeit eines K¨ orpers ist die

Lage seines Schwerpunktes bez¨ uglich seiner Auflagefl¨ ache. Ein K¨ orper

ist dann standfest, wenn die am Schwerpunkt angreifende Gewichts-

kraft durch die Auflagefl¨ ache (Standfl¨ ache) verl¨ auft.

1 Die Rotation 1.4 Der Schwerpunkt

Beispiel (1.23)

Ein quaderf¨ ormiger K¨ orper (siehe Bilde) ist durch die Koordinaten der Seitenfl¨ ache gegeben: A(0/0), B(8/6), C(5/10), D(−3/4) mit AB = 5 cm und CD = 10 cm. Die Masse des K¨ orpers ist m = 10 kg und homogen verteilt.

a) Zeichnen Sie den K¨ orper! Bestimmen Sie Sie, in welche Richtung der K¨ orper kippt (auf welche Seitenkante) wenn die Schwerkraft (nach unten in y-Richtung) wirkt und der Punkt A fix ist!

b) Berechnen Sie die Gr¨ oße des Drehomoments, das auf den K¨ orper wirkt!

L¨ osung

a) Wenn man den K¨ orper aufzeichnet, sieht man, dass der Schwer- punkt ¨ uber der Seitenkante AB liegt und der K¨ orper daher nach rechts kippen wird.

b) Die Gewichtskraft grift im Schwerpunkt (= K¨ orpermittelpunkt) an

S = 1

2 (A + C) = 1

2 (B + D) = (2, 5/5) Das Drehmoment ergibt sich als

M = s x · F g = s x · m · g = −2, 5 · 10 · 10 = −250 Nm Das Minus bedeutet eine Drehung im Uhrzeigersinn.

Eine Kraft F wirkt in einer H¨ ohe h ¨ uber der Standfl¨ ache eines K¨ orpers waagrecht auf den K¨ orper ein. Diese Kraft bewirkt ein Drehmoment auf den K¨ orper bez¨ uglich der Kippkante, das so genannte Kippmoment M _kipp = F ·h.

Die Schwerkraft bewirkt Drehmoment in die andere Richtung, das den K¨ orper wieder stabilisiert. Dies ist das so genannte Standmoment M _stand = F _g · l, wobei l der Abstand der Kippkante von der Wirkungslinie der Ge- wichtskraft F g ist.

Der K¨ orper kippt nicht, wenn das Kippmoment kleiner oder gleich wie das Standmoment ist:

M kipp ≤ M stand

F · h ≤ F g · l

Die zum Kippen des Gegenstands n¨ otige Kraft betr¨ agt also mindestens F = ^F _h ^{g ·l} .

Die Standfestigkeit eines Gegenstands ist umso gr¨ oßer, je geringer seine H¨ ohe h ist, je gr¨ oßer seine Gewichtskraft F g ist und je gr¨ oßer der Abstand l des Schwerpunkts zur Kippkante ist.

(Die Standfestigkeit eines K¨ orpers ist umso gr¨ oßer, je gr¨ oßer seine Masse und Standfl¨ ache und je tiefer sein Schwerpunkt ist.)

Beispiel (1.24)

Ein W¨ urfel (Kantenl¨ ange a = 1 m, Masse m = 10 kg) steht auf einer horizontalen Ebene und ist einem Winddruck von p = 70 N/m ² ausgesetzt.

Zeigen Sie durch Rechnung, ob der W¨ urfel stehen bleibt oder

kippt!

1 Die Rotation 1.4 Der Schwerpunkt

L¨ osung

Die Dichte des W¨ urfels ist ¨ uberall gleich (homogen), daher befindet sich der Schwerpunkt genau im Mittelpunkt. Die Gewichtskraft greift im Schwerpunkt des K¨ orpers an und wirkt nach unten

F g = m · g = 10 · 10 = 100 N

Der Windd dr¨ uckt gleichm¨ aßig auf die eine Seite des W¨ urfels. Wir k¨ onnen daher den Wind durch eine Windkraft darstellen, die genau auf die Mitte der Seitenfl¨ ache dr¨ uckt

F wind = p · A = p · a ² = 70 · 1 ² = 70 N

F¨ ur die Standfestigkeit sind nun das Kippmoment und das Standmoment zu vergleichen M _kipp = F _wind · a

2 = 70 · 0, 5 = 35 Nm M _stand = F _g · a

2 = 100 · 0, 5 = 50 Nm

In diesem Fall ist M _kipp < M _stand und der W¨ urfel bleibt stehen (= kippt nicht).

