Diskrete Optimierung 5. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik SoSe 2013
Prof. Dr. Michael Joswig 14. und 16. Mai 2013
Dipl.-Math. Madeline Lips
Gruppenübung
Aufgabe G1 (Hinreichendes Kriterium für totale Unimodularität) Zeigen Sie folgendes hinreichendes Kriterium für totale Unimodularität:
Eine MatrixA∈ {0,±1}m×nist total unimodular, falls
• höchstens zwei Einträge in jeder Spalte ungleich 0 sind,
• die Zeilen in zwei disjunkte MengenI1,I2aufgeteilt werden können, sodass:
– Hat eine Spalte zwei Einträge mit gleichen Vorzeichen, so liegen die entsprechenden Zeilen in verschiedenen Ij.
– Hat eine Spalte zwei Einträge mit verschiedenen Vorzeichen, so liegen die entsprechenden Zeilen in gleichen Ij.
Aufgabe G2 (Totale Unimodularität) SeiA∈Km×n. Zeigen Sie:
(a) Aist genau dann total unimodular, wenn[A,I]unimodular ist.
(b) Aist genau dann total unimodular, wenn
A
−A I
−I
total unimodular ist.
(c) Aist genau dann total unimodular, wennATtotal unimodular ist.
Aufgabe G3 (Knoten-Kanten-Inzidenzmatrix)
Zeigen Sie, dass die Knoten-Kanten-Inzidenzmatrix eines ungerichteten bipartiten Graphen total unimodular ist.
Hinweis: Ein GraphG= (V,E)heißtbipartit, fallsX,Y6=;existieren mitV =X·∪Y undE⊆ {{v,w} |v ∈X,w∈Y}. DieKnoten-Kanten-InzidenzmatrixvonGist die MatrixA= (ai j)i∈V,j∈Emit
ai j=
(1, fallsi∈j, 0, sonst.
Hausübung
Aufgabe H1 (Totale Unimodularität) (5 Punkte)
SeiA∈ {0, 1}m×n.Zeigen Sie, dass wenn die Zeilen vonAso angeordnet werden können, dass in jeder Spalte vonAdie Einsen konsekutiv auftreten,Atotal unimodular ist.
Aufgabe H2 (Total unimodulare Matrizen) (5 Punkte)
Entscheiden Sie, ob die folgenden Matrizen total unimodular sind und begründen Sie Ihre Antwort.
A=
1 0 2
0 1 0
1 1 1
, B=
1 1 0
1 1 1
1 0 1
, C=
1 0 1 0
0 1 1 0
0 1 0 1
1 0 0 1
, D=
1 1 0
1 0 1
0 1 1
.
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Aufgabe H3 (Modellierung) (5 Punkte) Gegeben sei folgendes Optimierungsproblem:
EQUALITY-KNAPSACK
Instanz: ai,wi∈R+miti=1, . . . ,n(n∈N),λ∈R+. Frage: Findex∈Nn, so dassPn
i=1aiximaximal ist undPn
i=1wixi=λ gilt.
(a) Berechnen Sie mit Hilfe vonCPLEXein Optimum für die InstanzI mitn=5,
a= (213,−1928,−11111,−2345, 9123),w= (12223, 12224, 36674, 611, 85569)undλ=89643482.
(b) Betrachten Sie nun das entsprechende relaxierte UNBOUNDED-KNAPSACK-Problem, d. h.Pn
i=1wixi≤λund xi∈R+ für allei=1, . . . ,n. Stellen Sie fürI das resultierende KNAPSACK-Polytop mit Hilfe vonpolymakegraphisch dar.
Hierbei könnten die Funktionen/Methodenfacet,projection_full,projection,DUAL_GRAPHundVISUALhilf- reich sein.
(c) Berechnen Sie mit Hilfe vonpolymakeein Optimum für das relaxierte Problem.
Hinweis: SowohlCPLEXals auchpolymakesind in den Poolräumen im Mathebau installiert. Weitere Informationen fin- den Sie unterwww-01.ibm.com/software/commerce/optimization/cplex-optimizer/undwww.polymake.org/doku.
php.
Bitte drucken Sie Ihre Lösung zur Abgabe aus.
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