- Dienstags (alle 14 Tage), 9:15 Uhr Seminarraum 1, Institutsgebäude - Mittwochs 13:30 Uhr,

1

Grundkurs Physik 2

Schwingungen und Wellen, Thermodynamik, Elektrodynamik

2

Termine

Vorlesung

- Dienstags (alle 14 Tage), 9:15 Uhr Seminarraum 1, Institutsgebäude - Mittwochs 13:30 Uhr,

Hörsaal Schutow, Schutower Straße 5

Kontakt

PD Dr. Josef Tiggesbäumker Universitätsplatz 3

Zimmer 210

josef.tiggesbaeumker@uni-rostock.de

Übung (alle 14 Tage) / Seminar (spezielle Termine) Dienstags 9:15 Uhr (alle 14 Tage)

Übungsgruppe, Seminarraum Didaktik, Schwaansche Strasse 3a

Abgabe der Lösungen jeweils am Montag vor der Übung,

Kontakt

Dipl. Phys. Johannes Passig Universitätsplatz 3

Zimmer 210

johannes.passig@uni-rostock.de

3

Scheine, Scheine, Scheine

Lösungen der Übungsaufgaben werden bewertet !!!

Kriterien

Erfolgreiche Teilnahme an den Übungen

50% der maximal erreichbaren Punkte

Seminarbeitrag

Vortrag über ein gegebenes Thema (20 Minuten plus Diskussion)

Klausur am Ende des Semesters

Teilnehmerschein/ Leistungsschein

4

15a Schwingungen

5

Bestimmung der geographische Länge

berechnet aus Differenz von höchster Sonnenstand und 12 Uhr Zeitangabe

Fehler von einer Minute am Äquator entsprechen 28 km!

1714 Englisches Parlament Preisgeld von 20 000 Pfund (zum Vergleich Jahresverdienst eines Arbeiters 10 Pfund)

für eine Uhr mit einer Genauigkeit von 1 bis 2 Minuten nach mehreren Monaten Schiffsreise

Lösung des Problems erst 1761 durch Harrison

Seefahrt. Genau!

John Harrison (1693-1776)

H1

6

Harmonische Schwingungen

Definition

Sich wiederholende zeitliche Änderung einer physikalischen Größe

(Länge, Temperatur, Spannung, )

Stabiles Gleichgewicht

Kraftwirkung in Richtung Ruhelage

Labiles Gleichgewicht

Kraftwirkung in Richtung Ruhelage

Indifferentes Gleichgewicht

Keine Kraftwirkung bei Auslenkung

Alle System, die dem Hookschen Gesetz genügen, führen harmonische Schwingungen aus.

Harmonische Schwingungen sind die am häufigsten beobachteten Oszillationen im Alltag

Jedes System, das nur geringfügig aus seiner Ruhelage verschoben wird, schwingt harmonisch um den Ruhepunkt.

7

Schwingungen

Klassische Mechanik

Fadenpendel

Hydrometer

Torsionspendel

Cavendish Experiment Masse an Feder

Helmholtzresonantor

Elektrischer Schwingkreis Flüssigkeit in U-Rohr

Masse durch Zugkräfte gehalten

8

Schwingungen

Relevanz in der modernen Physik

Quantenmechanischer harmonischer Oszillator

Phononen

Schwingungen eines Festkörpers

Schwingungen eines Moleküls Riesenresonanz in Atomkernen

Schwingungen Neutronen und Protonen

Nb Al

Mie Lichtstreuung an kleinen Teilchen

Schwingungen der Sonne

9

Gekoppelte Systeme

Oszillationen im Tierreich

Alaska Schneehase

Luchs

10

Hase und Jäger

im ganz normalen Leben sind die Zusammenhänge oft kompliziert

Schneehasen

S(t) Beutepopulation

dS(t)/dt zeitliche Änderung der Beutepopulation S₁S(t) natürliche Entwicklung der Beutepopulation

Vermehrung/ Sterben

S₂S(t)L(t) Entwicklung der Beutepopulation in Abhängigkeit von der Anzahl der Räuber

(Luchse)

Zeitliche Entwicklung der Population A hängt von der Entwicklung der Population B ab (und umgekehrt) und kann nicht unabhängig voneinander betrachtet werden