1.4.6 Satz von Steiner

Das Tr¨ agheitsmoment eines K¨ orper h¨ angt von der Achse ab, um die er sich dreht. Bisher ist die Drehachse immer durch den Schwerpunkt S des K¨ orpers verlaufen. Wenn sich ein K¨ orper jetzt um eine Achse 0 dreht, die parallel zur Achse durch S verl¨ auft, so kann man das neue Tr¨ agheitsmoment mit dem Satz von Steiner berechnen, der im folgenden besprochen wird.

Der starre K¨ orper mit n Massenpunkten m ₁ , m ₂ , . . . , m _n mit den Ortsvektoren r ₁ , r ₂ , . . . r _n ist um einen bestimmten Drehpunkt (Achse) 0 drehbar.

• Wenn der Drehpunkt in 0 ist und die Ortsvektoren gegeben sind, dann ist das Tr¨ agheitsmoment des K¨ orpers bez¨ uglich des Dreh- punktes in 0 gegeben durch

Θ 0 = X

i

r _i ² · m i

• Wenn man den Drehpunkt in den Schwerpunkt S des K¨ orpers verschiebt, so muss man statt der Ortsvektoren r _i dieVektoren r i − s verwenden. Dieses Tr¨ agheitsmoment bez¨ uglich des Dreh- punktes in S ist gegeben durch

Θ S = X

i

(r i − s) ² · m i

• Wenn die gesamte Masse m ges = P

i m i nun im Schwerpunkt S

konzentriert ist, und der Drehpunkt wieder in 0 ist, so ist dieses Tr¨ agheitsmoment gegeben durch Θ ⁰ = s ² · X

i

m i = s ² · m ges

• Man sieht jetzt leicht, dass die Gleichung gilt

Θ ₀ = Θ ⁰ + Θ _S

1 Die Rotation 1.5 Aufgaben

Der Satz von Steiner

Das Tr¨ agheitsmoment Θ 0 eines K¨ orpers bez¨ uglich der Achse 0 ist gleich der Summe aus dem Tr¨ agheitsmoment Θ ⁰ der gesamten Masse im Schwerpunkt und dem Tr¨ agheitsmoment Θ S bez¨ uglich

der Achse im Schwerpunkt.

Θ 0 = Θ ⁰ + Θ _S

Beispiel (1.25)

Das Pendel einer Uhr besteht aus einer d¨ unnen Stange mit L¨ ange L (mas- selos), sowie aus einem Zylinder (Radius r, Dicke h, Masse m). Bestimmen sie das Tr¨ agheitsmoment Θ ₀ des Pendels, wobei als Achse 0 der Punkt der Aufh¨ angung gelten soll.

L¨ osung

Wir verwenden hier den Satz von Steiner, um das Tr¨ agheitsmoment des Zylinders zu bestimmen, dessen Drehpunkt nicht im Schwerpunkt liegt, sondern in der Aufh¨ angung.

Der Schwerpunkt S ist der Mittelpunkt des zylinderf¨ ormigen K¨ orpers. Der Abstand des Schwer- punkts vom Aufh¨ angungspunkt 0 ist s = L + r. Damit ergibt sich

Θ ⁰ = s ² · m _ges = (L + r) ² · m und das Tr¨ agheitsmoment eines Zylinders ist

Θ S = 1 2 m · r ²

Damit ergibt sich f¨ ur das schwingende Pendel ein Tr¨ agheitsmoment von und damit Θ ₀ = Θ ⁰ + Θ _S = (L + r) ² · m + 1

2 m · r ² 1.5 Aufgaben

Grundbegriffe

(1.1) a) Was versteht man unter dem Bogenmaß? In welcher Einheit wird das Bogenmaß gemessen?

b) Bestimmen Sie das Bogenmaß folgender Winkel: 45 ^◦ , 30 ^◦ , 60 ^◦ , 40 ^◦ !

(1.2) a) In welchem Zusammenhang steht die Bogenl¨ ange eines Kreisbogens mit dem Bogenmaß?

b) In welcher Einheit wird die Winkelgeschwindigkeit und die Frequenz gemessen?

