Diskrete Optimierung 3. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik SoSe 2013
Prof. Dr. Michael Joswig 30. April und 2. Mai 2013
Dipl.-Math. Madeline Lips
Gruppenübung
Aufgabe G1 (Doppelte Beschreibung (1)) (a) Beweisen Sie folgendes Lemma.
Lemma: SeiV eine endliche Punktmenge undP=convV. Schneiden wir das Polytop nun mit einem weiteren affinen HalbraumH+. SeiV0,V+,V− die Partition der MengeV, die durchV0=V ∩H, V+=V ∩H+\H, V−=V∩H−\H definiert ist. Dann gilt
P∩H+=conv((V0∪V+)∪ {[v,w]∩H:v∈V+,w∈V−}).
Wobei[v,w] ={λv+ (1−λ)w|0≤λ≤1}die Strecke vonvnachwist.
(b) Gegeben sei folgender Algorithmus:
Algorithm 1Grundalgorithmus der doppelten Beschreibung
INPUT: Menge affiner HalbräumeH ={H+1, ...,H+m}inRn, so dassP=H1+∩...∩H+m beschränkt und volldimensional sowiePn+1=H1+∩...∩Hn+1+ einn-Simplex ist.
OUTPUT: PunktmengeV mitconvV=P
1: Vn+1←Eckenmenge vonPn+1
2: fork←n+2, ...,mdo
3: KonstruiereVkmitconvVk=Pk=Pk−1∩H+k wie in obigen Lemma
4: end for
5: return Vm
Zeigen Sie, dass Algorithmus 1 korrekt ist. Wie kann Schritt 1 realisiert werden?
(c) Wenden Sie Algorithmus 1 auf folgendes Polytop an:
P=
x∈R2|
0 1
2 −1
−2 −1
1 1
−2 1 0 −1
x≥
0 0
−32 6
−20
−14
Verdeutlichen Sie zeichnerisch das Verfahren des Algorithmus.
Aufgabe G2 (Doppelte Beschreibung (2))
Überlegen Sie sich eine Modifizierung von Algorithmus 1 aus Aufgabe G1 für unbeschränkte Polyeder.
Hilfestellung: Homogenisieren Sie Ihr Ausgangsproblem, so dass Sie einenn+1-dimensionalen polyedrischen Kegel erhalten.
Anschließend sind Sie anE, so dassP=coneE, interessiert.
Aufgabe G3 (Modellierung MST)
Gegeben sei ein zusammenhängender, ungerichteter GraphG= (V,E)mit einer Kantengewichtsfunktionw:E−→R. Gesucht ist ein minimaler aufspannender Baum vonG, d. h. eine KantenmenteT⊆Emitw(T) =minS⊆Ew(S), wobei GT= (V,T)zusammenhängend und kreisfrei ist.
Formulieren Sie ein ganzzahliges Programm zur Modellierung dieses Problems.
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Hausübung
Aufgabe H1 (Zerlegung eines Polyeders) (5 Punkte)
(a) Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe G2, dass für jedes PolyederP⊆Rnendliche MengenV,E∈Rnexistieren, so dass P=convV+coneEgilt.
(b) Zeigen Sie, dass sich jedes PolyederP⊆Rndarstellen lässt alsP=Q+ (K+L), wobeiQein Polytop,Kein spitzer Kegel undLein linearer Unterraum ist. Welche Summanden sind in dieser Darstellung eindeutig bestimmt?
Aufgabe H2 (Rucksackproblem) (5 Punkte)
Gegeben sei die Rucksack-UngleichungPn
i=1aixi≤b.
Betrachtet werden die beiden Polytope
P:=conv (
x∈[0, 1]n|
n
X
i=1
aixi≤b )
und
S:=conv{x∈ {0, 1}n|xist eine Lösung des gegebenen Rucksackproblems}.
(a) Zeigen Sie:S⊂P.
(b) Gilt auchP⊂S? Beweis oder Gegenbeispiel.
Aufgabe H3 (Kegelbasis) (5 Punkte)
Sei C ⊆ Rn ein Kegel (nicht zwingend polyedrischerKegel). Eine Menge S ⊆ C heißt Erzeugendensystem für C, falls cone(S) =C. IstSminimal (bzgl. Mengeninklusion), so heißtSKegelbasis.
(a) Geben Sie zwei Kegelbasen desR2unterschiedlicher Kardinalität an.
(b) Zeigen Sie: Eine MengeSist genau dann eine Kegelbasis für einen KegelC, wenncone(S) =Cunds∈/cone(S−{s}) für alles∈Sgilt.
(c) Gibt es imRnKegel mit Kegelbasen unendlicher Kardinalität? Belegen Sie Ihre Antwort mit einem Beispiel/Beweis.
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