Luchse

L(t) Räuberpopulation

dL(t)/dt zeitliche Änderung der Räuberpopulation L₁L(t) natürliche Entwicklung der Räuberpopulation

Vermehrung/ Sterben

L₂S(t)L(t) Entwicklung der Räuberpopulation in

Abhängigkeit von der Anzahl der Beutetiere

(Schneehasen)

Gegenseitige Abhängigkeiten zwischen Hasen und Jäger

11

Hase und Jäger

im ganz normalen Leben sind die Zusammenhänge oft kompliziert

) ( )

( ) ) (

(

) ( ) ( )

) ( (

2 1

2 1

t L L t L t S dt L

t dL

t L t S S t S dt S

t dS

−

=

−

=

Gekoppelte Differentialgleichung

Schneehasen unter sich

gegenseitige Abhängigkeit

- Oszillation in der Population - Populationen gleichen sich an - Maxima und Minima

zu unterschiedlichen Zeitpunkten (Phase)

Ähnliche Beobachtungen Löwe-Antilope

Panda-Bambus

12

Hooksches Gesetz

Kraftwirkung ist umgekehrt proportional der Auslenkung

Auslenkung aus der Ruhelage nach rechts x positiv

Auslenkung aus der Ruhelage nach links x negativ

Kraftwirkung der Auslenkung entgegengesetzt

F negativ (F~-x)

Gleichgewichtsposition (x=0) Kraftwirkung verschwindet

Kraftwirkung der Auslenkung entgegengesetzt

F positiv (F~x)

kx F

= −

Gesetz Hooksches

Robert Hooke (1635-1703)

stets entgegengesetzt

der Auslenkung linear der Auslenkung

Proportionalitätskonstante

[ ] ⎥⎦ ⎤ = _⎢⎣ ^⎡ _⎥⎦ ^⎤

⎢⎣ ⎡

= m

N x

k F

13

Einfach harmonische Bewegung

vertikale Auslenkung

Grundlage der Beschreibung

Newtonsche Bewegungsgleichung

∑ ^{F r = m a r}

Beschleunigung proportional der Auslenkung

Beschleunigungsvektor entgegengesetzt zur Auslenkung

wechselt Vorzeichen

da , 0 Auslenkung

minimaler bei

maximal gkeit

Geschwindi

Auslenkung maximaler

bei maximal g

chleunigun Anfangsbes

a x

m A A k

x

=

−

⇒

=

→

betrachte

vertikale Auslenkung reibungsfrei

Das Hooksche Gesetz beschreibt solche Bewegungsformen

wir werden sehen, dass in der Natur viele Systeme in so einer Weise auf äußere Störungen reagieren

m x a k

kx ma

x x

−

=

−

Komponenten

=

Direkte Konsequenzen aus dem Hookschen Gesetz

Schwingung heißt Energietausch zwischen Energieformen gekoppelte Systeme

kinetische Energie – potentielle Energie elektrische Energie – magnetische Energie

14

Mathematische Beschreibung

welche Funktionen könnten solche physikalischen Phänomene beschreiben

x x

m k m x

x k dt

d

dt² ² d²

: enz Kreisfrequ Definiere

²

²

2

ω

ω

−

=

=

−

=

gesucht eine Funktion, deren zweite Ableitung wieder sich selbst ergibt (mal einer Konstante)

( )

( )

( )

) (

² )

² (

²

cos

² )

² (

²

sin )

(

cos )

(

t x t

dt x d

t A

t dt x

d

t A

t dt x

d

t A

t x

ω

φ ω ω

φ ω ω

φ ω

−

=

+

−

=

+

=

+

=

Ratesansatz Kosinusfunktion

Newtonsche Bewegungsgleichung

Amplitude A

φ ω t +

Phase

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ s Einheit rad

Vermutung Sinus und Kosinus erfüllen die Anforderungen

Phasenwinkel

[ ] ^rad

Einheit

≠ 0 φ

= 0 φ

Ansatz sin Funktion liefert auch eine Lösung

Erinnerung

Radian [rad]

15

Harmonische Bewegung eines Oszillators

Oszillierender Körper schreibt Sinus- bzw

Kosinusfunktion auf gleichmäßig bewegtem Papier

x-t Schreiber

16

Jupitermonde

Aus Sicht der Erde führen die Jupitermonde eine harmonische Schwingung aus

Hinweis auf heliozentrisches Weltbild

17

Definitionen

Amplitude

Die Amplitude definiert die maximale Auslenkung aus der Gleichgewichtslage

Auslenkung = Längenänderung (m)