(1.3) a) Auf welchen Wegen bewegen sich die Massenpunkte eines rotierenden starren K¨ orpers?

b) Punkte eines rotierenden K¨ orpers, die weiter vom Drehzentrum entfernt liegen, haben eine gr¨ oßere (Winkel-/Bahn-)-geschwindigkeit.

c) Alle Punkte eines rotierenden K¨ orpers haben dieselbe (Winkel-/Bahn-)- geschwindigkeit.

(1.4) Ein Rad mit Radius r = 2 m hat die Umlaufzeit T = 0, 4 s. Bestimmen Sie Frequenz, Winkelge- schwindigkeit und Bahngeschwindigkeit!

(1.5) Die R¨ ader eines Autos haben den Radius r = 40 cm. Berechnen Sie Winkelgeschwindigkeit und

Frequenz, wenn das Auto mit 120 km/h f¨ ahrt!

1 Die Rotation 1.5 Aufgaben

(1.6) Der Sekundenzeiger einer Uhr ist genau r = 1m lang. Bestimmen Sie seine Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit!

(1.7) Der Radius des großen Zahnrades in der Abbildung betr¨ agt r 1 = 2 m, beim kleinen ist r 2 = 0, 8 m. Das große Rad macht 3 Umdrehungen pro Sekunde.

Berechnen Sie Winkelgeschwindigkeit, Bahngeschwindigkeit und Fre- quenz beider R¨ ader!

(1.8) Die beiden linken Zahnr¨ ader sind fest mit einander verbunden und haben die Radien r 1 = 10 m und r 2 = 4 m. Das rechte Zahnrad mit dem Radius r ₃ = 16 m greift in die Z¨ ahne des oberen linken Zahnrades.

a) Welche R¨ ader haben dieselbe Winkelgeschwindigkeit?

b) Welche R¨ ader haben dieselbe Bahngeschwindigkeit?

c) Rad 1 dreht sich mit der Frequenz f ₁ = 5 Hz. Berechnen Sie die Frequenz f 3 von Rad 3!

(1.9) Bei einem Traktor hat das Vorderrad den Radius r ₁ = 0, 4 m und das Hinterrad den r ₂ = 1 m.

Welches Rad dreht sich schneller? Wieviel mal schneller?

(1.10) Die Abbildung zeigt, wie das Hinterrad eines Fahrrades durch eine Kette angetrieben wird. Dabei kommen drei R¨ ader (1), (2) und (3) vor mit den Radien r 1 = 80 cm, r 2 = 5 cm, r 3 = 10 cm.

a) Welche R¨ ader haben dieselbe Winkelgeschwindigkeit, welche haben dieselbe Bahngeschwindigkeit?

b) Mit welcher Frequenz muss man in die Pedale (3) treten, damit das Hinterrad (1) des Fahrrades auf der Strasse mit 5 m/s f¨ ahrt?

(1.11) Der Erdradius betr¨ agt etwa 6370 km. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Punkt auf der Erdoberfl¨ ache (am ¨ Aquator) bei der Erddrehung? (Beachten Sie: Die Erde dreht sich in einem Tag einmal um sich selbst.)

(1.12) Die Erde bewegt sich auf einer ann¨ ahernd kreisf¨ ormigen Bahn um die Sonne. Der Radius dieser Kreisbahn betr¨ agt etwa 150 Millionen Kilometer. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich die Erde auf dieser Bahn? Dr¨ ucken Sie die Geschwindigkeit im km/s aus!

Hebel, Drehmoment und Gleichgewicht

(1.13) An einer Waage h¨ angt im Abstand r ₁ = 10 cm eine Masse m ₁ = 2 kg. In welchem Abstand zur Drehachse muss man ein Gegengewicht mit einer Masse von m 2 = 0, 5 kg anbringen, damit die Waage im Gleichgewicht ist?

(1.14) Eine Person h¨ alt ein m = 2 kg schweres Gewicht mit horizontal gehaltenem Unterarm in der Hand (der Oberarm h¨ angt dabei lose nach unten). Der Anriffspunkt des Muskels am Unterarm ist r 1 = 5 cm vom Drehpunkt im Ellenbogen entfernt, der Abstand der Hand zum Drehpunkt betr¨ agt r 2 = 35 cm.

Welche Kraft F ₁ muss der Muskel aufbringen, um den Unterarm in horizontaler Position zu

halten?