02. Was passiert, wenn

Fachhochschule Hannover Klausur Physik II 16.06.2011 Fachbereich Maschinenbau Zeit: 90 min zum Fach Physik II im SS11 Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung --- 1. Ein zylinderförmiger Schwimmkörper aus ^{d 10mm} dickem

Stahlblech (Dichte: _Stahl 7,8g cm^3) besitzt einen Radius von 1

R m und eine Höhe von ^{H 4m}. Der Schwimmkörper schwimmt in Wasser und soll so weit mit Wasser gefüllt werden, dass er nur noch mit ^y10cm aus dem Wasser ragt (Position (a)).

(Dichte Wasser: H O₂ ^1,0g cm^3)

a. Wie viel Prozent des Volumens muss mit Wasser gefüllt werden?

(Man kann als Näherung: Vinnen Vaußen verwenden).

b. Welche Hubarbeit W ist nötig, um den Zylinder von der

Schwimmlage (a) aus dem Wasser in die Position (b) zu heben?

2. Ein homogener Holzquader mit Länge ^L20cm, Breite ^B10cm und Höhe ^{H 5,066cm} schwimmt in Wasser (Dichte:

3

2 1,0

H O g cm

  ^ . In der Ruhelage (a) soll der Quader mit seiner halben Höhe in das Wasser eintauchen. Der Quader wird durch eine äußere Druckkraft bis zur Oberkante eingetaucht (b) und dann losgelassen. Berechnen Sie die Schwingungsdauer T, wobei

Reibungskräfte durch die Flüssigkeit vernachlässigt werden können.

3. Betrachten Sie ein Feder-Masse-System mit geschwindigkeitsabhängiger Reibung (Masse: ^m0,1kg, Federkonstante: D6,1685N m^1)

a. Eine Schwingungsamplitude x0 geht nach 8 Perioden auf 10% von x0

zurück. Wie groß ist die Abklingkonstante? Bestimmen Sie zunächst eine Näherungslösung, indem Sie Te T0 verwenden.

b. Berechnen Sie die exakte Lösung unter Berücksichtigung, dass tatsächlich

0

Te T gilt.

4. In der Umgebung eines empfindlichen Instruments (m_Instr 4kg) vibriert

der Boden sinusförmig mit einer Frequenz von f_a 20Hz und einer Amplitude von 0,5 mm.

Zur Schwingungsisolierung soll das Instrument auf eine schwere Betonplatte mB gestellt werden, die auf vier parallel angeordneten Federn mit jeweils ^{D25kN m/} steht. Die Abklingkonstante des Systems beträgt näherungsweise 10% des Wertes der

Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung. Wie groß muss die Masse der

Betonplatte sein, wenn die äußere Erregung an der dem System Betonplatte plus Instrument nur noch Amplituden von 0,02 mm erzeugen soll?

5. Beschreiben Sie qualitativ die Eigenschaften erzwungener Schwingungen mit

unterschiedlichen Dämpfungen: Skizzieren Sie dazu die Resonanzkurven und die Funktionen der Phasenverschiebung für 0 ⁰

2

 

  . Was passiert, wenn ⁰ 2

   ist?

--- Verwenden Sie zur Vereinfachung den Wert g = 10 m s^-2.

Lösungen:

1a. Masse des leeren Schwimmkörpers: mSchwimmkörper mBodenmDeckel mHohlzylinder

Massen von Boden und Deckel: mBoden mDeckel   R d² Stahl

Masse Hohlzylinder: mHohlzylinder ²   R H d Stahl

Gesamtmasse: mSchwimmkörper ^{2450, 44}kg Schwebebedingung: Auftriebskraft = Gewichtskraft

,

A g ges

F F

Auftriebskraft: 2

   

2 122522

A H O

F   R  Hy  g N Gewichtskraft: Fg ges, Fg SK, Fg WB,

Gewichtskraft des leeren Schwimmkörpers:

, 24504

g SK Schwimmkörper

F m  g N

Gewichtskraft des Wasserballastes: F_{g WB}, F_AF_SK 98018N

Volumen des Wasserballastes: ^, 98018_{3 2} ³

9801769

1 10

g WB WB

F N

V cm

g g cm ms

 ^{ }

  

 

Volumen des Schwimmkörpers: VSK R H² ^12566371cm³ Prozentualer Anteil des wassergefüllten Volumens:

Ergebnis: ^{WB 78, 0%}

SK

P V

V  1b. Arbeit zum Heben des Schwimmkörpers:

Ohne Auftriebskraft wäre die Arbeit: W1mges g H



y



Gesamtmasse: mges mSK mWB ^{2450, 44}kg^9801,769kg 12 252, 209

ges SK WB

m m m  kg

Gesamte Gewichtskraft: F_{g ges}, 12252, 209kg10ms^2 122522,09N Arbeit ohne Auftriebskraft: W1F_{g ges}, 



H x



122522, 09N3,90m

 

1 _{g ges}, 477,836

W F  H x  kJ Hubkraft: ^{FHub  }



^{F xA}

 

^Fg



Die Hubkraft FHub^{( )}x ist eine lineare Funktion von x. Für x0 ist die Hubkraft Null. Für x H  yist Hubkraft maximal und gleich der GewichtskraftF_{g ges}, 122522,09N . Dabei bezeichnet ^x den Hubweg und ^y die Länge des aus dem Wasser ragenden Teils des Schwimmkörpers.

Gradient der Kraft:

 

122522,09 1

31415,92 3,90

A A

dF x F N

dx x m Nm

 

  

 Die Arbeit W2 gegen die Auftriebskraft FHub^{( )}x ist:

   

2 0 0

x H y x H y A

x Hub x

W F x dx dF x x dx

dx

   

 

 

   

 

 

   

2

2 0

0

1 2

H y x H y

A A

x

dF x dF x

W x dx x

dx dx

  





   

 

²

    

^{2 2}



2

0

1 1

2 2 0

H y

A A

dF x dF x

W x H y

dx dx



       

Ergebnis ^{W2  1}₂ ^31415,92N_m^



^3,92



^{m2) 238,9 kJ  1}₂^W1

2. Die Auslenkung des Schwerpunktes des Quaders aus der Gleichgewichtslage soll durch die Koordinate x 



x0,x0



beschrieben werden. Es gilt: 0

2

x  H . Wird der Schwerpunkt nach unten gedrückt, ist x0. Die resultierende Kraft aus Auftriebskraft und Gewichtskraft ist nach oben gerichtet, also positiv. Wird der Schwerpunkt des Quaders hingegen aus dem Wasservolumen nach oben gezogen, ist x0. Die resultierende Kraft aus Auftriebskraft und Gewichtskraft ist nach unten gerichtet, also negativ.

Für die Rückstellkraft Frück ergibt sich:

Rückstellkraft: Frück FAFg

Auftriebskraft: FA H O2   



L B x



0x

 

g Gewichtskraft: Fg Q



L B H g 





Da der Körper in der Ruhelage bis zur halben Höhe eintaucht. gilt: ²⁰ 2

H Q

  

Es folgt: ₂

 

0

 

²

 

2

H O

rück A g H O

F F F L B x x g  L B H g



            

Da 0

2

x  H ist, folgt: _{2 2}

 

²

 

2 2

H O

rück H O H O

F L B H g L B x g  L B H g

   

           Es folgt: Frück  H O₂



L B x g 



D’Alembertsches Prinzip: _i 0

i

F m a 



^{ }

rück 0

F m a

Die Masse des Quaders ist: ² 0

2

m H O L B H

   

Einsetzen: ²

2 0

2

H O

H OL B x g  L B H x



        

2g 0

x x

 H 



Die Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung lautet:

2

1 0

2 2 10

6, 2832 0,5066

g m s

H m s

    ^  ^

Schwingungsdauer der ungedämpften Schwingung:

Ergebnis: 0

0

2 1,00

T  s

  

3a. Bestimmung der Abklingkonstante mit Hilfe der Näherung Te T0:

Es gilt laut Aufgabenstellung:

 

0 ⁸ 0

8 _e ^Te cos 2 8 _e 0,1

e

x t T x e T x

T

 

    

       

 

Es folgt: ^{e  8Tecos 8 2}



^{ }



^0,1

Da ^{cos 8 2}



^{ }



^1, folgt: e^{  8Te} 0,1

 

ln 0,1 8 T_e

  



Aus den Angaben zur Masse und zur Federkonstante erhält man die Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung:

1

1 0

6,1685

7,85398 0,1

D N m

m kg s

   ^  ^

Schwingungsdauer des ungedämpften Feder-Masse.Systems:

0 0

2 0,8

T  s

 

Man kann in einem ersten Schritt die Näherung: Te T0 verwenden.