Auslenkung = Winkeländerung (rad) Der Wert der Auslenkung kann

unterschiedlich bestimmt werden

( ^{ω + φ} )

= A t t

x ( ) cos

18

Definitionen

Phase

Violin Phase (1967) Musikstück für vier Violinen oder für eine Violine und Tonband

Durch die Phase φ wird das Schwingungsverhalten

unterschiedlicher Oszillatoren (gleicher Frequenz) verglichen

Position der größten Auslenkung ist gegenüber dem anderen System um einen gewissen Betrag

verschoben

gilt aber für jeden Wert der Auslenkung Maximaler Unterschied

(Phasenwinkel) ist 2π

π 2

( ^{ω + φ} )

= A t t

x ( ) cos

gleiche Amplitude gleiche Frequenz

aber unterschiedliche Phase

Steve Reich (1936-)

19

Definitionen

Periode und Frequenz

Ein vollständiger Zyklus der Bewegung

Position des Körpers identisch bei t und t+T

Kosinus f(α)=f(α+2π)

π 2

( )

( ) ( )

ω π

π ω

π φ

ω φ

ω

2 2

2

=

=

⇓

= +

− + +

T T

t T

t

π ω 2 1 =

= T f

Periode

SI Einheit [s]

Frequenz

SI Einheit [1/s=1 Hz]

f T π π

ω = 2 = ² Kreisfrequenz

SI Einheit [1 rad/s]

m k f T

k T m

π ω π

π

2 1 1 2 2

=

=

=

=

( ^{ω + φ} )

= A t t

x ( ) cos

betrachte eine vollständige Schwingung

20

Harmonische Schwingung

( ω + φ )

= A t t

x ( ) cos

Diese Funktion beschreibt das Verhalten der Ortskoordinate

GESUCHT

das zeitliches Verhalten

von Geschwindigkeit und Beschleunigung

21

Geschwindigkeit

( )

( )

( ω φ )

ω

φ ω +

−

=

+

=

=

t A

t dt A

x d dt

d

sin v

cos v

Geschwindigkeit des Körpers bei der Oszillation

m A k A

±

=

±

=

max max

v

v ω

x(t)

v(t) für eine willkürlich gewählte Phase

Geschwindigkeit maximal wenn Beschleunigung minimal

( ^{ω + φ} )

= A t t

x ( ) cos

erste Ableitung

maximaler Wert

m

= k ω

Erinnerung

22

Geschwindigkeit und Beschleunigung

( )

( )

( ω φ )

ω

φ ω +

−

=

+

=

=

t A

t dt A

x d dt

d

sin v

cos v

Geschwindigkeit des Körpers bei der Oszillation Beschleunigung des Körpers bei der Oszillation

m A k

A

±

=

±

=

max max

v

v ω

m A k a

A a

±

=

±

=

max

max

ω ²

( )

( )

( ω φ )

ω

φ ω +

=

+

=

=

t A

a

t dt² A

x d² dt² a d²

cos

²

cos

x(t)

v(t)

a(t)

für eine willkürlich gewählte Phase

Geschwindigkeit maximal wenn Beschleunigung minimal

( ^{ω + φ} )

= A t t

x ( ) cos

Beschleunigung maximal, wenn Auslenkung maximal

erste Ableitung zweite Ableitung

maximaler Wert

23

Anfangsbedingung I

Feder gespannt

0 sin

) 0 ( v

cos 0

ungen Randbeding

=

−

=

=

=

φ ω

φ A

A A

) x(

Als Phase wählen wir φ=0, damit ist die Gleichung oben erfüllt

Ortskoordinate

x(t=0)=Α

t A

x = cos ω

Lösung

( ^{ω + φ} )

= A t t

x ( ) cos

Geschwindigkeit

v(t=0)=0

Beschleunigung

a(t=0)=-a₀

Verlauf der Schwingung bei unterschiedlichen Anfangsbedingungen

( )

( ^{ω φ} )

ω

φ ω

+

−

=

+

=

t A

t

t A

x(t)

sin )

( v

cos

Phase?

der

mit

ist

Was

24

Anfangsbedingung II

Durchgang durch die Gleichgewichtslage

φ ω ω

φ π φ

i

i

A

A A ) x(

v v sin

) 0 ( v

0 2 cos

0

= m

⇒

=

−

=

±

=

⇒

=

=

- 2 -1

sin

positiv A

und 0 v

ung Randbeding

φ π φ = ⇒ =

↓

i

>

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= v cos ω π 2

ω ^t

x

Lösung

resultierende Amplitude

Phase um π/4 verschoben

Anfangsbedingung I (Feder gespannt)

( ^{ω + φ} )

= A t t

x ( ) cos

Ortskoordinate

x(t=0)=0

Geschwindigkeit

v(t=0)=v₀

Beschleunigung

a(t=0)=0

25

Schlagloch

Masse des Trabant 620 kg

Federkonstante der Einzelfeder k=15 000 N/m

Fall B

Zusätzlich Fahrer und drei Mitfahrer insgesamt 250 kg

Hz 2 3 . 1

250kg 620kg

m 000 N 60 2

1 2

1

=

= +

= +

voll

Personen Trabi

eff voll

f

m m

f k

π π

Hz 7 5 . 1

620kg m 00 N 600 2

1 2

1

=

=

=

leer Trabi

eff leer

f m f k

π π

( )

m 00 N 600

m 00 N 150 4

=

⋅

=

−

=

−

=

−

= ∑ ∑

eff eff

eff res

k k

x k x k kx

F

Fall A

Oszillationsfrequenz des leeren Trabant

26

Energiebetrachtung

Energietransfer in schwingendem System

Erinnerung an die Vorlesung MECHANIK

Viele Probleme lassen sich unter Verwendung des Energiesatzes leichter lösen

Kinetische Energie des harmonischen Oszillators

( )

( )

( ) ( )

( )

2 1 cos sin

2 2

2

2 2 2

2 2 2

2 1

cos 2 sin

1

2 cos 1 2

1

2 sin

² 1 2 v 1

2 2

kA E

t t

kA E

PE KE

E

t kA

kx PE

t A

m m

KE

=

⇓

+ +

+

=

+

=

+

=

=

+

=

=

= Θ + Θ

φ ω φ

ω

φ ω

φ ω ω

Gesamtenergie des harmonischen Oszillators Elastische Energie des harmonischen Oszillators

( )

( ^{ω φ} )

ω

φ ω

+

=

+

=

t A

t

t A

t x

sin )

( v

cos )

Ausgangslage

(

schon berechnet

Die Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators ist eine Konstante der Bewegung und ist proportional zum Quadrat der Amplitude

Bemerkung

Sowohl die kinetische Energie als auch die elastische Energie sind stets positiv

Gesamtenergie des harmonischen Oszillators

27

Energie des harmonischen Oszillators

2

2 2

2 ax

2 1

2 1 2

v 1 2 1

0

0 Position Betrachte

kA E

m A m k A

m m

E

PE

x

m

=

=

=

=

=

= ω

= 0 x

Austausch von kinetischer und elastischer Energie im harmonischen Oszillator

Beitrag von kinetischer und elastischer/ potentieller Energie während der Schwingung

ω

= A v

Erinnerung

Gesamtenergie

28

Energie des harmonischen Oszillators

= 0 x

x 2

2 1 4

1 2

2 1 2 1

gilt der bei Amplitude Suche

2 2

Bedingung 2 2

A kx kA

E PE kx PE

kA E

=

=

=

⇓

=

=

Bei welcher Auslenkung ist kinetische und

potentielle Energie vom Betrag her gleich?

29

Energietransfer

PE max

PE max

PE max KE max KE max

Pendel Feder

30

Geschwindigkeit v(x)

( )

(

)

²

2 2

2 2

2

v

m v k

2 v 1 2 1 2

1

x A

x A

mx m

kA

PE KE

E

m k

−

±

=

⇓

−

±

=

= +

=

⇓ +

=

=

ω

ω

A x

ω

±

=

⇓

= v

0

( ) ⁰

v = ±

−

=

⇓

=

A A A

A x

ω Check für Extremalpositionen

Nutze Energiesatz um Geschwindigkeit des Körpers an beliebiger Position zu berechnen

Geschwindigkeit an Position x

Maximal am Gleichgewichtspunkt Minimal am Umkehrpunkt