Es folgt:

     

0 0

ln 0,1 ln 0,1 ln 0,1

8 T_e 8 T 8 2

 

       

  

0,0458085 0

  

Ergebnis:   ^2,302585_{8 0,8s} ^{0,359778s1}



3b. Bestimmung der Abklingkonstante unter Verwendung der exakten Bedingung Te T0:

Es gilt: 2 2 2

 

²

0 2

2

e

Te

    

Es folgt: _{2 2}

0

2 Te 

 

 

Exakte Lösung:

2 2

ln 0,1 0

ln 0,1

8 T_e 8 2

 

 

 

  

 

 

²



^{02 2}



2

2

ln 0,1 256

 

 

 



 

²

 

²

2 2 2 2

256   ln 0,1 0  ln 0,1 

 

 

 

2 2 2

0 0

2 2

2

2

ln 0,1

256 ln 0,1 1 256

ln 0,1

 

  

  

 

 

0 0

2 0 2

0,0457605 21,85291

1 256 ln 0,1

 

 

    



Ergebnis: ¹

0

0,0457605 2 0,359402

exakt s

T

     ^

Näherungslösung und exakte Lösung weichen ca. 0,1% voneinander ab.

4. Masse des schwingenden Systems setzt sich der des Instruments und der Betonplatte

zusammen: mges mInstrmB

Kreisfrequenz der äußeren Erregung: _a 2f_a 220s^1125, 664s^1

Die vier Federn sind parallel angeordnet, deshalb addieren sich die Federkonstanten.

4 4 25 100

Dges    D kN m kN m Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung:

0

100

ges Instr B 4 B

D D kN m

m m m kg m

   

 

Für die gesuchte Masse der Betonplatte gilt:

2 0

B Instr

m D m

  Abklingkonstante:  0,10

Für die Amplitude A eines Feder-Masse-Systems mit äußerer Erregung gilt:

 

  ^{ }

0 0 2 2 2 2

0

, ,

2

a a

a a

A x    f

  

 

 

Für a ⁰ gilt: 0 0



0



2

0

0, , ^a

a

A x    f

  

Es folgt:

 

    ^{ }

2

0 0 0

2 2

2 2

0 0 0

0

, ,

0, , 2

a

a a a

A x A x

   

     

 

  

 

2 4

0

2 2 2 2 2

0 0 _a 4 _a

A A



   

 

  

 

 

 

2 4

0

2 2 2 2 2

0 0 _a 4 0,01 0 _a

A A



   

 

  

   

 

4

4 2 2 4 2 2 0

0 0 0 2

0

2 _{a a} 0,04 _a

A A

         

 

 

 

2

4 0 2 2 4

0 1 A2 2,04 0 _{a a} 0

  A    

   

 

 

Setze:

2 2

0

2 2

1 1 0,5 1 625 624

0,02 A

   A       Die Amplitude A0 entspricht der Amplitude des schwingenden Bodens:

0 0,5

A  mm

Die Amplitude A des Gesamtsystems soll nur noch ^A0,02mm sein.

Setze:

2 2

0

2 2

1 1 0,5 1 625 624

0,02 A

   A       Es folgt:  0⁴  2 1,02 0² _a²_a⁴ 0

4 2 2 4

0 0

1,02 1

2 _{a a}

   

 

   

2 2

4 2 2 4 4 4

0 0

1,02 1,02 1,02 1

2 _{a a a a}

     

   

   

      

   

2

2 2 4

0 2

1,02 1,02 1

a a

  

  

 

    

 

2

2 2 2

0 2

1,02 1,02 1

a a

  

  

   

2

2 2

0 2

1, 02 1,02 1

624 624 624 ^a

   

   

 

2 2

0 0, 0016346 0, 040065 _a

    

Positive Wurzel: 0²  0, 0384307_a²

Negative Wurzel: 0²  0, 0416996_a² scheidet aus.

Es gilt: 0² 0,0384307 _a^{2 ges}

Instr B

D

m m

    

 0,0384307 2

ges

B Instr

a

m D m

  



2 2

100 4

0,0384307 4

B

a

m kN m kg

 f

 



3 2

100 10

0,0384307 4 400 4

B

m kg kg



  



3 2

100 10

0,0384307 4 400 4

B

m kg kg



  



164,779 4 160,8 mB  kg kg kg